Question

Halla la cantidad de enteros positivos de cinco cifras, $n,$ que cumplen las siguientes condiciones:

• el número $n$ es divisible por $5,$

• la primera y la última cifra de $n$ son iguales, y

• la suma de las cifras de $n$ es divisible por $5.$

Find the number of five-digit positive integers, $n,$ that satisfy the following conditions:

• the number $n$ is divisible by $5,$

• the first and last digits of $n$ are equal, and

• the sum of the digits of $n$ is divisible by $5.$

Respuesta

Solución:

Como $n$ es divisible por $5,$ su última cifra es $0$ o $5;$ como la primera cifra es igual a la última y no puede ser $0,$ ambas valen $5.$ Las cifras de los extremos aportan $10$ a la suma de las cifras, así que las tres cifras centrales también deben sumar un múltiplo de $5.$

Elige libremente la segunda y la tercera cifra, de $10 \cdot 10 = 100$ maneras. Sea cual sea su suma, la cuarta cifra debe caer en una clase de residuos prescrita módulo $5,$ y exactamente $2$ de las cifras del $0$ al $9$ están en cada clase. El conteo es $10 \cdot 10 \cdot 2 = 200.$

Since $n$ is divisible by $5,$ its last digit is $0$ or $5;$ since the first digit equals the last digit and cannot be $0,$ both are $5.$ The outer digits contribute $10$ to the digit sum, so the three middle digits must also sum to a multiple of $5.$

Choose the second and third digits freely, in $10 \cdot 10 = 100$ ways. Whatever their sum is, the fourth digit must land in a prescribed residue class modulo $5,$ and exactly $2$ of the digits $0$ through $9$ lie in each class. The count is $10 \cdot 10 \cdot 2 = 200.$

2013 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años