Question

Existen números reales $x$ y $y,$ ambos mayores que $1,$ tales que $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10.$ Halla $xy.$

There exist real numbers $x$ and $y,$ both greater than $1,$ such that $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10.$ Find $xy.$

Respuesta

Respuesta: 25

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Baja los exponentes: $x \log_x y = 10$ y $4y \log_y x = 10$

Bring the exponents down: $x \log_x y = 10$ and $4y \log_y x = 10$

Pista grande:

Multiplica las dos ecuaciones: como $\log_x y \cdot \log_y x = 1,$ los logaritmos desaparecen

Multiply the two equations: since $\log_x y \cdot \log_y x = 1,$ the logarithms disappear

Solución:

Sacando los exponentes de los logaritmos, las condiciones se vuelven $x \log_x y = 10$ y $4y \log_y x = 10.$ Multiplicar estas ecuaciones y usar $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ da $4xy = 100,$ así que $xy = 25.$

Tales $x$ e $y$ sí existen. Sea $y = \frac{25}{x}.$ La función continua $x\log_x(\frac{25}{x})$ tiende a infinito cuando $x \to 1^+,$ mientras que en $x = 2$ es menor que $10.$ Por lo tanto, es igual a $10$ para algún $1 \lt x \lt 2,$ donde $y \gt 1.$

Pulling the exponents out of the logarithms, the conditions become $x \log_x y = 10$ and $4y \log_y x = 10.$ Multiplying these equations and using $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ gives $4xy = 100,$ so $xy = 25.$

Such $x$ and $y$ do exist. Set $y = \frac{25}{x}.$ The continuous function $x\log_x(\frac{25}{x})$ tends to infinity as $x \to 1^+,$ while at $x = 2$ it is less than $10.$ Hence it equals $10$ for some $1 \lt x \lt 2,$ where $y \gt 1.$

2024 AIME I Problema 2

Respuesta: 25

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años