Question

Existen números reales $x$ y $y,$ ambos mayores que $1,$ tales que $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10.$ Halla $xy.$

There exist real numbers $x$ and $y,$ both greater than $1,$ such that $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10.$ Find $xy.$

Respuesta

Solución:

Sacando los exponentes de los logaritmos, las condiciones se vuelven $x \log_x y = 10$ y $4y \log_y x = 10.$ Multiplicar estas ecuaciones y usar $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ da $4xy = 100,$ así que $xy = 25.$

Tales $x$ e $y$ sí existen: el sistema se resuelve como $\log_x y = \frac{10}{x}$ con $y = \frac{25}{x},$ que tiene una solución con $x, y \gt 1,$ así que la respuesta es $25.$

Pulling the exponents out of the logarithms, the conditions become $x \log_x y = 10$ and $4y \log_y x = 10.$ Multiplying these equations and using $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ gives $4xy = 100,$ so $xy = 25.$

Such $x$ and $y$ do exist: the system solves to $\log_x y = \frac{10}{x}$ with $y = \frac{25}{x},$ which has a solution with $x, y \gt 1,$ so the answer is $25.$

2024 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años