Question

Azar, Carl, Jon y Sergey son los cuatro jugadores que quedan en un torneo de tenis individual. Se les asignan oponentes al azar en los partidos de semifinal, y los ganadores de esos partidos se enfrentan entre sí en el partido final para determinar al ganador del torneo. Cuando Azar juega contra Carl, Azar gana el partido con probabilidad $\frac{2}{3}.$ Cuando Azar o Carl juega contra Jon o Sergey, Azar o Carl gana el partido con probabilidad $\frac{3}{4}.$ Supón que los resultados de los distintos partidos son independientes. La probabilidad de que Carl gane el torneo es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Azar, Carl, Jon, and Sergey are the four players left in a singles tennis tournament. They are randomly assigned opponents in the semifinal matches, and the winners of those matches play each other in the final match to determine the winner of the tournament. When Azar plays Carl, Azar will win the match with probability $\frac{2}{3}.$ When either Azar or Carl plays either Jon or Sergey, Azar or Carl will win the match with probability $\frac{3}{4}.$ Assume that outcomes of different matches are independent. The probability that Carl will win the tournament is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Las tres formas de emparejar a los cuatro jugadores son igualmente probables, así que Carl juega contra Azar en la semifinal con probabilidad $\frac{1}{3}.$ En ese caso Carl vence a Azar con probabilidad $\frac{1}{3}$ y luego vence al ganador entre Jon y Sergey con probabilidad $\frac{3}{4},$ por lo que Carl gana el torneo con probabilidad $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.$

En caso contrario (con probabilidad $\frac{2}{3}$ ) Carl juega contra Jon o Sergey y gana con probabilidad $\frac{3}{4}.$ Su oponente en la final es Azar con probabilidad $\frac{3}{4}$ (y entonces Carl gana con probabilidad $\frac{1}{3}$ ) o es Jon o Sergey con probabilidad $\frac{1}{4}$ (y entonces Carl gana con probabilidad $\frac{3}{4}$ ). Así que en este caso Carl gana el torneo con probabilidad $\begin{aligned} &\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{16} \\ &= \frac{21}{64}. \end{aligned}$

La probabilidad total es $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{21}{64} = \frac{1}{12} + \frac{7}{32} = \frac{29}{96},$ así que $p + q = 29 + 96 = 125.$

The three ways to pair the four players are equally likely, so Carl plays Azar in the semifinal with probability $\frac{1}{3}.$ In that case Carl beats Azar with probability $\frac{1}{3}$ and then beats the Jon–Sergey winner with probability $\frac{3}{4},$ so Carl wins the tournament with probability $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.$

Otherwise (probability $\frac{2}{3}$ ) Carl plays Jon or Sergey and wins with probability $\frac{3}{4}.$ His opponent in the final is Azar with probability $\frac{3}{4}$ (Carl then wins with probability $\frac{1}{3}$ ) and is Jon or Sergey with probability $\frac{1}{4}$ (Carl then wins with probability $\frac{3}{4}$ ). So in this case Carl wins the tournament with probability $\begin{aligned} &\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{16} \\ &= \frac{21}{64}. \end{aligned}$

The total probability is $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{21}{64} = \frac{1}{12} + \frac{7}{32} = \frac{29}{96},$ so $p + q = 29 + 96 = 125.$

2022 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años