Question

El cuadrado $AIME$ tiene lados de longitud $10$ unidades. El triángulo isósceles $GEM$ tiene base $\overline{EM},$ y el área común al triángulo $GEM$ y al cuadrado $AIME$ es de $80$ unidades cuadradas. Halla la longitud de la altura sobre $\overline{EM}$ en el $\triangle GEM.$

Square $AIME$ has sides of length $10$ units. Isosceles triangle $GEM$ has base $\overline{EM},$ and the area common to triangle $GEM$ and square $AIME$ is $80$ square units. Find the length of the altitude to $\overline{EM}$ in $\triangle GEM.$

Respuesta

Solución:

Aquí $\overline{EM}$ es un lado del cuadrado. Sea $h$ la altura del triángulo $GEM.$ Si $h \le 10,$ el triángulo quedaría enteramente dentro del cuadrado, y su área $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 80$ forzaría $h = 16,$ una contradicción. Así que $h \gt 10$ y el vértice $G$ queda fuera del cuadrado; el lado opuesto $\overline{AI}$ recorta un triángulo más pequeño semejante a $GEM$ con altura $h - 10$ y base $\frac{10(h - 10)}{h}.$

La región común es el triángulo $GEM$ menos ese pequeño triángulo: $\begin{aligned} 80 &= 5h \\ &\quad {}- \frac{1}{2} \cdot \frac{10(h - 10)}{h} \\ &\qquad {}\cdot (h - 10) \\ &= 5h - \frac{5(h - 10)^2}{h}. \end{aligned}$ Multiplicando por $h$ se obtiene $80h = 5h^2 - 5(h - 10)^2$ $= 5(20h - 100)$ $= 100h - 500,$ así que $20h = 500$ y $h = 25.$

Here $\overline{EM}$ is a side of the square. Let $h$ be the altitude of triangle $GEM.$ If $h \le 10,$ the triangle would lie entirely inside the square, and its area $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 80$ would force $h = 16,$ a contradiction. So $h \gt 10$ and the apex $G$ lies outside the square; the opposite side $\overline{AI}$ cuts off a smaller triangle similar to $GEM$ with height $h - 10$ and base $\frac{10(h - 10)}{h}.$

The common region is triangle $GEM$ minus that small triangle: $\begin{aligned} 80 &= 5h \\ &\quad {}- \frac{1}{2} \cdot \frac{10(h - 10)}{h} \\ &\qquad {}\cdot (h - 10) \\ &= 5h - \frac{5(h - 10)^2}{h}. \end{aligned}$ Multiplying by $h$ gives $80h = 5h^2 - 5(h - 10)^2$ $= 5(20h - 100)$ $= 100h - 500,$ so $20h = 500$ and $h = 25.$

2008 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años