Question

Una lista de enteros positivos tiene las siguientes propiedades:

• La suma de los elementos de la lista es $30.$

• La única moda de la lista es $9.$

• La mediana de la lista es un entero positivo que no aparece en la lista misma.

Halla la suma de los cuadrados de todos los elementos de la lista.

A list of positive integers has the following properties:

• The sum of the items in the list is $30.$

• The unique mode of the list is $9.$

• The median of the list is a positive integer that does not appear in the list itself.

Find the sum of the squares of all the items in the list.

Respuesta

Solución:

La mediana es un entero que no está en la lista, así que la lista no puede tener longitud impar (entonces la mediana sería uno de sus elementos). La única moda $9$ aparece al menos dos veces. Dos elementos $9, 9$ suman $18,$ no $30,$ así que prueba con cuatro elementos $a \lt b \lt 9$ junto con $9, 9,$ donde $a$ y $b$ son distintos (una repetición empataría la moda) y $a + b = 12.$ La mediana $\frac{b + 9}{2}$ debe ser un entero, así que $b$ es impar, y $a = 12 - b \lt b$ obliga a que $b \gt 6.$ Por lo tanto $b = 7$ y $a = 5:$ la lista $5, 7, 9, 9$ tiene mediana $8,$ que en efecto no aparece.

Ninguna lista más larga funciona: con dos $9$ , seis elementos requerirían otros cuatro valores distintos que sumen $12,$ a saber $\{1, 2, 3, 6\}$ o $\{1, 2, 4, 5\},$ pero ambos dan mediana $4.5.$ Con tres $9$ , los elementos restantes suman $3,$ y toda opción o bien coloca $9$ en la mediana o bien empata la moda.

La suma de los cuadrados es $25 + 49 + 81 + 81 = 236.$

The median is an integer that is not in the list, so the list cannot have odd length (then the median would be a member). The unique mode $9$ appears at least twice. Two items $9, 9$ sum to $18,$ not $30,$ so try four items $a \lt b \lt 9$ together with $9, 9,$ where $a$ and $b$ are distinct (a repeat would tie the mode) and $a + b = 12.$ The median $\frac{b + 9}{2}$ must be an integer, so $b$ is odd, and $a = 12 - b \lt b$ forces $b \gt 6.$ Thus $b = 7$ and $a = 5:$ the list $5, 7, 9, 9$ has median $8,$ which indeed does not appear.

No longer list works: with two $9$ s, six items would need four distinct other values summing to $12,$ namely $\{1, 2, 3, 6\}$ or $\{1, 2, 4, 5\},$ but both give median $4.5.$ With three $9$ s the remaining items sum to $3,$ and every option either puts $9$ at the median or ties the mode.

The sum of squares is $25 + 49 + 81 + 81 = 236.$

2024 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años