Question

Los términos de una progresión aritmética suman $715.$ El primer término de la progresión se incrementa en $1,$ el segundo término se incrementa en $3,$ el tercer término se incrementa en $5,$ y, en general, el $k$ -ésimo término se incrementa en el $k$ -ésimo entero positivo impar. Los términos de la nueva progresión suman $836.$ Halla la suma del primer término, el último y el término central de la progresión original.

The terms of an arithmetic sequence add to $715.$ The first term of the sequence is increased by $1,$ the second term is increased by $3,$ the third term is increased by $5,$ and in general, the $k$ th term is increased by the $k$ th odd positive integer. The terms of the new sequence add to $836.$ Find the sum of the first, last, and middle terms of the original sequence.

Respuesta

Solución:

Si la progresión tiene $n$ términos, las cantidades añadidas son los primeros $n$ números impares, cuya suma es $n^2.$ Por lo tanto $n^2 = 836 - 715 = 121,$ así que $n = 11.$

El promedio de los $11$ términos es $\frac{715}{11} = 65,$ que coincide con el término central (el sexto) de la progresión aritmética. El primero y el último también promedian $65,$ así que suman $130.$

La suma pedida es $65 + 130 = 195.$

If the sequence has $n$ terms, the amounts added are the first $n$ odd numbers, whose sum is $n^2.$ Thus $n^2 = 836 - 715 = 121,$ so $n = 11.$

The average of the $11$ terms is $\frac{715}{11} = 65,$ which equals the middle (sixth) term of the arithmetic sequence. The first and last terms also average to $65,$ so they add to $130.$

The requested sum is $65 + 130 = 195.$

2012 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años