Question

Halla el número de enteros positivos de tres dígitos, no necesariamente distintos, $abc,$ con $a \ne 0$ y $c \ne 0$ , tales que tanto $abc$ como $cba$ sean múltiplos de $4.$

Find the number of positive integers with three not necessarily distinct digits, $abc,$ with $a \ne 0$ and $c \ne 0$ such that both $abc$ and $cba$ are multiples of $4.$

Respuesta

Solución:

Un entero es múltiplo de $4$ exactamente cuando sus dos últimos dígitos forman un múltiplo de $4,$ así que necesitamos $4 \mid 10b + c$ y $4 \mid 10b + a.$ En particular, $a$ y $c$ son pares, y al restar las dos condiciones se obtiene $4 \mid a - c.$ Los dígitos pares no nulos se dividen según su residuo módulo $4$ en $\{2, 6\}$ y $\{4, 8\},$ así que $a$ y $c$ deben provenir del mismo conjunto: $4$ pares ordenados $(a, c)$ de cada uno.

Si $c \equiv 2 \pmod 4,$ entonces $10b + c \equiv 2b + 2 \pmod 4$ exige que $b$ sea impar ( $5$ opciones), y la condición sobre $10b + a$ se cumple automáticamente ya que $a \equiv c \pmod 4.$ Si $c \equiv 0 \pmod 4,$ entonces $b$ debe ser par ( $5$ opciones).

El total es $4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 40.$

An integer is a multiple of $4$ exactly when its last two digits form a multiple of $4,$ so we need $4 \mid 10b + c$ and $4 \mid 10b + a.$ In particular $a$ and $c$ are even, and subtracting the two conditions shows $4 \mid a - c.$ The even nonzero digits split by remainder mod $4$ into $\{2, 6\}$ and $\{4, 8\},$ so $a$ and $c$ must both come from the same one of these sets: $4$ ordered pairs $(a, c)$ from each.

If $c \equiv 2 \pmod 4,$ then $10b + c \equiv 2b + 2 \pmod 4$ requires $b$ odd ( $5$ choices), and the condition on $10b + a$ holds automatically since $a \equiv c \pmod 4.$ If $c \equiv 0 \pmod 4,$ then $b$ must be even ( $5$ choices).

The count is $4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 40.$

2012 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años