Question

Una cuerda de un círculo es perpendicular a un radio en el punto medio de dicho radio. La razón entre el área de la mayor de las dos regiones en que la cuerda divide el círculo y el área de la menor puede expresarse en la forma $\frac{a\pi + b\sqrt{c}}{d\pi - e\sqrt{f}},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ y $f$ son enteros positivos, $a$ y $e$ son primos entre sí, y ni $c$ ni $f$ es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla el residuo cuando el producto $a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f$ se divide entre $1000.$

A chord of a circle is perpendicular to a radius at the midpoint of the radius. The ratio of the area of the larger of the two regions into which the chord divides the circle to the smaller can be expressed in the form $\frac{a\pi + b\sqrt{c}}{d\pi - e\sqrt{f}},$ where $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ and $f$ are positive integers, $a$ and $e$ are relatively prime, and neither $c$ nor $f$ is divisible by the square of any prime. Find the remainder when the product $a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Escala de modo que el radio sea $2.$ La cuerda queda a distancia $1$ del centro, así que cada radio hacia un extremo de la cuerda forma un ángulo de $60^\circ$ con el radio bisecado, y los dos radios a los extremos forman un ángulo central de $120^\circ.$ El triángulo isósceles que recortan tiene área $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \sin 120^\circ = \sqrt{3},$ y todo el disco tiene área $4\pi.$

La región menor es el sector de $120^\circ$ menos el triángulo, $\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3},$ y la región mayor es el resto, $\frac{8\pi}{3} + \sqrt{3}.$ La razón es $\frac{\frac{8\pi}{3} + \sqrt{3}}{\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}} = \frac{8\pi + 3\sqrt{3}}{4\pi - 3\sqrt{3}},$ que tiene la forma requerida con $(a, b, c, d, e, f) = (8, 3, 3, 4, 3, 3).$

El producto es $8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 2592,$ cuyo residuo al dividir entre $1000$ es $592.$

Scale so the radius is $2.$ The chord lies at distance $1$ from the center, so each radius to an endpoint of the chord makes a $60^\circ$ angle with the bisected radius, and the two endpoint radii form a central angle of $120^\circ.$ The isosceles triangle they cut off has area $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \sin 120^\circ = \sqrt{3},$ and the whole disk has area $4\pi.$

The smaller region is the $120^\circ$ sector minus the triangle, $\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3},$ and the larger region is the rest, $\frac{8\pi}{3} + \sqrt{3}.$ The ratio is $\frac{\frac{8\pi}{3} + \sqrt{3}}{\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}} = \frac{8\pi + 3\sqrt{3}}{4\pi - 3\sqrt{3}},$ which has the required form with $(a, b, c, d, e, f) = (8, 3, 3, 4, 3, 3).$

The product is $8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 2592,$ whose remainder upon division by $1000$ is $592.$

2004 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años