Question

El número de manzanas que crecen en cada uno de seis manzanos forma una progresión aritmética, donde el mayor número de manzanas en cualquiera de los seis árboles es el doble del menor número de manzanas en cualquiera de los seis árboles. El número total de manzanas en los seis árboles es $990.$ Halla el mayor número de manzanas en cualquiera de los seis árboles.

The numbers of apples growing on each of six apple trees form an arithmetic sequence where the greatest number of apples growing on any of the six trees is double the least number of apples growing on any of the six trees. The total number of apples growing on all six trees is $990.$ Find the greatest number of apples growing on any of the six trees.

Respuesta

Solución:

Sean las seis cantidades $a, a+d, \ldots, a+5d$ con diferencia común $d \ge 0.$ La mayor cantidad es el doble de la menor, así que $a + 5d = 2a,$ lo que da $a = 5d.$ El total es $\begin{aligned} 6a + 15d &= 30d + 15d \\ &= 45d = 990, \end{aligned}$ por lo que $d = 22.$

El mayor número de manzanas es $a + 5d = 10d = 220.$

Let the six counts be $a, a+d, \ldots, a+5d$ with common difference $d \ge 0.$ The greatest count is double the least, so $a + 5d = 2a,$ which gives $a = 5d.$ The total is $\begin{aligned} 6a + 15d &= 30d + 15d \\ &= 45d = 990, \end{aligned}$ so $d = 22.$

The greatest number of apples is $a + 5d = 10d = 220.$

2023 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años