Question

Las cantidades de manzanas que hay en seis manzanos forman una progresión aritmética, y la mayor de esas cantidades es el doble de la menor. El número total de manzanas en los seis árboles es $990.$ Halla el mayor número de manzanas en uno de los seis árboles.

The numbers of apples growing on each of six apple trees form an arithmetic sequence where the greatest number of apples growing on any of the six trees is double the least number of apples growing on any of the six trees. The total number of apples growing on all six trees is $990.$ Find the greatest number of apples growing on any of the six trees.

Respuesta

Respuesta: 220

Conceptos:sucesión aritmética ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Escribe las cantidades como $a, a+d, \ldots, a+5d$ y convierte la condición de duplicación en una ecuación entre $a$ y $d$

Write the counts as $a, a+d, \ldots, a+5d$ and turn the doubling condition into an equation between $a$ and $d$

Pista grande:

De $a + 5d = 2a$ obtenemos $a = 5d,$ así que el total $6a + 15d$ se simplifica a $45d$

From $a + 5d = 2a$ we get $a = 5d,$ so the total $6a + 15d$ simplifies to $45d$

Solución:

Sean las seis cantidades $a, a+d, \ldots, a+5d$ con diferencia común $d \ge 0.$ La mayor cantidad es el doble de la menor, así que $a + 5d = 2a,$ lo que da $a = 5d.$ El total es $\begin{aligned} 6a + 15d &= 30d + 15d \\ &= 45d = 990, \end{aligned}$ por lo que $d = 22.$

El mayor número de manzanas es $a + 5d = 10d = 220.$

Let the six counts be $a, a+d, \ldots, a+5d$ with common difference $d \ge 0.$ The greatest count is double the least, so $a + 5d = 2a,$ which gives $a = 5d.$ The total is $\begin{aligned} 6a + 15d &= 30d + 15d \\ &= 45d = 990, \end{aligned}$ so $d = 22.$

The greatest number of apples is $a + 5d = 10d = 220.$

2023 AIME II Problema 1

Respuesta: 220

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años