Question

¿Cuántos de los enteros entre $1$ y $1000,$ inclusive, se pueden expresar como la diferencia de los cuadrados de dos enteros no negativos?

How many of the integers between $1$ and $1000,$ inclusive, can be expressed as the difference of the squares of two nonnegative integers?

Respuesta

Solución:

Escribe $n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$ Los factores $a - b$ y $a + b$ difieren en el número par $2b,$ así que tienen la misma paridad. Si ambos son impares, $n$ es impar; si ambos son pares, $4 \mid n.$ Por lo tanto, ningún entero $n \equiv 2 \pmod 4$ es diferencia de dos cuadrados.

Recíprocamente, todo número impar $2k + 1$ es igual a $(k+1)^2 - k^2,$ y todo múltiplo de $4,$ digamos $4k,$ es igual a $(k+1)^2 - (k-1)^2$ (con $k - 1 \ge 0$ ya que $k \ge 1$ ).

Entre $1$ y $1000$ hay $500$ números impares y $250$ múltiplos de $4,$ lo que da un total de $500 + 250 = 750.$

Write $n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$ The factors $a - b$ and $a + b$ differ by the even number $2b,$ so they have the same parity. If both are odd, $n$ is odd; if both are even, $4 \mid n.$ Hence no integer $n \equiv 2 \pmod 4$ is a difference of two squares.

Conversely, every odd number $2k + 1$ equals $(k+1)^2 - k^2,$ and every multiple of $4,$ say $4k,$ equals $(k+1)^2 - (k-1)^2$ (with $k - 1 \ge 0$ since $k \ge 1$ ).

Between $1$ and $1000$ there are $500$ odd numbers and $250$ multiples of $4,$ for a total of $500 + 250 = 750.$

1997 AIME Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años