Question

Muchos estados usan una secuencia de tres letras seguida de una secuencia de tres dígitos como su formato estándar de matrícula. Dado que cada disposición de tres letras y tres dígitos es igualmente probable, la probabilidad de que tal matrícula contenga al menos un palíndromo (una disposición de tres letras o una disposición de tres dígitos que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Many states use a sequence of three letters followed by a sequence of three digits as their standard license-plate pattern. Given that each three-letter three-digit arrangement is equally likely, the probability that such a license plate will contain at least one palindrome (a three-letter arrangement or a three-digit arrangement that reads the same left-to-right as it does right-to-left) is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Una disposición de tres letras es un palíndromo exactamente cuando la tercera letra coincide con la primera, así que la probabilidad de un palíndromo de letras es $\frac{1}{26}.$ De igual modo, la probabilidad de un palíndromo de dígitos es $\frac{1}{10},$ y los dos eventos son independientes.

Por inclusión-exclusión, la probabilidad de al menos un palíndromo es $\begin{aligned} &\frac{1}{26} + \frac{1}{10} - \frac{1}{26} \cdot \frac{1}{10} \\ &= \frac{10 + 26 - 1}{260} \\ &= \frac{35}{260} \\ &= \frac{7}{52}. \end{aligned}$ Por lo tanto $m + n = 7 + 52 = 59$ .

A three-letter arrangement is a palindrome exactly when the third letter matches the first, so the probability of a letter palindrome is $\frac{1}{26}.$ Similarly, the probability of a digit palindrome is $\frac{1}{10},$ and the two events are independent.

By inclusion-exclusion, the probability of at least one palindrome is $\begin{aligned} &\frac{1}{26} + \frac{1}{10} - \frac{1}{26} \cdot \frac{1}{10} \\ &= \frac{10 + 26 - 1}{260} \\ &= \frac{35}{260} \\ &= \frac{7}{52}. \end{aligned}$ Thus $m + n = 7 + 52 = 59.$

2002 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años