Question

Una organización matemática está produciendo un conjunto de matrículas conmemorativas. Cada matrícula contiene una secuencia de cinco caracteres elegidos entre las cuatro letras de AIME y los cuatro dígitos de $2007.$ Ningún carácter puede aparecer en una secuencia más veces de las que aparece entre las cuatro letras de AIME o los cuatro dígitos de $2007.$ Un conjunto de matrículas en el que cada secuencia posible aparece exactamente una vez contiene $N$ matrículas. ¿Cuánto vale $\frac{N}{10}$ ?

A mathematical organization is producing a set of commemorative license plates. Each plate contains a sequence of five characters chosen from the four letters in AIME and the four digits in $2007.$ No character may appear in a sequence more times than it appears among the four letters in AIME or the four digits in $2007.$ A set of plates in which each possible sequence appears exactly once contains $N$ license plates. Find $\frac{N}{10}.$

Respuesta

Solución:

Los caracteres disponibles son los siete símbolos distintos A, I, M, E, $2,$ $0,$ $7,$ donde $0$ puede usarse hasta dos veces y cada uno de los demás a lo sumo una vez. Las secuencias que usan a lo sumo un $0$ constan de cinco caracteres distintos elegidos entre los siete, en orden: $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520.$

Secuencias con dos $0$ : elige las dos posiciones para los $0$ de $\binom{5}{2} = 10$ maneras, y luego llena las tres posiciones restantes con caracteres distintos de los otros seis de $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ maneras, dando $1200$ secuencias.

Por lo tanto $N = 2520 + 1200 = 3720,$ y $\frac{N}{10} = 372.$

The available characters are the seven distinct symbols A, I, M, E, $2,$ $0,$ $7,$ where $0$ may be used up to twice and every other character at most once. Sequences using at most one $0$ consist of five distinct characters chosen from the seven, in order: $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520.$

Sequences with two $0$ 's: choose the two positions for the $0$ 's in $\binom{5}{2} = 10$ ways, then fill the remaining three positions with distinct characters from the other six in $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ ways, for $1200$ sequences.

Thus $N = 2520 + 1200 = 3720,$ and $\frac{N}{10} = 372.$

2007 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años