Question

Halle la media aritmética de todos los palíndromos de tres dígitos. (Recuerde que un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como $777$ o $383.$ )

Find the arithmetic mean of all the three-digit palindromes. (Recall that a palindrome is a number that reads the same forward and backward, such as $777$ or $383.$ )

Respuesta

Respuesta: 550

Conceptos:palíndromo valor posicional media

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Un palíndromo de tres dígitos tiene la forma $\overline{aba} = 101a + 10b$

A three-digit palindrome has the form $\overline{aba} = 101a + 10b$

Pista grande:

Los dígitos $a$ y $b$ varían de forma independiente, así que puede reemplazar cada dígito por su valor promedio dentro de su rango

The digits $a$ and $b$ range independently, so you may replace each digit by its average value over its range

Solución:

Un palíndromo de tres dígitos tiene la forma $\overline{aba} = 101a + 10b$ , con $a \in \{1, \ldots, 9\}$ y $b \in \{0, \ldots, 9\},$ y cada par de dígitos de este tipo aparece exactamente una vez, de modo que los dos dígitos varían de forma independiente a lo largo de los $90$ palíndromos.

Por linealidad, la media es $101$ veces el promedio de $a$ más $10$ veces el promedio de $b,$ es decir, $\begin{aligned} &101 \cdot 5 \\ &\quad {}+ 10 \cdot \frac{9}{2} = 505 + 45 = 550. \end{aligned}$

A three-digit palindrome has the form $\overline{aba} = 101a + 10b$ with $a \in \{1, \ldots, 9\}$ and $b \in \{0, \ldots, 9\},$ and every such pair of digits occurs exactly once, so the two digits vary independently over the $90$ palindromes.

By linearity, the mean is $101$ times the average of $a$ plus $10$ times the average of $b,$ namely $\begin{aligned} &101 \cdot 5 \\ &\quad {}+ 10 \cdot \frac{9}{2} = 505 + 45 = 550. \end{aligned}$

2021 AIME II Problema 1

Respuesta: 550

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años