Question

Sea $N$ el menor entero positivo que es a la vez $22$ por ciento menor que un entero y $16$ por ciento mayor que otro entero. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $N$ be the least positive integer that is both $22$ percent less than one integer and $16$ percent greater than another integer. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 131

Conceptos:porcentaje divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Escribe $N = \frac{78}{100}a = \frac{116}{100}b$ y reduce ambas fracciones a su mínima expresión

Write $N = \frac{78}{100}a = \frac{116}{100}b$ and reduce both fractions to lowest terms

Pista grande:

En su mínima expresión $N = \frac{39}{50}a = \frac{29}{25}b,$ lo que obliga a que $N$ sea múltiplo tanto de $39$ como de $29$

In lowest terms $N = \frac{39}{50}a = \frac{29}{25}b,$ which forces $N$ to be a multiple of both $39$ and $29$

Solución:

Las condiciones dicen que $N = \frac{78}{100}a = \frac{39}{50}a$ y $N = \frac{116}{100}b = \frac{29}{25}b$ para ciertos enteros $a$ y $b.$ Como $\gcd(39, 50) = 1,$ la primera ecuación obliga a que $a$ sea divisible por $50,$ así que $N$ es múltiplo de $39;$ como $\gcd(29, 25) = 1,$ la segunda obliga a que $b$ sea divisible por $25,$ así que $N$ es múltiplo de $29.$

El menor entero positivo divisible por ambos es $N = 39 \cdot 29 = 1131,$ que se alcanza con $a = 1450$ y $b = 975.$ El residuo al dividir entre $1000$ es $131.$

The conditions say $N = \frac{78}{100}a = \frac{39}{50}a$ and $N = \frac{116}{100}b = \frac{29}{25}b$ for some integers $a$ and $b.$ Since $\gcd(39, 50) = 1,$ the first equation forces $a$ to be divisible by $50,$ so $N$ is a multiple of $39;$ since $\gcd(29, 25) = 1,$ the second forces $b$ to be divisible by $25,$ so $N$ is a multiple of $29.$

The least positive integer divisible by both is $N = 39 \cdot 29 = 1131,$ achieved with $a = 1450$ and $b = 975.$ The remainder upon division by $1000$ is $131.$

2015 AIME II Problema 1

Respuesta: 131

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años