Question

Inicialmente Alex, Betty y Charlie tenían en total $444$ cacahuetes. Charlie tenía la mayor cantidad de cacahuetes y Alex la menor. Las tres cantidades de cacahuetes que cada persona tenía forman una progresión geométrica. Alex se come $5$ de sus cacahuetes, Betty se come $9$ de los suyos y Charlie se come $25$ de los suyos. Ahora las tres cantidades de cacahuetes que cada persona tiene forman una progresión aritmética. Halla el número de cacahuetes que Alex tenía inicialmente.

Initially Alex, Betty, and Charlie had a total of $444$ peanuts. Charlie had the most peanuts, and Alex had the least. The three numbers of peanuts that each person had form a geometric progression. Alex eats $5$ of his peanuts, Betty eats $9$ of her peanuts, and Charlie eats $25$ of his peanuts. Now the three numbers of peanuts that each person has form an arithmetic progression. Find the number of peanuts Alex had initially.

Respuesta

Solución:

Tras comer, quedan $444 - 5 - 9 - 25 = 405$ cacahuetes, y las tres cantidades forman una progresión aritmética, así que la cantidad central, la de Betty, es $\frac{405}{3} = 135.$ Por tanto Betty empezó con $135 + 9 = 144$ cacahuetes.

Las cantidades iniciales forman una progresión geométrica, así que son $\frac{144}{r},$ $144,$ y $144r$ con $r \gt 1$ (Charlie tenía la mayor cantidad y Alex la menor). Entonces $\frac{144}{r} + 144 + 144r = 444,$ que se simplifica a $12r^2 - 25r + 12 = 0,$ con raíces $r = \frac{4}{3}$ y $r = \frac{3}{4};$ como $r \gt 1,$ tomamos $r = \frac{4}{3}.$

Así que Alex tenía inicialmente $144 \cdot \frac{3}{4} = 108$ cacahuetes. (Comprobación: tras comer, las cantidades $103,$ $135,$ $167$ aumentan en $32$ cada una.)

After the eating, $444 - 5 - 9 - 25 = 405$ peanuts remain, and the three amounts form an arithmetic progression, so the middle amount, Betty's, is $\frac{405}{3} = 135.$ Hence Betty started with $135 + 9 = 144$ peanuts.

The starting amounts form a geometric progression, so they are $\frac{144}{r},$ $144,$ and $144r$ with $r \gt 1$ (Charlie had the most and Alex the least). Then $\frac{144}{r} + 144 + 144r = 444,$ which simplifies to $12r^2 - 25r + 12 = 0,$ with roots $r = \frac{4}{3}$ and $r = \frac{3}{4};$ since $r \gt 1,$ we take $r = \frac{4}{3}.$

So Alex initially had $144 \cdot \frac{3}{4} = 108$ peanuts. (Check: after eating, the amounts $103,$ $135,$ $167$ increase by $32$ each.)

2016 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años