Question

Halla la suma de todos los enteros positivos de dos cifras que son divisibles por cada uno de sus dígitos.

Find the sum of all positive two-digit integers that are divisible by each of their digits.

Respuesta

Solución:

Sea el número $10a + b$ con cifra de las decenas $a$ y cifra de las unidades $b.$ Como $a \mid 10a + b,$ necesitamos $a \mid b,$ así que $b = ka$ para algún entero positivo $k.$ Como $b \mid 10a + b,$ necesitamos $b \mid 10a,$ es decir $ka \mid 10a,$ por lo que $k \mid 10.$ Como $b = ka \le 9,$ solo $k = 1,$ $2,$ y $5$ son posibles.

Para $k = 1$ los números son $11, 22, \ldots, 99,$ con suma $11 \cdot 45 = 495.$ Para $k = 2$ son $12, 24, 36, 48,$ con suma $120.$ Para $k = 5$ el único es $15.$

El total es $495 + 120 + 15 = 630.$

Let the number be $10a + b$ with tens digit $a$ and units digit $b.$ Since $a \mid 10a + b,$ we need $a \mid b,$ so $b = ka$ for some positive integer $k.$ Since $b \mid 10a + b,$ we need $b \mid 10a,$ that is $ka \mid 10a,$ so $k \mid 10.$ Because $b = ka \le 9,$ only $k = 1,$ $2,$ and $5$ are possible.

For $k = 1$ the numbers are $11, 22, \ldots, 99,$ with sum $11 \cdot 45 = 495.$ For $k = 2$ they are $12, 24, 36, 48,$ with sum $120.$ For $k = 5$ the only one is $15.$

The total is $495 + 120 + 15 = 630.$

2001 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años