Question

Halla la suma de todos los enteros positivos de dos cifras que son divisibles por cada uno de sus dígitos.

Find the sum of all positive two-digit integers that are divisible by each of their digits.

Respuesta

Respuesta: 630

Conceptos:dígitos divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Si el número es $10a + b,$ la divisibilidad por la cifra de las decenas $a$ obliga a que $b$ sea un múltiplo de $a$

If the number is $10a + b,$ divisibility by the tens digit $a$ forces $b$ to be a multiple of $a$

Pista grande:

Escribe $b = ka.$ Entonces que $10a + b$ sea divisible por $b$ obliga a que $k = 1,$ $2,$ o $5$

Write $b = ka.$ Then $10a + b$ divisible by $b$ forces $k = 1,$ $2,$ or $5$

Solución:

Sea el número $10a + b$ con cifra de las decenas $a$ y cifra de las unidades $b.$ Como $10a + b$ es divisible por $a,$ necesitamos que $b$ sea divisible por $a,$ así que $b = ka$ para algún entero positivo $k.$ Como $10a + b$ es divisible por $b,$ necesitamos que $10a$ sea divisible por $b,$ es decir $10a$ es divisible por $ka,$ por lo que $10$ es divisible por $k.$ Como $b = ka \le 9,$ solo $k = 1,$ $2,$ y $5$ son posibles.

Para $k = 1$ los números son $11, 22, \ldots, 99,$ con suma $11 \cdot 45 = 495.$ Para $k = 2$ son $12, 24, 36, 48,$ con suma $120.$ Para $k = 5$ el único es $15.$

El total es $495 + 120 + 15 = 630.$

Let the number be $10a + b$ with tens digit $a$ and units digit $b.$ Since $10a + b$ is divisible by $a,$ we need $b$ to be divisible by $a,$ so $b = ka$ for some positive integer $k.$ Since $10a + b$ is divisible by $b,$ we need $10a$ to be divisible by $b,$ that is $10a$ is divisible by $ka,$ so $10$ is divisible by $k.$ Because $b = ka \le 9,$ only $k = 1,$ $2,$ and $5$ are possible.

For $k = 1$ the numbers are $11, 22, \ldots, 99,$ with sum $11 \cdot 45 = 495.$ For $k = 2$ they are $12, 24, 36, 48,$ with sum $120.$ For $k = 5$ the only one is $15.$

The total is $495 + 120 + 15 = 630.$

2001 AIME I Problema 1

Respuesta: 630

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años