Question

Un juego usa una baraja de $n$ cartas distintas, donde $n$ es un entero y $n \ge 6.$ La cantidad de conjuntos posibles de $6$ cartas que se pueden sacar de la baraja es $6$ veces la cantidad de conjuntos posibles de $3$ cartas que se pueden sacar. Halla $n.$

A game uses a deck of $n$ different cards, where $n$ is an integer and $n \ge 6.$ The number of possible sets of $6$ cards that can be drawn from the deck is $6$ times the number of possible sets of $3$ cards that can be drawn. Find $n.$

Respuesta

Respuesta: 13

Conceptos:combinaciones factorial

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Escribe la razón $\frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}}$ en factoriales; casi todo se cancela.

Write the ratio $\frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}}$ in factorials; almost everything cancels

Pista grande:

Resuelve $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ escribiendo $720 = 10 \cdot 9 \cdot 8.$

Solve $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ by writing $720 = 10 \cdot 9 \cdot 8$

Solución:

La condición dice que $\binom{n}{6} = 6\binom{n}{3}.$ Dividiendo los coeficientes binomiales, $\begin{aligned} \frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}} &= \frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= 6, \end{aligned}$ así que $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ $= 10 \cdot 9 \cdot 8.$

Como el producto $(n-3)(n-4)(n-5)$ es creciente en $n,$ la única solución es $n - 3 = 10,$ es decir, $n = 13.$

The condition says $\binom{n}{6} = 6\binom{n}{3}.$ Dividing the binomial coefficients, $\begin{aligned} \frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}} &= \frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= 6, \end{aligned}$ so $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ $= 10 \cdot 9 \cdot 8.$

Since the product $(n-3)(n-4)(n-5)$ is increasing in $n,$ the only solution is $n - 3 = 10,$ that is, $n = 13.$

2005 AIME II Problema 1

Respuesta: 13

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años