Question

El frasco A contiene cuatro litros de una solución con $45$ % de ácido. El frasco B contiene cinco litros de una solución con $48$ % de ácido. El frasco C contiene un litro de una solución con $k$ % de ácido. Del frasco C se agregan $\frac{m}{n}$ litros de la solución al frasco A, y el resto de la solución del frasco C se agrega al frasco B. Al final, tanto el frasco A como el frasco B contienen soluciones con $50$ % de ácido. Dado que $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $k + m + n.$

Jar A contains four liters of a solution that is $45$ % acid. Jar B contains five liters of a solution that is $48$ % acid. Jar C contains one liter of a solution that is $k$ % acid. From jar C, $\frac{m}{n}$ liters of the solution is added to jar A, and the remainder of the solution in jar C is added to jar B. At the end both jar A and jar B contain solutions that are $50$ % acid. Given that $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $k + m + n.$

Respuesta

Solución:

Si se combinaran los tres frascos, el resultado serían $10$ litros con $50$ % de ácido, ya que los dos frascos finales tienen ambos $50$ % de ácido. Por lo tanto, el ácido total es de $5$ litros, así que $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,$ lo que da $k = 80.$

Ahora sea $x$ el número de litros vertidos del frasco C al frasco A. El frasco A contiene entonces $4 + x$ litros con $1.8 + 0.8x$ litros de ácido, así que $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),$ lo que da $0.3x = 0.2,$ por lo que $x = \frac{2}{3}.$

Así, $m + n = 2 + 3 = 5,$ y $k + m + n = 80 + 5 = 85.$

If all three jars were combined, the result would be $10$ liters of $50$ % acid, since both final jars are $50$ % acid. The total acid is therefore $5$ liters, so $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,$ which gives $k = 80.$

Now let $x$ be the number of liters poured from jar C into jar A. Jar A then holds $4 + x$ liters containing $1.8 + 0.8x$ liters of acid, so $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),$ giving $0.3x = 0.2,$ so $x = \frac{2}{3}.$

Thus $m + n = 2 + 3 = 5,$ and $k + m + n = 80 + 5 = 85.$

2011 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años