Question

El frasco $A$ contiene cuatro litros de una solución con $45$ % de ácido. El frasco $B$ contiene cinco litros de una solución con $48$ % de ácido. El frasco $C$ contiene un litro de una solución con $k$ % de ácido. Del frasco $C$ se agregan $\frac{m}{n}$ litros de la solución al frasco $A$ , y el resto de la solución del frasco $C$ se agrega al frasco $B$ . Al final, tanto el frasco $A$ como el frasco $B$ contienen soluciones con $50$ % de ácido. Dado que $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $k + m + n.$

Jar $A$ contains four liters of a solution that is $45$ % acid. Jar $B$ contains five liters of a solution that is $48$ % acid. Jar $C$ contains one liter of a solution that is $k$ % acid. From jar $C$ , $\frac{m}{n}$ liters of the solution is added to jar $A$ , and the remainder of the solution in jar $C$ is added to jar $B$ . At the end both jar $A$ and jar $B$ contain solutions that are $50$ % acid. Given that $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $k + m + n.$

Respuesta

Respuesta: 85

Conceptos:mezcla porcentaje

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Imagina verter los tres frascos juntos: el resultado son $10$ litros que deben tener $50$ % de ácido, lo que determina $k$

Imagine pouring all three jars together: the result is $10$ liters that must be $50$ % acid, which determines $k$

Pista grande:

Conocido $k$ , sea $x$ la cantidad agregada al frasco $A$ e iguala el ácido del frasco $A$ a la mitad de su nuevo volumen

With $k$ known, let $x$ be the amount added to jar $A$ and set jar $A$ ’s acid equal to half of its new volume

Solución:

Si se combinaran los tres frascos, el resultado serían $10$ litros con $50$ % de ácido, ya que los dos frascos finales tienen ambos $50$ % de ácido. Por lo tanto, el ácido total es de $5$ litros, así que $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,$ lo que da $k = 80.$

Ahora sea $x$ el número de litros vertidos del frasco $C$ al frasco $A$ . El frasco $A$ contiene entonces $4 + x$ litros con $1.8 + 0.8x$ litros de ácido, así que $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),$ lo que da $0.3x = 0.2,$ por lo que $x = \frac{2}{3}.$

Así, $m + n = 2 + 3 = 5,$ y $k + m + n = 80 + 5 = 85.$

If all three jars were combined, the result would be $10$ liters of $50$ % acid, since both final jars are $50$ % acid. The total acid is therefore $5$ liters, so $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,$ which gives $k = 80.$

Now let $x$ be the number of liters poured from jar $C$ into jar $A$ . Jar $A$ then holds $4 + x$ liters containing $1.8 + 0.8x$ liters of acid, so $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),$ giving $0.3x = 0.2,$ so $x = \frac{2}{3}.$

Thus $m + n = 2 + 3 = 5,$ and $k + m + n = 80 + 5 = 85.$

2011 AIME I Problema 1

Respuesta: 85

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años