Soluciones del 2011 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El frasco

A

contiene cuatro litros de una solución con

45

% de ácido. El frasco

B

contiene cinco litros de una solución con

48

% de ácido. El frasco

C

contiene un litro de una solución con

k

% de ácido. Del frasco

C

se agregan

\frac{m}{n}

litros de la solución al frasco

A

, y el resto de la solución del frasco

C

se agrega al frasco

B

. Al final, tanto el frasco

A

como el frasco

B

contienen soluciones con

50

% de ácido. Dado que

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí, halla

k + m + n.

Jar

A

contains four liters of a solution that is

45

% acid. Jar

B

contains five liters of a solution that is

48

% acid. Jar

C

contains one liter of a solution that is

k

% acid. From jar

C

,

\frac{m}{n}

liters of the solution is added to jar

A

, and the remainder of the solution in jar

C

is added to jar

B

. At the end both jar

A

and jar

B

contain solutions that are

50

% acid. Given that

m

and

n

are relatively prime positive integers, find

k + m + n.

Respuesta

Conceptos:mezcla porcentaje

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Imagina verter los tres frascos juntos: el resultado son

10

litros que deben tener

50

% de ácido, lo que determina

k

Imagine pouring all three jars together: the result is

10

liters that must be

50

% acid, which determines

k

Pista grande:

Conocido

k

, sea

x

la cantidad agregada al frasco

A

e iguala el ácido del frasco

A

a la mitad de su nuevo volumen

With

k

known, let

x

be the amount added to jar

A

and set jar

A

’s acid equal to half of its new volume

Solución:

Si se combinaran los tres frascos, el resultado serían

10

litros con

50

% de ácido, ya que los dos frascos finales tienen ambos

50

% de ácido. Por lo tanto, el ácido total es de

5

litros, así que

4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,

lo que da

k = 80.

Ahora sea

x

el número de litros vertidos del frasco

C

al frasco

A

. El frasco

A

contiene entonces

4 + x

litros con

1.8 + 0.8x

litros de ácido, así que

1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),

lo que da

0.3x = 0.2,

por lo que

x = \frac{2}{3}.

Así,

m + n = 2 + 3 = 5,

y

k + m + n = 80 + 5 = 85.

If all three jars were combined, the result would be

10

liters of

50

% acid, since both final jars are

50

% acid. The total acid is therefore

5

liters, so

4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,

which gives

k = 80.

Now let

x

be the number of liters poured from jar

C

into jar

A

. Jar

A

then holds

4 + x

liters containing

1.8 + 0.8x

liters of acid, so

1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),

giving

0.3x = 0.2,

so

x = \frac{2}{3}.

Thus

m + n = 2 + 3 = 5,

and

k + m + n = 80 + 5 = 85.

2.

En el rectángulo

ABCD,

AB = 12

y

BC = 10.

Los puntos

E

y

F

están dentro del rectángulo

ABCD

de modo que

BE = 9,

DF = 8,

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

\overline{EF} \parallel \overline{AB},

y la recta

BE

corta al segmento

\overline{AD}.

La longitud

EF

se puede expresar en la forma

m\sqrt{n} - p,

donde

m,

n,

y

p

son enteros positivos y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

m + n + p.

In rectangle

ABCD,

AB = 12

and

BC = 10.

Points

E

and

F

lie inside rectangle

ABCD

so that

BE = 9,

DF = 8,

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

\overline{EF} \parallel \overline{AB},

and line

BE

intersects segment

\overline{AD}.

The length

EF

can be expressed in the form

m\sqrt{n} - p,

where

m,

n,

and

p

are positive integers and

n

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n + p.

Respuesta

Conceptos:geometría analítica vector Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Como

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

escribe

E = B - 9(u, v)

y

F = D + 8(u, v)

para un vector unitario

(u, v)

Since

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

write

E = B - 9(u, v)

and

F = D + 8(u, v)

for one unit vector

(u, v)

Pista grande:

\overline{EF} \parallel \overline{AB}

obliga a que

E

y

F

estén a la misma altura, lo que da

v = \frac{10}{17};

entonces

EF

es una diferencia de coordenadas

x

\overline{EF} \parallel \overline{AB}

forces

E

and

F

to the same height, giving

v = \frac{10}{17};

then

EF

is a difference of

x

-coordinates

Solución:

Coloca

D = (0, 0),

C = (12, 0),

B = (12, 10),

A = (0, 10).

Como

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

existe un vector unitario

(u, v)

con

u, v \gt 0

tal que

E = B - 9(u, v)

y

F = D + 8(u, v):

la recta

BE

va hacia abajo y a la izquierda para poder cruzar

\overline{AD},

mientras que

\overline{DF}

apunta hacia arriba y a la derecha, hacia el interior del rectángulo.

Como

\overline{EF} \parallel \overline{AB}

es horizontal,

E

y

F

tienen alturas iguales:

10 - 9v = 8v,

así que

v = \frac{10}{17}

y

u = \sqrt{1 - v^2} = \frac{3\sqrt{21}}{17}.

Entonces

E

y

F

tienen coordenadas

x

iguales a

12 - 9u

y

8u,

así que

EF = |12 - 17u|

= |12 - 3\sqrt{21}|

= 3\sqrt{21} - 12,

ya que

3\sqrt{21} \gt 12.

Por lo tanto,

m + n + p = 3 + 21 + 12 = 36.

Place

D = (0, 0),

C = (12, 0),

B = (12, 10),

A = (0, 10).

Since

\overline{BE} \parallel \overline{DF},

there is a unit vector

(u, v)

with

u, v \gt 0

such that

E = B - 9(u, v)

and

F = D + 8(u, v):

line

BE

heads down and to the left so that it can cross

\overline{AD},

while

\overline{DF}

points up and to the right into the rectangle.

Because

\overline{EF} \parallel \overline{AB}

is horizontal,

E

and

F

have equal heights:

10 - 9v = 8v,

so

v = \frac{10}{17}

and

u = \sqrt{1 - v^2} = \frac{3\sqrt{21}}{17}.

Then

E

and

F

have

x

-coordinates

12 - 9u

and

8u,

so

EF = |12 - 17u|

= |12 - 3\sqrt{21}|

= 3\sqrt{21} - 12,

since

3\sqrt{21} \gt 12.

Thus

m + n + p = 3 + 21 + 12 = 36.

3.

Sea

L

la recta de pendiente

\frac{5}{12}

que contiene al punto

A = (24, -1),

y sea

M

la recta perpendicular a la recta

L

que contiene al punto

B = (5, 6).

Se borran los ejes de coordenadas originales, y la recta

L

se toma como eje

x

y la recta

M

como eje

y

. En el nuevo sistema de coordenadas, el punto

A

está en el semieje

x

positivo, y el punto

B

está en el semieje

y

positivo. El punto

P

con coordenadas

(-14, 27)

en el sistema original tiene coordenadas

(\alpha, \beta)

en el nuevo sistema de coordenadas. Halla

\alpha + \beta.

Let

L

be the line with slope

\frac{5}{12}

that contains the point

A = (24, -1),

and let

M

be the line perpendicular to line

L

that contains the point

B = (5, 6).

The original coordinate axes are erased, and line

L

is made the

x

-axis and line

M

the

y

-axis. In the new coordinate system, point

A

is on the positive

x

-axis, and point

B

is on the positive

y

-axis. The point

P

with coordinates

(-14, 27)

in the original system has coordinates

(\alpha, \beta)

in the new coordinate system. Find

\alpha + \beta.

Respuesta

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia transformación

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Las nuevas coordenadas de

P

son sus distancias con signo a los nuevos ejes:

\alpha

es la distancia a la recta

M

y

\beta

la distancia a la recta

L

The new coordinates of

P

are its signed distances to the new axes:

\alpha

is the distance to line

M

and

\beta

the distance to line

L

Pista grande:

Usa la fórmula de distancia de un punto a una recta, fijando cada signo al comprobar si

P

está del mismo lado que

A

(para

\alpha

) o que

B

(para

\beta

)

Use the point-to-line distance formula, fixing each sign by checking whether

P

is on the same side as

A

(for

\alpha

) or as

B

(for

\beta

)

Solución:

La recta

L

es

5x - 12y - 132 = 0

y la recta

M

es

12x + 5y - 90 = 0.

La nueva coordenada

x

de un punto es su distancia con signo a la recta

M,

contada como positiva en el lado que contiene a

A,

y la nueva coordenada

y

es su distancia con signo a la recta

L,

positiva en el lado que contiene a

B.

Sustituyendo

P = (-14, 27)

en

12x + 5y - 90

se obtiene

-168 + 135 - 90 = -123,

mientras que

A

da

193 \gt 0;

dividiendo entre

\sqrt{12^2 + 5^2} = 13,

obtenemos

\alpha = -\frac{123}{13}.

Sustituyendo

P

en

5x - 12y - 132

se obtiene

-70 - 324 - 132 = -526,

y

B

da

-179,

así que

P

está del mismo lado de

L

que

B

y

\beta = \frac{526}{13}.

Por lo tanto,

\alpha + \beta = \frac{-123 + 526}{13} = \frac{403}{13} = 31.

Line

L

is

5x - 12y - 132 = 0

and line

M

is

12x + 5y - 90 = 0.

The new

x

-coordinate of a point is its signed distance to line

M,

counted positive on the side containing

A,

and the new

y

-coordinate is its signed distance to line

L,

positive on the side containing

B.

Substituting

P = (-14, 27)

into

12x + 5y - 90

gives

-168 + 135 - 90 = -123,

while

A

gives

193 \gt 0;

dividing by

\sqrt{12^2 + 5^2} = 13,

we get

\alpha = -\frac{123}{13}.

Substituting

P

into

5x - 12y - 132

gives

-70 - 324 - 132 = -526,

and

B

gives

-179,

so

P

lies on the same side of

L

as

B

and

\beta = \frac{526}{13}.

Therefore

\alpha + \beta = \frac{-123 + 526}{13} = \frac{403}{13} = 31.

4.

En el triángulo

ABC,

AB = 125,

AC = 117,

y

BC = 120.

La bisectriz del ángulo

A

corta a

\overline{BC}

en el punto

L,

y la bisectriz del ángulo

B

corta a

\overline{AC}

en el punto

K.

Sean

M

y

N

los pies de las perpendiculares desde

C

a

\overline{BK}

y

\overline{AL},

respectivamente. Halla

MN.

In triangle

ABC,

AB = 125,

AC = 117,

and

BC = 120.

The angle bisector of angle

A

intersects

\overline{BC}

at point

L,

and the angle bisector of angle

B

intersects

\overline{AC}

at point

K.

Let

M

and

N

be the feet of the perpendiculars from

C

to

\overline{BK}

and

\overline{AL},

respectively. Find

MN.

Respuesta

Conceptos:bisectriz triángulo isósceles punto medio

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Prolonga

\overline{CM}

y

\overline{CN}

hasta que corten a

\overline{AB}

Extend

\overline{CM}

and

\overline{CN}

until they meet

\overline{AB}

Pista grande:

BM

es a la vez bisectriz y altura del triángulo

BCP,

por lo que ese triángulo es isósceles y

M

es un punto medio; entonces

MN

es una paralela media

BM

is both a bisector and an altitude of triangle

BCP,

so that triangle is isosceles and

M

is a midpoint; then

MN

is a midline

Solución:

Prolonga

\overline{CM}

y

\overline{CN}

hasta cortar a

\overline{AB}

en

P

y

Q,

respectivamente. En el triángulo

BCP,

el segmento

BM

es a la vez bisectriz y altura, por lo que el triángulo es isósceles con

BP = BC = 120,

y

M

es el punto medio de

\overline{CP}.

De manera similar, el triángulo

ACQ

es isósceles con

AQ = AC = 117,

y

N

es el punto medio de

\overline{CQ}.

Por lo tanto,

\overline{MN}

es una paralela media del triángulo

CPQ,

así que

MN = \frac{PQ}{2}.

Como

\begin{aligned} PQ &= BP + AQ - AB \\ &= 120 + 117 - 125 \\ &= 112, \end{aligned}

concluimos que

MN = 56.

Extend

\overline{CM}

and

\overline{CN}

to meet

\overline{AB}

at

P

and

Q,

respectively. In triangle

BCP,

the segment

BM

is both an angle bisector and an altitude, so the triangle is isosceles with

BP = BC = 120,

and

M

is the midpoint of

\overline{CP}.

Similarly, triangle

ACQ

is isosceles with

AQ = AC = 117,

and

N

is the midpoint of

\overline{CQ}.

Hence

\overline{MN}

is a midline of triangle

CPQ,

so

MN = \frac{PQ}{2}.

Since

\begin{aligned} PQ &= BP + AQ - AB \\ &= 120 + 117 - 125 \\ &= 112, \end{aligned}

we conclude

MN = 56.

5.

Los vértices de un nonágono regular (polígono de

9

lados) se van a etiquetar con los dígitos

1

a

9

de tal manera que la suma de los números en cada tres vértices consecutivos sea múltiplo de

3.

Dos disposiciones aceptables se consideran indistinguibles si una se puede obtener de la otra rotando el nonágono en el plano. Halla el número de disposiciones aceptables distinguibles.

The vertices of a regular nonagon (

9

-sided polygon) are to be labeled with the digits

1

through

9

in such a way that the sum of the numbers on every three consecutive vertices is a multiple of

3.

Two acceptable arrangements are considered to be indistinguishable if one can be obtained from the other by rotating the nonagon in the plane. Find the number of distinguishable acceptable arrangements.

Respuesta

Conceptos:aritmética modular arreglos circulares principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Compara dos tripletas solapadas de vértices consecutivos: sus sumas difieren en las etiquetas separadas por tres posiciones, así que las etiquetas separadas por tres posiciones son congruentes módulo

3

Compare two overlapping triples of consecutive vertices: their sums differ by the labels three apart, so labels three apart are congruent mod

3

Pista grande:

Cada una de las clases de residuos

\{3,6,9\},

\{1,4,7\},

\{2,5,8\}

ocupa una de las tres clases de posiciones; cuenta las asignaciones y ordenamientos, luego divide entre

9

rotaciones

Each of the residue classes

\{3,6,9\},

\{1,4,7\},

\{2,5,8\}

occupies one of the three position classes; count assignments and orderings, then divide by

9

rotations

Solución:

Dos tripletas solapadas de vértices consecutivos comparten dos etiquetas, así que sus sumas difieren en las etiquetas separadas por tres posiciones. Como todas las sumas de tripletas son múltiplos de

3,

las etiquetas separadas por tres posiciones son congruentes módulo

3.

Por lo tanto, las clases de posiciones

\{1, 4, 7\},

\{2, 5, 8\},

\{3, 6, 9\}

llevan cada una una sola clase de residuos de dígitos, y los dígitos

1

a

9

constan exactamente de tres dígitos de cada clase de residuos módulo

3.

Entonces cada tripleta de posiciones consecutivas contiene un dígito de cada clase de residuos, con suma

\equiv 0 + 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3,

así que las

3!

asignaciones de clases de residuos a clases de posiciones son todas aceptables, y dentro de cada clase de posiciones los tres dígitos se pueden ordenar de

3!

maneras. Eso da

3! \cdot (3!)^3 = 6^4 = 1296

etiquetados aceptables.

Como los dígitos son distintos, ninguna rotación no trivial fija un etiquetado, así que los

1296

etiquetados se dividen en clases de rotación de tamaño

9,

lo que da

\frac{1296}{9} = 144

disposiciones distinguibles.

Two overlapping triples of consecutive vertices share two labels, so their sums differ by labels three positions apart. Since all triple sums are multiples of

3,

labels three apart are congruent mod

3.

Thus the position classes

\{1, 4, 7\},

\{2, 5, 8\},

\{3, 6, 9\}

each carry a single residue class of digits, and the digits

1

through

9

consist of exactly three digits from each residue class mod

3.

Every triple of consecutive positions then contains one digit from each residue class, with sum

\equiv 0 + 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3,

so all

3!

assignments of residue classes to position classes are acceptable, and within each position class the three digits can be arranged in

3!

ways. That gives

3! \cdot (3!)^3 = 6^4 = 1296

acceptable labelings.

Because the digits are distinct, no nontrivial rotation fixes a labeling, so the

1296

labelings split into rotation classes of size

9,

giving

\frac{1296}{9} = 144

distinguishable arrangements.

6.

Supón que una parábola tiene vértice

\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)

y ecuación

y = ax^2 + bx + c,

donde

a \gt 0

y

a + b + c

es un entero. El mínimo valor posible de

a

se puede escribir en la forma

\frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. Halla

p + q.

Suppose that a parabola has vertex

\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)

and equation

y = ax^2 + bx + c,

where

a \gt 0

and

a + b + c

is an integer. The minimum possible value of

a

can be written in the form

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Conceptos:parábola cuadrática

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Escribe la parábola en forma canónica y observa que

a + b + c

es el valor de

y

en

x = 1

Write the parabola in vertex form and note that

a + b + c

is the value of

y

at

x = 1

Pista grande:

Así que

\frac{9(a-2)}{16}

debe ser un entero; elige el entero que haga

a

lo más pequeño posible manteniendo

a \gt 0

So

\frac{9(a-2)}{16}

must be an integer; choose the integer that makes

a

as small as possible while keeping

a \gt 0

Solución:

En forma canónica la parábola es

y = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}.

Como

a + b + c

es igual al valor de

y

en

x = 1,

\begin{aligned} a + b + c &= a\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} \\ &= \frac{9(a - 2)}{16}. \end{aligned}

Si esto es igual al entero

n,

entonces

a = 2 + \frac{16n}{9}.

La condición

a \gt 0

requiere

16n \gt -18,

es decir

n \ge -1,

y

a

es mínimo cuando

n = -1,

lo que da

a = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}.

Así,

p + q = 2 + 9 = 11.

In vertex form the parabola is

y = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}.

Since

a + b + c

equals the value of

y

at

x = 1,

\begin{aligned} a + b + c &= a\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} \\ &= \frac{9(a - 2)}{16}. \end{aligned}

If this equals the integer

n,

then

a = 2 + \frac{16n}{9}.

The condition

a \gt 0

requires

16n \gt -18,

that is

n \ge -1,

and

a

is smallest when

n = -1,

giving

a = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}.

Thus

p + q = 2 + 9 = 11.

7.

Halla el número de enteros positivos

m

para los cuales existen enteros no negativos

x_0,

x_1,

\ldots,

x_{2011},

tales que

m^{x_0} = \sum_{k=1}^{2011} m^{x_k}.

Find the number of positive integers

m

for which there exist nonnegative integers

x_0,

x_1,

\ldots,

x_{2011},

such that

m^{x_0} = \sum_{k=1}^{2011} m^{x_k}.

Respuesta

Conceptos:aritmética modular conteo de factores

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Reduce ambos lados módulo

m - 1:

toda potencia de

m

es congruente con

1

Reduce both sides mod

m - 1:

every power of

m

is congruent to

1

Pista grande:

Así que

m - 1

debe dividir a

2010.

Recíprocamente, expande

m^n

descomponiendo repetidamente una potencia en

m

copias de la potencia inmediatamente inferior; cada descomposición añade

m - 1

términos.

So

m - 1

must divide

2010.

Conversely, expand

m^n

by repeatedly splitting one power into

m

copies of the next-lower power; each split adds

m - 1

terms.

Solución:

El valor

m = 1

falla, ya que el lado derecho sería

2011

mientras que el lado izquierdo es

1.

Para

m \ge 2,

reduce módulo

m - 1:

toda potencia de

m

es

\equiv 1,

así que la ecuación obliga a

1 \equiv 2011 \pmod{m - 1},

es decir,

m - 1

divide a

2010.

Recíprocamente, supón que

2010 = (m - 1)n.

Toma

x_0 = n,

haz que

m

de los

x_k

sean iguales a

0,

y para cada

r = 1, 2, \ldots, n - 1

haz que

m - 1

de los

x_k

sean iguales a

r.

Esto usa

m + (m - 1)(n - 1)

= n(m - 1) + 1

= 2011

términos, y la suma es telescópica:

\begin{aligned} &m \\ &\quad {}+ (m - 1) \\ &\quad {}\cdot (m + m^2 + \cdots + m^{n-1}) \\ &\quad {}= m + (m^n - m) \\ &\quad {}= m^n = m^{x_0}. \end{aligned}

Así que la ecuación tiene solución exactamente cuando

m - 1

divide a

2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67,

que tiene

2^4 = 16

divisores. Hay

16

de tales

m.

The value

m = 1

fails, since the right side would be

2011

while the left side is

1.

For

m \ge 2,

reduce mod

m - 1:

every power of

m

is

\equiv 1,

so the equation forces

1 \equiv 2011 \pmod{m - 1},

that is,

m - 1

divides

2010.

Conversely, suppose

2010 = (m - 1)n.

Take

x_0 = n,

let

m

of the

x_k

equal

0,

and for each

r = 1, 2, \ldots, n - 1

let

m - 1

of the

x_k

equal

r.

This uses

m + (m - 1)(n - 1)

= n(m - 1) + 1

= 2011

terms, and the sum telescopes:

\begin{aligned} &m \\ &\quad {}+ (m - 1) \\ &\quad {}\cdot (m + m^2 + \cdots + m^{n-1}) \\ &\quad {}= m + (m^n - m) \\ &\quad {}= m^n = m^{x_0}. \end{aligned}

So the equation is solvable exactly when

m - 1

divides

2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67,

which has

2^4 = 16

divisors. There are

16

such

m.

8.

En

\triangle ABC,

BC = 23,

CA = 27,

y

AB = 30.

Los puntos

V

y

W

están sobre

\overline{AC}

con

V

sobre

\overline{AW},

los puntos

X

y

Y

están sobre

\overline{BC}

con

X

sobre

\overline{CY},

y los puntos

Z

y

U

están sobre

\overline{AB}

con

Z

sobre

\overline{BU}.

Además, los puntos se ubican de modo que

\overline{UV} \parallel \overline{BC},

\overline{WX} \parallel \overline{AB},

y

\overline{YZ} \parallel \overline{CA}.

Luego se hacen pliegues en ángulo recto a lo largo de

\overline{UV},

\overline{WX},

y

\overline{YZ}.

La figura resultante se coloca sobre un piso nivelado para formar una mesa con patas triangulares. Sea

h

la máxima altura posible de una mesa construida a partir de

\triangle ABC

cuya superficie sea paralela al piso. Entonces

h

se puede escribir en la forma

\frac{k\sqrt{m}}{n},

donde

k

y

n

son enteros positivos primos entre sí y

m

es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

k + m + n.

In

\triangle ABC,

BC = 23,

CA = 27,

and

AB = 30.

Points

V

and

W

are on

\overline{AC}

with

V

on

\overline{AW},

points

X

and

Y

are on

\overline{BC}

with

X

on

\overline{CY},

and points

Z

and

U

are on

\overline{AB}

with

Z

on

\overline{BU}.

In addition, the points are positioned so that

\overline{UV} \parallel \overline{BC},

\overline{WX} \parallel \overline{AB},

and

\overline{YZ} \parallel \overline{CA}.

Right angle folds are then made along

\overline{UV},

\overline{WX},

and

\overline{YZ}.

The resulting figure is placed on a level floor to make a table with triangular legs. Let

h

be the maximum possible height of a table constructed from

\triangle ABC

whose top is parallel to the floor. Then

h

can be written in the form

\frac{k\sqrt{m}}{n},

where

k

and

n

are relatively prime positive integers and

m

is a positive integer that is not divisible by the square of any prime. Find

k + m + n.

Respuesta

Conceptos:Fórmula de Herón semejanza optimización

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Una solapa doblada hacia abajo desde un vértice cuelga hasta una profundidad igual a la distancia de ese vértice a su línea de pliegue, así que las tres líneas de pliegue deben estar a distancia

h

de sus vértices

A flap folded down from a vertex hangs to a depth equal to the distance from that vertex to its fold line, so all three fold lines must be at distance

h

from their vertices

Pista grande:

Dos pliegues que cortan el mismo lado no deben solaparse: para cada lado, el producto de

h

por la suma de las longitudes de los otros dos lados es como máximo el doble del área del triángulo; la mayor de esas sumas es la restricción determinante

Two folds cutting the same side must not overlap: for each side, multiplying

h

by the sum of the other two side lengths gives at most twice the triangle’s area; the largest such sum is the binding constraint

Solución:

Escribe

a = BC = 23,

b = CA = 27,

c = AB = 30,

y sea

K

el área de

\triangle ABC.

Por la fórmula de Herón con semiperímetro

40,

K = \sqrt{40 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 10}

= 20\sqrt{221}.

Cuando la esquina en un vértice se dobla hacia abajo en ángulo recto, la solapa cuelga hasta una profundidad igual a la distancia de ese vértice a la línea de pliegue, así que para una superficie de mesa nivelada de altura

h,

cada línea de pliegue debe estar a distancia

h

de su vértice.

La solapa en

A

es semejante a

\triangle ABC

con razón

\frac{h}{\frac{2K}{a}} = \frac{ha}{2K}

(dividiendo

h

entre la distancia de

A

a

\overline{BC}

), así que ocupa

AU = c \cdot \frac{ha}{2K}

del lado

\overline{AB};

de igual modo la solapa en

B

ocupa

BZ = c \cdot \frac{hb}{2K}

del mismo lado. Los dos pliegues caben sin cruzarse exactamente cuando

AU + BZ \le c,

es decir,

h(a + b) \le 2K.

Los otros dos lados dan

h(b + c) \le 2K

y

h(c + a) \le 2K.

La restricción determinante proviene de la suma mayor,

b + c = 57,

así que la altura máxima es

h = \frac{2K}{57} = \frac{40\sqrt{221}}{57},

y

k + m + n = 40 + 221 + 57

= 318.

Write

a = BC = 23,

b = CA = 27,

c = AB = 30,

and let

K

be the area of

\triangle ABC.

By Heron’s formula with semiperimeter

40,

K = \sqrt{40 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 10}

= 20\sqrt{221}.

When the corner at a vertex is folded down at a right angle, the flap hangs to a depth equal to the distance from that vertex to the fold line, so for a level tabletop of height

h,

each fold line must lie at distance

h

from its vertex.

The flap at

A

is similar to

\triangle ABC

with ratio

\frac{h}{\frac{2K}{a}} = \frac{ha}{2K}

(dividing

h

by the distance from

A

to

\overline{BC}

), so it uses up

AU = c \cdot \frac{ha}{2K}

of side

\overline{AB};

likewise the flap at

B

uses

BZ = c \cdot \frac{hb}{2K}

of the same side. The two folds fit without crossing exactly when

AU + BZ \le c,

that is,

h(a + b) \le 2K.

The other two sides give

h(b + c) \le 2K

and

h(c + a) \le 2K.

The binding constraint comes from the largest sum,

b + c = 57,

so the maximum height is

h = \frac{2K}{57} = \frac{40\sqrt{221}}{57},

and

k + m + n = 40 + 221 + 57

= 318.

9.

Supón que

x

está en el intervalo

\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

y

\log_{24 \sin x}(24 \cos x) = \frac{3}{2}.

Halla

24 \cot^2 x.

Suppose

x

is in the interval

\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

and

\log_{24 \sin x}(24 \cos x) = \frac{3}{2}.

Find

24 \cot^2 x.

Respuesta

Conceptos:logaritmo identidad trigonométrica factorización

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Reescribe la ecuación en forma exponencial y eleva al cuadrado ambos lados para obtener

\cos^2 x = 24 \sin^3 x

Rewrite the equation in exponential form and square both sides to get

\cos^2 x = 24 \sin^3 x

Pista grande:

Reemplaza

\cos^2 x

por

1 - \sin^2 x

y busca una raíz racional de la ecuación cúbica resultante en

\sin x

Replace

\cos^2 x

by

1 - \sin^2 x

and look for a rational root of the resulting cubic in

\sin x

Solución:

En forma exponencial la ecuación dice

(24 \sin x)^{\frac{3}{2}} = 24 \cos x.

Elevando al cuadrado se obtiene

24^3 \sin^3 x = 24^2 \cos^2 x,

así que

\cos^2 x = 24 \sin^3 x.

Escribiendo

s = \sin x

y usando

\cos^2 x = 1 - s^2,

obtenemos

24s^3 + s^2 - 1 = 0,

que se factoriza como

(3s - 1)(8s^2 + 3s + 1) = 0.

El factor cuadrático tiene discriminante negativo, así que

\sin x = \frac{1}{3}.

Entonces

\begin{aligned} 24 \cot^2 x &= 24 \cdot \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= 24 \cdot \frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{9}} \\ &= 24 \cdot 8 = 192. \end{aligned}

In exponential form the equation says

(24 \sin x)^{\frac{3}{2}} = 24 \cos x.

Squaring gives

24^3 \sin^3 x = 24^2 \cos^2 x,

so

\cos^2 x = 24 \sin^3 x.

Writing

s = \sin x

and using

\cos^2 x = 1 - s^2,

we get

24s^3 + s^2 - 1 = 0,

which factors as

(3s - 1)(8s^2 + 3s + 1) = 0.

The quadratic factor has negative discriminant, so

\sin x = \frac{1}{3}.

Then

\begin{aligned} 24 \cot^2 x &= 24 \cdot \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= 24 \cdot \frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{9}} \\ &= 24 \cdot 8 = 192. \end{aligned}

10.

La probabilidad de que un conjunto de tres vértices distintos elegidos al azar entre los vértices de un

n

-ágono regular determinen un triángulo obtuso es

\frac{93}{125}.

Halla la suma de todos los valores posibles de

n.

The probability that a set of three distinct vertices chosen at random from among the vertices of a regular

n

-gon determine an obtuse triangle is

\frac{93}{125}.

Find the sum of all possible values of

n.

Respuesta

Conceptos:ángulo inscrito probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Un triángulo inscrito en un círculo es obtuso exactamente cuando sus tres vértices están estrictamente dentro de algún semicírculo

A triangle inscribed in a circle is obtuse exactly when its three vertices lie strictly inside some semicircle

Pista grande:

Cuenta los triángulos obtusos según su primer vértice en sentido horario, y trata por separado

n

par e impar (solo

n

par tiene triángulos rectángulos)

Count obtuse triangles by their clockwise-first vertex, and handle even and odd

n

separately (only even

n

has right triangles)

Solución:

Por el teorema del ángulo inscrito, un triángulo inscrito es obtuso exactamente cuando sus tres vértices están estrictamente dentro de algún semicírculo. Cuenta los triángulos obtusos según su vértice “primero”, el vértice desde el cual se llega a los otros dos yendo en sentido horario dentro de media circunferencia. Si

n = 2k,

el semicírculo abierto en sentido horario desde un vértice contiene

k - 1

vértices, lo que da

n\binom{k-1}{2}

triángulos obtusos; si

n = 2k + 1,

contiene

k

vértices, lo que da

n\binom{k}{2}.

Para

n = 2k

la probabilidad es

\frac{2k\binom{k-1}{2}}{\binom{2k}{3}} = \frac{3(k - 2)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},

así que

375(k - 2) = 186(2k - 1),

lo que da

3k = 564,

k = 188,

y

n = 376.

Para

n = 2k + 1

la probabilidad es

\frac{3(k - 1)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},

así que

375(k - 1) = 186(2k - 1),

lo que da

3k = 189,

k = 63,

y

n = 127.

La suma de todos los valores posibles es

376 + 127 = 503.

By the inscribed angle theorem, an inscribed triangle is obtuse exactly when its three vertices lie strictly within some semicircle. Count obtuse triangles by their “first” vertex, the vertex from which the other two are reached going clockwise within half the circle. If

n = 2k,

the open semicircle clockwise of a vertex contains

k - 1

vertices, giving

n\binom{k-1}{2}

obtuse triangles; if

n = 2k + 1,

it contains

k

vertices, giving

n\binom{k}{2}.

For

n = 2k

the probability is

\frac{2k\binom{k-1}{2}}{\binom{2k}{3}} = \frac{3(k - 2)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},

so

375(k - 2) = 186(2k - 1),

giving

3k = 564,

k = 188,

and

n = 376.

For

n = 2k + 1

the probability is

\frac{3(k - 1)}{2(2k - 1)} = \frac{93}{125},

so

375(k - 1) = 186(2k - 1),

giving

3k = 189,

k = 63,

and

n = 127.

The sum of all possible values is

376 + 127 = 503.

11.

Sea

R

el conjunto de todos los residuos posibles cuando un número de la forma

2^n,

con

n

entero no negativo, se divide entre

1000.

Sea

S

la suma de los elementos de

R.

Halla el residuo cuando

S

se divide entre

1000.

Let

R

be the set of all possible remainders when a number of the form

2^n,

n

a nonnegative integer, is divided by

1000.

Let

S

be the sum of the elements in

R.

Find the remainder when

S

is divided by

1000.

Respuesta

Conceptos:aritmética modular orden multiplicativo emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

A partir de

2^3

, todo residuo es múltiplo de

8,

y las potencias de

2

se repiten módulo

125

con período

100

From

2^3

on, every remainder is a multiple of

8,

and the powers of

2

repeat mod

125

with period

100

Pista grande:

Demuestra que

2^{50} \equiv -1 \pmod{125},

de modo que los residuos separados por

50

en el ciclo suman exactamente

1000

Show

2^{50} \equiv -1 \pmod{125},

so remainders

50

apart in the cycle sum to exactly

1000

Solución:

Los residuos

2^0 = 1,

2^1 = 2,

y

2^2 = 4

aparecen, y para

n \ge 3

todo

2^n

es divisible por

8.

Módulo

125

las potencias de

2

para

n \ge 3

se repiten con período

100,

así que

R

consta de

1,

2,

4,

y los

100

residuos distintos de

2^3, 2^4, \ldots, 2^{102}.

El hecho clave es

2^{50} \equiv -1 \pmod{125}:

en efecto

2^{50} + 1 = (2^{10} + 1)

\cdot (2^{40} - 2^{30} + 2^{20} - 2^{10} + 1),

donde

2^{10} + 1 = 1025

es divisible por

25

y el segundo factor es

\equiv 1 + 1 + 1 + 1 + 1

\equiv 0 \pmod 5

porque

2^{10} \equiv -1 \pmod 5.

Por lo tanto, para

n \ge 3,

la suma

2^{n+50} + 2^n

es divisible por

125

y por

8,

así que es divisible por

1000.

Emparejar cada residuo del ciclo con el que está

50

pasos después da entonces

50

pares de residuos distintos, cada par sumando exactamente

1000,

así que esos

100

residuos contribuyen un múltiplo de

1000

a

S.

Por lo tanto,

S \equiv 1 + 2 + 4 = 7 \pmod{1000}.

The remainders

2^0 = 1,

2^1 = 2,

and

2^2 = 4

occur, and for

n \ge 3

every

2^n

is divisible by

8.

Modulo

125

the powers of

2

for

n \ge 3

repeat with period

100,

so

R

consists of

1,

2,

4,

and the

100

distinct remainders of

2^3, 2^4, \ldots, 2^{102}.

The key fact is

2^{50} \equiv -1 \pmod{125}:

indeed

2^{50} + 1 = (2^{10} + 1)

\cdot (2^{40} - 2^{30} + 2^{20} - 2^{10} + 1),

where

2^{10} + 1 = 1025

is divisible by

25

and the second factor is

\equiv 1 + 1 + 1 + 1 + 1

\equiv 0 \pmod 5

because

2^{10} \equiv -1 \pmod 5.

Hence for

n \ge 3,

the sum

2^{n+50} + 2^n

is divisible by

125

and by

8,

so by

1000.

Pairing each remainder in the cycle with the one

50

steps later therefore gives

50

pairs of distinct remainders, each pair summing to exactly

1000,

so those

100

remainders contribute a multiple of

1000

to

S.

Thus

S \equiv 1 + 2 + 4 = 7 \pmod{1000}.

12.

Seis hombres y cierto número de mujeres se colocan en fila en orden aleatorio. Sea

p

la probabilidad de que al menos cuatro hombres estén juntos en la fila, dado que cada hombre está junto a al menos otro hombre. Halla el menor número de mujeres en la fila tal que

p

no exceda el

1

por ciento.

Six men and some number of women stand in a line in random order. Let

p

be the probability that a group of at least four men stand together in the line, given that every man stands next to at least one other man. Find the least number of women in the line such that

p

does not exceed

1

percent.

Respuesta

Conceptos:probabilidad condicional arreglos con restricciones desigualdad

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Que cada hombre esté junto a otro hombre significa que los hombres se dividen en bloques de tamaños

2+2+2,

2+4,

4+2,

3+3,

o

6;

coloca los bloques en los huecos entre las mujeres

Every man next to a man means the men split into blocks of sizes

2+2+2,

2+4,

4+2,

3+3,

or

6;

place the blocks into gaps between the women

Pista grande:

La probabilidad condicional se simplifica a

\frac{6(n+1)}{n^2 + 8n + 6};

exige que sea a lo sumo

\frac{1}{100}

The conditional probability simplifies to

\frac{6(n+1)}{n^2 + 8n + 6};

require it to be at most

\frac{1}{100}

Solución:

Sea

n

el número de mujeres; solo importa el patrón de las posiciones de hombres y mujeres. Si cada hombre está junto a otro hombre, los hombres forman bloques maximales cuyos tamaños, en orden, son

2+2+2,

2+4,

4+2,

3+3,

o

6.

Un patrón con

j

bloques equivale a elegir

j

de los

n + 1

huecos determinados por las mujeres, así que hay

\binom{n+1}{3}

patrones para

2+2+2,

\binom{n+1}{2}

para cada uno de los tres órdenes de dos bloques, y

n + 1

para un solo bloque.

Al menos cuatro hombres están juntos en los órdenes

2+4,

4+2,

y

6,

así que

\begin{aligned} p &= \frac{2\binom{n+1}{2} + (n+1)}{\binom{n+1}{3} + 3\binom{n+1}{2} + (n+1)} \\ &= \frac{(n+1)^2}{\frac{(n+1)(n^2 + 8n + 6)}{6}} \\ &= \frac{6(n+1)}{n^2 + 8n + 6}. \end{aligned}

La condición

p \le \frac{1}{100}

se convierte en

f(n) = n^2 - 592n - 594 \ge 0.

Como

f(593) = 593 - 594 = -1 \lt 0

y

f(594) = 2 \cdot 594 - 594

= 594 \gt 0,

el menor número de mujeres es

594.

Let

n

be the number of women; only the pattern of men’s and women’s positions matters. If every man stands next to another man, the men form maximal blocks whose sizes, in order, are

2+2+2,

2+4,

4+2,

3+3,

or

6.

A pattern with

j

blocks amounts to choosing

j

of the

n + 1

gaps determined by the women, so there are

\binom{n+1}{3}

patterns for

2+2+2,

\binom{n+1}{2}

for each of the three two-block orders, and

n + 1

for a single block.

At least four men stand together in the orders

2+4,

4+2,

and

6,

so

\begin{aligned} p &= \frac{2\binom{n+1}{2} + (n+1)}{\binom{n+1}{3} + 3\binom{n+1}{2} + (n+1)} \\ &= \frac{(n+1)^2}{\frac{(n+1)(n^2 + 8n + 6)}{6}} \\ &= \frac{6(n+1)}{n^2 + 8n + 6}. \end{aligned}

The condition

p \le \frac{1}{100}

becomes

f(n) = n^2 - 592n - 594 \ge 0.

Since

f(593) = 593 - 594 = -1 \lt 0

and

f(594) = 2 \cdot 594 - 594

= 594 \gt 0,

the least number of women is

594.

13.

Un cubo de lado

10

está suspendido sobre un plano. El vértice más cercano al plano se etiqueta

A.

Los tres vértices adyacentes al vértice

A

están a alturas

10,

11,

y

12

sobre el plano. La distancia del vértice

A

al plano se puede expresar como

\frac{r - \sqrt{s}}{t},

donde

r,

s,

y

t

son enteros positivos. Halla

r + s + t.

A cube with side length

10

is suspended above a plane. The vertex closest to the plane is labeled

A.

The three vertices adjacent to vertex

A

are at heights

10,

11,

and

12

above the plane. The distance from vertex

A

to the plane can be expressed as

\frac{r - \sqrt{s}}{t},

where

r,

s,

and

t

are positive integers. Find

r + s + t.

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D vector cuadrática

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Si

A

está a altura

h,

las tres aristas en

A

ganan alturas

10 - h,

11 - h,

y

12 - h

If

A

is at height

h,

the three edges at

A

gain heights

10 - h,

11 - h,

and

12 - h

Pista grande:

Esas ganancias son

10

veces las componentes, en las direcciones de las tres aristas perpendiculares, de la normal unitaria al plano orientada hacia arriba, así que la suma de sus cuadrados es

100

Those gains are

10

times the components of the upward unit normal along the three perpendicular edges, so their squares sum to

100

Solución:

Sea

h

la altura de

A,

y sean

e_1,

e_2,

e_3

vectores unitarios a lo largo de las tres aristas mutuamente perpendiculares en

A.

Si

u

es la normal unitaria al plano orientada hacia arriba, la altura del vértice a lo largo de la arista

i

es

h + 10(e_i \cdot u),

así que

10(e_1 \cdot u) = 10 - h,

10(e_2 \cdot u) = 11 - h,

y

10(e_3 \cdot u) = 12 - h.

Como

e_1, e_2, e_3

forman una base ortonormal,

(e_1 \cdot u)^2 + (e_2 \cdot u)^2

+ (e_3 \cdot u)^2 = 1.

Por lo tanto,

\begin{aligned} &(10 - h)^2 + (11 - h)^2 \\ &\quad {}+ (12 - h)^2 = 100, \end{aligned}

lo que se simplifica a

3h^2 - 66h + 265 = 0,

así que

h = \frac{33 \pm \sqrt{33^2 - 3 \cdot 265}}{3} = \frac{33 \pm \sqrt{294}}{3}.

Como

A

es el vértice más cercano al plano,

h \lt 10,

lo que obliga a

h = \frac{33 - \sqrt{294}}{3},

y

r + s + t = 33 + 294 + 3 = 330.

Let

h

be the height of

A,

and let

e_1,

e_2,

e_3

be unit vectors along the three mutually perpendicular edges at

A.

If

u

is the upward unit normal of the plane, the height of the vertex along edge

i

is

h + 10(e_i \cdot u),

so

10(e_1 \cdot u) = 10 - h,

10(e_2 \cdot u) = 11 - h,

and

10(e_3 \cdot u) = 12 - h.

Because

e_1, e_2, e_3

form an orthonormal basis,

(e_1 \cdot u)^2 + (e_2 \cdot u)^2

+ (e_3 \cdot u)^2 = 1.

Therefore

\begin{aligned} &(10 - h)^2 + (11 - h)^2 \\ &\quad {}+ (12 - h)^2 = 100, \end{aligned}

which simplifies to

3h^2 - 66h + 265 = 0,

so

h = \frac{33 \pm \sqrt{33^2 - 3 \cdot 265}}{3} = \frac{33 \pm \sqrt{294}}{3}.

Since

A

is the closest vertex to the plane,

h \lt 10,

forcing

h = \frac{33 - \sqrt{294}}{3},

and

r + s + t = 33 + 294 + 3 = 330.

14.

Sea

A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8

un octágono regular. Sean

M_1,

M_3,

M_5,

y

M_7

los puntos medios de los lados

\overline{A_1A_2},

\overline{A_3A_4},

\overline{A_5A_6},

y

\overline{A_7A_8},

respectivamente. Para

i = 1,

3,

5,

7,

se construye el rayo

R_i

desde

M_i

hacia el interior del octágono de modo que

R_1 \perp R_3,

R_3 \perp R_5,

R_5 \perp R_7,

y

R_7 \perp R_1.

Los pares de rayos

R_1

y

R_3,

R_3

y

R_5,

R_5

y

R_7,

y

R_7

y

R_1

se cortan en

B_1,

B_3,

B_5,

y

B_7,

respectivamente. Si

B_1B_3 = A_1A_2,

entonces

\cos 2\angle A_3M_3B_1

se puede escribir en la forma

m - \sqrt{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos. Halla

m + n.

Let

A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8

be a regular octagon. Let

M_1,

M_3,

M_5,

and

M_7

be the midpoints of sides

\overline{A_1A_2},

\overline{A_3A_4},

\overline{A_5A_6},

and

\overline{A_7A_8},

respectively. For

i = 1,

3,

5,

7,

ray

R_i

is constructed from

M_i

towards the interior of the octagon such that

R_1 \perp R_3,

R_3 \perp R_5,

R_5 \perp R_7,

and

R_7 \perp R_1.

Pairs of rays

R_1

and

R_3,

R_3

and

R_5,

R_5

and

R_7,

and

R_7

and

R_1

meet at

B_1,

B_3,

B_5,

and

B_7,

respectively. If

B_1B_3 = A_1A_2,

then

\cos 2\angle A_3M_3B_1

can be written in the form

m - \sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Conceptos:polígono regular identidad trigonométrica triángulo rectángulo simetría

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Por la simetría de rotación de

90^\circ

tanto

B_1

como

B_3

están en el rayo

R_3,

así que

M_3B_1 - M_3B_3 = B_1B_3 = A_1A_2

By the

90^\circ

rotational symmetry, both

B_1

and

B_3

lie on ray

R_3,

so

M_3B_1 - M_3B_3 = B_1B_3 = A_1A_2

Pista grande:

El triángulo rectángulo

M_1B_1M_3

da

a^2 + b^2 = M_1M_3^2;

conocido

b - a

, halla

a + b

y usa

\tan \angle A_3M_3B_1 = \frac{a+b}{b-a}

Right triangle

M_1B_1M_3

gives

a^2 + b^2 = M_1M_3^2;

with

b - a

known, find

a + b

and use

\tan \angle A_3M_3B_1 = \frac{a+b}{b-a}

Solución:

Escala de modo que

A_1A_2 = 2.

Una rotación de

90^\circ

alrededor del centro lleva toda la configuración a sí misma, así que

B_1B_3B_5B_7

es un cuadrado y las distancias

a = M_iB_i

y

b = M_iB_{i-2}

no dependen de

i.

Tanto

B_3

como

B_1

están en el rayo

R_3

(a distancias

a

y

b

de

M_3

), así que

b - a = B_1B_3 = 2.

Además,

R_1 \perp R_3

hace que el triángulo

M_1B_1M_3

sea rectángulo en

B_1,

así que

a^2 + b^2 = M_1M_3^2.

Las rectas

A_1A_2

y

A_3A_4

se cortan en un punto

C

en ángulo recto, y el triángulo

A_2CA_3

es un triángulo rectángulo isósceles con catetos

A_2C = A_3C = \sqrt{2},

así que

M_1C = M_3C = 1 + \sqrt{2}

y

a^2 + b^2 = M_1M_3^2 = 2(1 + \sqrt{2})^2.

Entonces

\begin{aligned} (a + b)^2 &= 2(a^2 + b^2) - (b - a)^2 \\ &= 4(1 + \sqrt{2})^2 - 4 \\ &= 8 + 8\sqrt{2}. \end{aligned}

Como el triángulo

M_1CM_3

es un triángulo rectángulo isósceles y

A_3

está sobre el segmento

\overline{M_3C},

tenemos

\angle A_3M_3M_1 = 45^\circ,

mientras que

\tan \angle M_1M_3B_1 = \frac{a}{b}

por el triángulo rectángulo. La fórmula de adición de la tangente da

\begin{aligned} \tan \angle A_3M_3B_1 &= \frac{1 + \frac{a}{b}}{1 - \frac{a}{b}} \\ &= \frac{a + b}{b - a}, \end{aligned}

así que

\begin{aligned} \tan^2 \angle A_3M_3B_1 &= \frac{8 + 8\sqrt{2}}{4} \\ &= 2 + 2\sqrt{2}. \end{aligned}

Por lo tanto,

\begin{aligned} &\cos 2\angle A_3M_3B_1 \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{1 - \tan^2 \angle A_3M_3B_1}{1 + \tan^2 \angle A_3M_3B_1} \\ &\quad {}= \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \\ &\quad {}= -(1 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) \\ &\quad {}= 5 - 4\sqrt{2} \\ &\quad {}= 5 - \sqrt{32}, \end{aligned}

y

m + n = 5 + 32 = 37.

Scale so that

A_1A_2 = 2.

A

90^\circ

rotation about the center carries the whole configuration to itself, so

B_1B_3B_5B_7

is a square and the distances

a = M_iB_i

and

b = M_iB_{i-2}

do not depend on

i.

Both

B_3

and

B_1

lie on ray

R_3

(at distances

a

and

b

from

M_3

), so

b - a = B_1B_3 = 2.

Also,

R_1 \perp R_3

makes triangle

M_1B_1M_3

right-angled at

B_1,

so

a^2 + b^2 = M_1M_3^2.

Lines

A_1A_2

and

A_3A_4

meet at a point

C

at a right angle, and triangle

A_2CA_3

is an isosceles right triangle with legs

A_2C = A_3C = \sqrt{2},

so

M_1C = M_3C = 1 + \sqrt{2}

and

a^2 + b^2 = M_1M_3^2 = 2(1 + \sqrt{2})^2.

Then

\begin{aligned} (a + b)^2 &= 2(a^2 + b^2) - (b - a)^2 \\ &= 4(1 + \sqrt{2})^2 - 4 \\ &= 8 + 8\sqrt{2}. \end{aligned}

Since triangle

M_1CM_3

is an isosceles right triangle and

A_3

lies on segment

\overline{M_3C},

we have

\angle A_3M_3M_1 = 45^\circ,

while

\tan \angle M_1M_3B_1 = \frac{a}{b}

from the right triangle. The tangent addition formula gives

\begin{aligned} \tan \angle A_3M_3B_1 &= \frac{1 + \frac{a}{b}}{1 - \frac{a}{b}} \\ &= \frac{a + b}{b - a}, \end{aligned}

so

\begin{aligned} \tan^2 \angle A_3M_3B_1 &= \frac{8 + 8\sqrt{2}}{4} \\ &= 2 + 2\sqrt{2}. \end{aligned}

Therefore

\begin{aligned} &\cos 2\angle A_3M_3B_1 \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{1 - \tan^2 \angle A_3M_3B_1}{1 + \tan^2 \angle A_3M_3B_1} \\ &\quad {}= \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \\ &\quad {}= -(1 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) \\ &\quad {}= 5 - 4\sqrt{2} \\ &\quad {}= 5 - \sqrt{32}, \end{aligned}

and

m + n = 5 + 32 = 37.

15.

Para algún entero

m,

el polinomio

x^3 - 2011x + m

tiene tres raíces enteras

a,

b,

y

c.

Halla

|a| + |b| + |c|.

For some integer

m,

the polynomial

x^3 - 2011x + m

has the three integer roots

a,

b,

and

c.

Find

|a| + |b| + |c|.

Respuesta

Conceptos:Fórmulas de Vieta Ecuación diofántica cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Vieta da

a + b + c = 0

y

ab + bc + ca = -2011;

elimina

c

para obtener

a^2 + ab + b^2 = 2011

Vieta gives

a + b + c = 0

and

ab + bc + ca = -2011;

eliminate

c

to get

a^2 + ab + b^2 = 2011

Pista grande:

Multiplica por

4:

(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.

Si

b

es la menor raíz no negativa, entonces

3b^2 \le 2011;

prueba qué

b

hace de

8044 - 3b^2

un cuadrado perfecto.

Multiply by

4:

(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.

If

b

is the smaller nonnegative root, then

3b^2 \le 2011;

test which

b

makes

8044 - 3b^2

a perfect square.

Solución:

Por las fórmulas de Vieta,

a + b + c = 0

y

ab + bc + ca = -2011.

Negar las tres raíces reemplaza

m

por

-m,

así que podemos suponer que dos raíces, digamos

a \ge b,

son no negativas. Sustituir

c = -(a + b)

en la segunda ecuación da

ab - (a + b)^2 = -2011,

es decir,

a^2 + ab + b^2 = 2011.

Multiplicando por

4

y completando el cuadrado,

(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.

Como

a \ge b \ge 0,

tenemos

3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011,

así que

0 \le b \le 25.

Al revisar estos valores,

8044 - 3b^2

es un cuadrado perfecto solo para

b = 10,

donde

8044 - 300 = 7744 = 88^2.

Entonces

2a + b = 88

da

a = 39,

y

c = -(a + b) = -49.

(En efecto

39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.

) Por lo tanto,

|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49

= 98.

By Vieta’s formulas,

a + b + c = 0

and

ab + bc + ca = -2011.

Negating all three roots replaces

m

by

-m,

so we may assume two roots, say

a \ge b,

are nonnegative. Substituting

c = -(a + b)

into the second equation gives

ab - (a + b)^2 = -2011,

that is,

a^2 + ab + b^2 = 2011.

Multiplying by

4

and completing the square,

(2a + b)^2 + 3b^2 = 8044.

Since

a \ge b \ge 0,

we have

3b^2 \le a^2 + ab + b^2 = 2011,

so

0 \le b \le 25.

Checking these values,

8044 - 3b^2

is a perfect square only for

b = 10,

where

8044 - 300 = 7744 = 88^2.

Then

2a + b = 88

gives

a = 39,

and

c = -(a + b) = -49.

(Indeed

39 \cdot 10 - 49^2 = -2011.

) Therefore

|a| + |b| + |c| = 39 + 10 + 49

= 98.