Question

En el hexágono convexo $ABCDEF,$ los seis lados son congruentes, $\angle A$ y $\angle D$ son ángulos rectos, y $\angle B,$ $\angle C,$ $\angle E,$ y $\angle F$ son congruentes. El área de la región hexagonal es $2116(\sqrt{2} + 1).$ Halla $AB.$

In convex hexagon $ABCDEF,$ all six sides are congruent, $\angle A$ and $\angle D$ are right angles, and $\angle B,$ $\angle C,$ $\angle E,$ and $\angle F$ are congruent. The area of the hexagonal region is $2116(\sqrt{2} + 1).$ Find $AB.$

Respuesta

Solución:

Los ángulos de un hexágono suman $720^\circ,$ así que cada uno de los cuatro ángulos congruentes mide $\frac{720 - 2 \cdot 90}{4} = 135$ grados. Sea $AB = x.$ Las diagonales $BF$ y $CE$ recortan los triángulos rectángulos isósceles $FAB$ y $CDE,$ cada uno con catetos $x$ e hipotenusa $x\sqrt{2},$ y los ángulos de $135^\circ$ garantizan que la pieza restante $BCEF$ es un rectángulo con lados $x\sqrt{2}$ y $x.$

Por lo tanto, el área es $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x \cdot x\sqrt{2} \\ &= x^2(1 + \sqrt{2}) \\ &= 2116(\sqrt{2} + 1), \end{aligned}$ así que $x^2 = 2116$ y $AB = x = 46.$

The angles of a hexagon sum to $720^\circ,$ so each of the four congruent angles measures $\frac{720 - 2 \cdot 90}{4} = 135$ degrees. Let $AB = x.$ The diagonals $BF$ and $CE$ cut off the right isosceles triangles $FAB$ and $CDE,$ each with legs $x$ and hypotenuse $x\sqrt{2},$ and the $135^\circ$ angles guarantee that the remaining piece $BCEF$ is a rectangle with sides $x\sqrt{2}$ and $x.$

Hence the area is $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x \cdot x\sqrt{2} \\ &= x^2(1 + \sqrt{2}) \\ &= 2116(\sqrt{2} + 1), \end{aligned}$ so $x^2 = 2116$ and $AB = x = 46.$

2006 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años