Soluciones del 2006 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En el hexágono convexo $ABCDEF,$ los seis lados son congruentes, $\angle A$ y $\angle D$ son ángulos rectos, y $\angle B,$ $\angle C,$ $\angle E,$ y $\angle F$ son congruentes. El área de la región hexagonal es $2116(\sqrt{2} + 1).$ Halla $AB.$

In convex hexagon $ABCDEF,$ all six sides are congruent, $\angle A$ and $\angle D$ are right angles, and $\angle B,$ $\angle C,$ $\angle E,$ and $\angle F$ are congruent. The area of the hexagonal region is $2116(\sqrt{2} + 1).$ Find $AB.$

Respuesta

Conceptos:descomposición de áreas suma de ángulos triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Los ángulos de un hexágono suman $720^\circ,$ así que cada uno de los cuatro ángulos congruentes mide $\frac{720 - 2 \cdot 90}{4} = 135$ grados. Sea $AB = x.$ Las diagonales $BF$ y $CE$ recortan los triángulos rectángulos isósceles $FAB$ y $CDE,$ cada uno con catetos $x$ e hipotenusa $x\sqrt{2},$ y los ángulos de $135^\circ$ garantizan que la pieza restante $BCEF$ es un rectángulo con lados $x\sqrt{2}$ y $x.$

Por lo tanto, el área es $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x \cdot x\sqrt{2} \\ &= x^2(1 + \sqrt{2}) \\ &= 2116(\sqrt{2} + 1), \end{aligned}$ así que $x^2 = 2116$ y $AB = x = 46.$

The angles of a hexagon sum to $720^\circ,$ so each of the four congruent angles measures $\frac{720 - 2 \cdot 90}{4} = 135$ degrees. Let $AB = x.$ The diagonals $BF$ and $CE$ cut off the right isosceles triangles $FAB$ and $CDE,$ each with legs $x$ and hypotenuse $x\sqrt{2},$ and the $135^\circ$ angles guarantee that the remaining piece $BCEF$ is a rectangle with sides $x\sqrt{2}$ and $x.$

Hence the area is $\begin{aligned} &2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x \cdot x\sqrt{2} \\ &= x^2(1 + \sqrt{2}) \\ &= 2116(\sqrt{2} + 1), \end{aligned}$ so $x^2 = 2116$ and $AB = x = 46.$

2.

Las longitudes de los lados de un triángulo de área positiva son $\log_{10} 12,$ $\log_{10} 75,$ y $\log_{10} n,$ donde $n$ es un entero positivo. Halla el número de valores posibles de $n.$

The lengths of the sides of a triangle with positive area are $\log_{10} 12,$ $\log_{10} 75,$ and $\log_{10} n,$ where $n$ is a positive integer. Find the number of possible values for $n.$

Respuesta

Conceptos:desigualdad triangular logaritmo

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

La desigualdad triangular exige $\log n \lt \log 12 + \log 75 = \log 900$ y $\log 12 + \log n \gt \log 75,$ es decir $\log n \gt \log 75 - \log 12 = \log \frac{25}{4}.$ (La tercera desigualdad es de nuevo la primera.)

Así que $\frac{25}{4} \lt n \lt 900,$ lo que para enteros significa $7 \le n \le 899.$ Eso da $899 - 7 + 1 = 893$ valores posibles de $n.$

The triangle inequality requires $\log n \lt \log 12 + \log 75 = \log 900$ and $\log 12 + \log n \gt \log 75,$ that is $\log n \gt \log 75 - \log 12 = \log \frac{25}{4}.$ (The third inequality is the first one again.)

So $\frac{25}{4} \lt n \lt 900,$ which for integers means $7 \le n \le 899.$ That gives $899 - 7 + 1 = 893$ possible values of $n.$

3.

Sea $P$ el producto de los primeros $100$ enteros impares positivos. Halla el mayor entero $k$ tal que $P$ sea divisible por $3^k.$

Let $P$ be the product of the first $100$ positive odd integers. Find the largest integer $k$ such that $P$ is divisible by $3^k.$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos divisibilidad

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

$P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 199,$ así que $k$ es el número total de factores de $3$ entre los números impares hasta $199.$ Los múltiplos impares de $3$ son $3 \cdot 1, 3 \cdot 3, \ldots, 3 \cdot 65,$ y hay $33$ de ellos. Los múltiplos impares de $9$ son $9 \cdot 1, \ldots, 9 \cdot 21:$ $11$ de ellos. Los múltiplos impares de $27$ son $27, 81, 135, 189:$ $4$ de ellos. El único múltiplo impar de $81$ que no supera $199$ es $81$ mismo, y no hay múltiplos de $243.$

Cada capa aporta un factor adicional de $3,$ así que $k = 33 + 11 + 4 + 1 = 49.$

$P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 199,$ so $k$ is the total number of factors of $3$ among the odd numbers up to $199.$ The odd multiples of $3$ are $3 \cdot 1, 3 \cdot 3, \ldots, 3 \cdot 65,$ and there are $33$ of them. The odd multiples of $9$ are $9 \cdot 1, \ldots, 9 \cdot 21:$ $11$ of them. The odd multiples of $27$ are $27, 81, 135, 189:$ $4$ of them. The only odd multiple of $81$ at most $199$ is $81$ itself, and there are no multiples of $243.$

Each layer contributes one additional factor of $3,$ so $k = 33 + 11 + 4 + 1 = 49.$

4.

Sea $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{12})$ una permutación de $(1, 2, 3, \ldots, 12)$ para la cual $a_1 \gt a_2 \gt a_3 \gt a_4 \gt a_5 \gt a_6$ y $\begin{aligned} &a_6 \lt a_7 \lt a_8 \lt a_9 \\ &\lt a_{10} \lt a_{11} \lt a_{12}. \end{aligned}$ Un ejemplo de tal permutación es $(6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12).$ Halla el número de tales permutaciones.

Let $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{12})$ be a permutation of $(1, 2, 3, \ldots, 12)$ for which $a_1 \gt a_2 \gt a_3 \gt a_4 \gt a_5 \gt a_6$ and $\begin{aligned} &a_6 \lt a_7 \lt a_8 \lt a_9 \\ &\lt a_{10} \lt a_{11} \lt a_{12}. \end{aligned}$ An example of such a permutation is $(6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12).$ Find the number of such permutations.

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones combinaciones

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

El término $a_6$ es menor que cualquier otro término de la permutación, así que $a_6 = 1.$ Ahora elige cuáles cinco de los $11$ números restantes ocupan las posiciones $1$ a $5:$ deben aparecer en orden decreciente, de modo que su disposición queda determinada, y los otros seis números deben llenar las posiciones $7$ a $12$ en orden creciente, lo que también queda determinado.

Cada elección de los cinco números da exactamente una permutación válida, así que el conteo es $\binom{11}{5} = 462.$

The term $a_6$ is smaller than every other term of the permutation, so $a_6 = 1.$ Now choose which five of the remaining $11$ numbers occupy positions $1$ through $5:$ they must appear in decreasing order, so their arrangement is forced, and the other six numbers must fill positions $7$ through $12$ in increasing order, which is also forced.

Every choice of the five numbers gives exactly one valid permutation, so the count is $\binom{11}{5} = 462.$

5.

Al lanzar cierto dado injusto de seis caras numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ y $6,$ la probabilidad de obtener la cara $F$ es mayor que $\frac{1}{6},$ la probabilidad de obtener la cara opuesta a la cara $F$ es menor que $\frac{1}{6},$ la probabilidad de obtener cada una de las demás caras es $\frac{1}{6},$ y la suma de los números en cada par de caras opuestas es $7.$ Al lanzar dos de estos dados, la probabilidad de obtener una suma de $7$ es $\frac{47}{288}.$ Dado que la probabilidad de obtener la cara $F$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

When rolling a certain unfair six-sided die with faces numbered $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6,$ the probability of obtaining face $F$ is greater than $\frac{1}{6},$ the probability of obtaining the face opposite face $F$ is less than $\frac{1}{6},$ the probability of obtaining each of the other faces is $\frac{1}{6},$ and the sum of the numbers on each pair of opposite faces is $7.$ When two such dice are rolled, the probability of obtaining a sum of $7$ is $\frac{47}{288}.$ Given that the probability of obtaining face $F$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:dados (probabilidad)diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2350

Solución:

Sea la probabilidad de la cara $F$ igual a $\frac{1}{6} + x,$ de modo que la cara opuesta a $F$ tiene probabilidad $\frac{1}{6} - x$ (las seis probabilidades deben sumar $1$ ). Como las caras opuestas suman $7,$ un total de $7$ ocurre exactamente cuando los dos dados muestran un par de caras opuestas. De los seis pares ordenados que suman $7,$ cuatro usan solo caras ordinarias, y dos emparejan $F$ con su opuesta. Así $\begin{aligned} \frac{47}{288} &= 4\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ &\quad {}+ 2\left(\frac{1}{6} + x\right)\left(\frac{1}{6} - x\right) \\ &= \frac{1}{6} - 2x^2. \end{aligned}$

Como $\frac{1}{6} = \frac{48}{288},$ esto da $2x^2 = \frac{1}{288},$ así que $x = \frac{1}{24}.$ La probabilidad de la cara $F$ es $\frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24},$ y $m + n = 5 + 24 = 29.$

Let the probability of face $F$ be $\frac{1}{6} + x,$ so the face opposite $F$ has probability $\frac{1}{6} - x$ (the six probabilities must sum to $1$ ). Since opposite faces sum to $7,$ a total of $7$ occurs exactly when the two dice show a pair of opposite faces. Of the six ordered pairs that sum to $7,$ four use only ordinary faces, and two pair $F$ with its opposite. Thus $\begin{aligned} \frac{47}{288} &= 4\left(\frac{1}{6}\right)^2 \\ &\quad {}+ 2\left(\frac{1}{6} + x\right)\left(\frac{1}{6} - x\right) \\ &= \frac{1}{6} - 2x^2. \end{aligned}$

Since $\frac{1}{6} = \frac{48}{288},$ this gives $2x^2 = \frac{1}{288},$ so $x = \frac{1}{24}.$ The probability of face $F$ is $\frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24},$ and $m + n = 5 + 24 = 29.$

6.

El cuadrado $ABCD$ tiene lados de longitud $1.$ Los puntos $E$ y $F$ están en $\overline{BC}$ y $\overline{CD},$ respectivamente, de modo que $\triangle AEF$ es equilátero. Un cuadrado con vértice $B$ tiene lados paralelos a los de $ABCD$ y un vértice en $\overline{AE}.$ La longitud del lado de este cuadrado más pequeño es $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

Square $ABCD$ has sides of length $1.$ Points $E$ and $F$ are on $\overline{BC}$ and $\overline{CD},$ respectively, so that $\triangle AEF$ is equilateral. A square with vertex $B$ has sides that are parallel to those of $ABCD$ and a vertex on $\overline{AE}.$ The length of a side of this smaller square is $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)geometría analítica

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Coloca $A = (0, 0),$ $B = (1, 0),$ $C = (1, 1),$ $D = (0, 1).$ Por la simetría del triángulo equilátero respecto a la diagonal $\overline{AC},$ tenemos $BE = DF.$ Sea $BE = t,$ de modo que $CE = CF = 1 - t.$ Entonces $AE^2 = 1 + t^2$ y $EF^2 = 2(1 - t)^2,$ e igualándolos se obtiene $t^2 - 4t + 1 = 0,$ así que $t = 2 - \sqrt{3}$ (tomando la raíz menor que $1$ ).

Por lo tanto $E = (1,\, 2 - \sqrt{3}),$ y la recta $AE$ es $y = (2 - \sqrt{3})x.$ Si el cuadrado más pequeño tiene lado $q,$ su vértice opuesto a $B$ es $(1 - q,\, q),$ que debe estar sobre la recta $AE:$ $\begin{aligned} q &= (2 - \sqrt{3})(1 - q) \\ &\Longrightarrow q = \frac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \\ &= \frac{(2 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{6} \\ &= \frac{3 - \sqrt{3}}{6}. \end{aligned}$

Así que $a = 3,$ $b = 3,$ $c = 6,$ y $a + b + c = 12.$

Place $A = (0, 0),$ $B = (1, 0),$ $C = (1, 1),$ $D = (0, 1).$ By the symmetry of the equilateral triangle across diagonal $\overline{AC},$ we have $BE = DF.$ Let $BE = t,$ so $CE = CF = 1 - t.$ Then $AE^2 = 1 + t^2$ and $EF^2 = 2(1 - t)^2,$ and setting them equal gives $t^2 - 4t + 1 = 0,$ so $t = 2 - \sqrt{3}$ (taking the root less than $1$ ).

Thus $E = (1,\, 2 - \sqrt{3}),$ and line $AE$ is $y = (2 - \sqrt{3})x.$ If the smaller square has side $q,$ its vertex opposite $B$ is $(1 - q,\, q),$ which must lie on line $AE:$ $\begin{aligned} q &= (2 - \sqrt{3})(1 - q) \\ &\Longrightarrow q = \frac{2 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \\ &= \frac{(2 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{6} \\ &= \frac{3 - \sqrt{3}}{6}. \end{aligned}$

So $a = 3,$ $b = 3,$ $c = 6,$ and $a + b + c = 12.$

7.

Halla el número de pares ordenados de enteros positivos $(a, b)$ tales que $a + b = 1000$ y ni $a$ ni $b$ tenga un dígito cero.

Find the number of ordered pairs of positive integers $(a, b)$ such that $a + b = 1000$ and neither $a$ nor $b$ has a zero digit.

Respuesta

Conceptos:dígitos conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Hay $999$ pares en total ( $a = 1, \ldots, 999$ ); cuenta los prohibidos. Si $a$ tiene dígito de las unidades $0,$ entonces $b$ también, y escribiendo $a = 10r,$ $b = 10s$ se obtiene $r + s = 100$ con $1 \le r \le 99:$ esos son $99$ pares prohibidos.

Ahora supón que ambos dígitos de las unidades son distintos de cero. Entonces un número del par tiene un dígito cero exactamente cuando es un número de tres dígitos de la forma $h0u$ con $h, u \in \{1, \ldots, 9\}$ (un número de uno o dos dígitos con dígito de las unidades no nulo no tiene dígito cero). Si $a = h0u,$ entonces $b = 1000 - a$ $= 100(9 - h) + 90$ $+ (10 - u)$ tiene dígito de las decenas $9,$ así que $b$ tampoco es de esa forma. Por lo tanto los pares prohibidos aquí son aquellos en que exactamente uno de $a, b$ es igual a $h0u:$ $81 + 81 = 162$ pares.

El número total de pares prohibidos es $99 + 162 = 261,$ así que la respuesta es $999 - 261 = 738.$

There are $999$ pairs in all ( $a = 1, \ldots, 999$ ); count the forbidden ones. If $a$ has units digit $0,$ so does $b,$ and writing $a = 10r,$ $b = 10s$ gives $r + s = 100$ with $1 \le r \le 99:$ that is $99$ forbidden pairs.

Now suppose both units digits are nonzero. Then a number in the pair has a zero digit exactly when it is a three-digit number of the form $h0u$ with $h, u \in \{1, \ldots, 9\}$ (a one- or two-digit number with nonzero units digit has no zero digit). If $a = h0u,$ then $b = 1000 - a$ $= 100(9 - h) + 90$ $+ (10 - u)$ has tens digit $9,$ so $b$ is not also of that form. Hence the forbidden pairs here are those where exactly one of $a, b$ equals $h0u:$ $81 + 81 = 162$ pairs.

The total number of forbidden pairs is $99 + 162 = 261,$ so the answer is $999 - 261 = 738.$

8.

Hay un suministro ilimitado de triángulos equiláteros congruentes hechos de papel de colores. Cada triángulo es de un color sólido, con el mismo color en ambas caras del papel. Se construye un triángulo equilátero grande con cuatro de estos triángulos de papel, como se muestra. Dos triángulos grandes se consideran distinguibles si no es posible colocar uno sobre el otro, usando traslaciones, rotaciones y/o reflexiones, de modo que sus triángulos pequeños correspondientes sean del mismo color. Dado que hay seis colores diferentes de triángulos para elegir, ¿cuántos triángulos equiláteros grandes distinguibles se pueden construir?

There is an unlimited supply of congruent equilateral triangles made of colored paper. Each triangle is a solid color with the same color on both sides of the paper. A large equilateral triangle is constructed from four of these paper triangles as shown. Two large triangles are considered distinguishable if it is not possible to place one on the other, using translations, rotations, and/or reflections, so that their corresponding small triangles are of the same color. Given that there are six different colors of triangles from which to choose, how many distinguishable large equilateral triangles can be constructed?

Respuesta

Conceptos:combinaciones simetría análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Las rotaciones y reflexiones del triángulo grande realizan toda permutación de los tres triángulos de las esquinas mientras dejan fijo el triángulo central. Así que dos triángulos grandes son indistinguibles exactamente cuando tienen el mismo color central y el mismo multiconjunto de tres colores de esquina.

Cuenta los multiconjuntos de colores de esquina de entre seis colores: los tres iguales ( $6$ formas), exactamente dos iguales ( $6 \cdot 5 = 30$ formas, eligiendo el color repetido y luego el distinto), o los tres distintos ( $\binom{6}{3} = 20$ formas). Eso da $6 + 30 + 20 = 56$ multiconjuntos.

Con $6$ opciones independientes para el color central, el total es $6 \cdot 56 = 336.$

The rotations and reflections of the large triangle realize every permutation of the three corner triangles while fixing the center triangle. So two large triangles are indistinguishable exactly when they have the same center color and the same multiset of three corner colors.

Count the multisets of corner colors from six colors: all three the same ( $6$ ways), exactly two the same ( $6 \cdot 5 = 30$ ways, choosing the repeated color and then the different one), or all three different ( $\binom{6}{3} = 20$ ways). That is $6 + 30 + 20 = 56$ multisets.

With $6$ independent choices for the center color, the total is $6 \cdot 56 = 336.$

9.

Las circunferencias $\mathcal{C}_1,$ $\mathcal{C}_2,$ y $\mathcal{C}_3$ tienen sus centros en $(0, 0),$ $(12, 0),$ y $(24, 0),$ y tienen radios $1,$ $2,$ y $4,$ respectivamente. La recta $t_1$ es una tangente interior común a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ y tiene pendiente positiva, y la recta $t_2$ es una tangente interior común a $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ y tiene pendiente negativa. Dado que las rectas $t_1$ y $t_2$ se cortan en $(x, y),$ y que $x = p - q\sqrt{r},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $p + q + r.$

Circles $\mathcal{C}_1,$ $\mathcal{C}_2,$ and $\mathcal{C}_3$ have their centers at $(0, 0),$ $(12, 0),$ and $(24, 0),$ and have radii $1,$ $2,$ and $4,$ respectively. Line $t_1$ is a common internal tangent to $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ and has a positive slope, and line $t_2$ is a common internal tangent to $\mathcal{C}_2$ and $\mathcal{C}_3$ and has a negative slope. Given that lines $t_1$ and $t_2$ intersect at $(x, y),$ and that $x = p - q\sqrt{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers and $r$ is not divisible by the square of any prime, find $p + q + r.$

Respuesta

Conceptos:recta tangente geometría analítica racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Una tangente interior común encuentra el segmento entre los centros en el punto que lo divide en la razón de los radios. Para $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ ese punto es $(4, 0),$ a distancia $4$ de $(0,0).$ Si $t_1$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $x$ , entonces $\sin\theta = \frac{1}{4},$ así que $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{15}}$ y $t_1$ es $y = \frac{1}{\sqrt{15}}(x - 4).$ Para $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ el punto es $(16, 0),$ a distancia $4$ de $(12, 0);$ aquí $\sin\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$ así que la pendiente es $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ y $t_2$ es $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 16).$

Igualando las dos expresiones y multiplicando por $\sqrt{15}$ se obtiene $x - 4 = -\sqrt{5}\,(x - 16),$ así que $x(1 + \sqrt{5}) = 4 + 16\sqrt{5}$ y $\begin{aligned} x &= \frac{4 + 16\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} \\ &= \frac{(4 + 16\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{4} \\ &= \frac{76 - 12\sqrt{5}}{4} \\ &= 19 - 3\sqrt{5}. \end{aligned}$

Así que $p + q + r = 19 + 3 + 5 = 27.$

A common internal tangent meets the segment between the centers at the point dividing it in the ratio of the radii. For $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ that point is $(4, 0),$ at distance $4$ from $(0,0).$ If $t_1$ makes angle $\theta$ with the $x$ -axis, then $\sin\theta = \frac{1}{4},$ so $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{15}}$ and $t_1$ is $y = \frac{1}{\sqrt{15}}(x - 4).$ For $\mathcal{C}_2$ and $\mathcal{C}_3$ the point is $(16, 0),$ at distance $4$ from $(12, 0);$ here $\sin\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$ so the slope is $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ and $t_2$ is $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 16).$

Setting the two expressions equal and multiplying by $\sqrt{15}$ gives $x - 4 = -\sqrt{5}\,(x - 16),$ so $x(1 + \sqrt{5}) = 4 + 16\sqrt{5}$ and $\begin{aligned} x &= \frac{4 + 16\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} \\ &= \frac{(4 + 16\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{4} \\ &= \frac{76 - 12\sqrt{5}}{4} \\ &= 19 - 3\sqrt{5}. \end{aligned}$

Thus $p + q + r = 19 + 3 + 5 = 27.$

10.

Siete equipos juegan un torneo de fútbol en el que cada equipo juega contra cada uno de los demás exactamente una vez. No hay empates, cada equipo tiene una probabilidad del $50\%$ de ganar cada partido que juega, y los resultados de los partidos son independientes. En cada partido, el ganador recibe $1$ punto y el perdedor obtiene $0$ puntos. Los puntos totales se acumulan para decidir las posiciones de los equipos. En el primer partido del torneo, el equipo $A$ vence al equipo $B.$ La probabilidad de que el equipo $A$ termine con más puntos que el equipo $B$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Seven teams play a soccer tournament in which each team plays every other team exactly once. No ties occur, each team has a $50\%$ chance of winning each game it plays, and the outcomes of the games are independent. In each game, the winner is awarded $1$ point and the loser gets $0$ points. The total points are accumulated to decide the ranks of the teams. In the first game of the tournament, team $A$ beats team $B.$ The probability that team $A$ finishes with more points than team $B$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad binomial simetría combinaciones

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Los equipos $A$ y $B$ tienen cada uno $5$ partidos restantes, ninguno entre sí, así que los $2^5 \cdot 2^5 = 1024$ resultados son igualmente probables. Como $A$ ya lidera por un punto, $A$ termina con más puntos exactamente cuando $A$ gana al menos tantos partidos restantes como $B$ .

El número de resultados con recuentos de victorias iguales es $\sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k}^2 = \binom{10}{5} = 252.$ Por simetría, los otros $1024 - 252 = 772$ resultados se reparten equitativamente entre que $A$ gana más y que $B$ gana más.

Así que la probabilidad es $\frac{252 + 386}{1024} = \frac{638}{1024} = \frac{319}{512},$ y $m + n = 319 + 512 = 831.$

Teams $A$ and $B$ each have $5$ games left, none against each other, so all $2^5 \cdot 2^5 = 1024$ outcomes are equally likely. Since $A$ already leads by one point, $A$ finishes with more points exactly when $A$ wins at least as many remaining games as $B$ does.

The number of outcomes with equal win counts is $\sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k}^2 = \binom{10}{5} = 252.$ By symmetry, the other $1024 - 252 = 772$ outcomes split evenly between $A$ winning more and $B$ winning more.

So the probability is $\frac{252 + 386}{1024} = \frac{638}{1024} = \frac{319}{512},$ and $m + n = 319 + 512 = 831.$

11.

Una sucesión se define como sigue: $a_1 = a_2 = a_3 = 1,$ y, para todo entero positivo $n,$ $a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1} + a_n.$ Dado que $a_{28} = 6090307,$ $a_{29} = 11201821,$ y $a_{30} = 20603361,$ halla el residuo cuando $\sum_{k=1}^{28} a_k$ se divide entre $1000.$

A sequence is defined as follows: $a_1 = a_2 = a_3 = 1,$ and, for all positive integers $n,$ $a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1} + a_n.$ Given that $a_{28} = 6090307,$ $a_{29} = 11201821,$ and $a_{30} = 20603361,$ find the remainder when $\sum_{k=1}^{28} a_k$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:recursión sumatoria inducción

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Sea $S_n = a_1 + \cdots + a_n.$ Afirmamos que $2S_n = a_{n+2} + a_n,$ lo cual se cumple para $n = 1$ ya que $2 = 1 + 1.$ Si se cumple para $n,$ entonces $\begin{aligned} 2S_{n+1} &= 2S_n + 2a_{n+1} \\ &= a_{n+2} + 2a_{n+1} + a_n \\ &= a_{n+3} + a_{n+1} \end{aligned}$ por la recurrencia, completando la inducción.

Por lo tanto $S_{28} = \frac{a_{30} + a_{28}}{2}$ $= \frac{20603361 + 6090307}{2}$ $= 13346834,$ cuyo residuo al dividir entre $1000$ es $834.$

Let $S_n = a_1 + \cdots + a_n.$ We claim $2S_n = a_{n+2} + a_n,$ which holds for $n = 1$ since $2 = 1 + 1.$ If it holds for $n,$ then $\begin{aligned} 2S_{n+1} &= 2S_n + 2a_{n+1} \\ &= a_{n+2} + 2a_{n+1} + a_n \\ &= a_{n+3} + a_{n+1} \end{aligned}$ by the recurrence, completing the induction.

Therefore $S_{28} = \frac{a_{30} + a_{28}}{2}$ $= \frac{20603361 + 6090307}{2}$ $= 13346834,$ whose remainder upon division by $1000$ is $834.$

12.

El $\triangle ABC$ equilátero está inscrito en una circunferencia de radio $2.$ Prolonga $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta el punto $D$ de modo que $AD = 13,$ y prolonga $\overline{AC}$ más allá de $C$ hasta el punto $E$ de modo que $AE = 11.$ Por $D,$ traza una recta $\ell_1$ paralela a $\overline{AE},$ y por $E,$ traza una recta $\ell_2$ paralela a $\overline{AD}.$ Sea $F$ la intersección de $\ell_1$ y $\ell_2.$ Sea $G$ el punto de la circunferencia que es colineal con $A$ y $F$ y distinto de $A.$ Dado que el área de $\triangle CBG$ se puede expresar en la forma $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos, $p$ y $r$ son primos entre sí, y $q$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $p + q + r.$

Equilateral $\triangle ABC$ is inscribed in a circle of radius $2.$ Extend $\overline{AB}$ through $B$ to point $D$ so that $AD = 13,$ and extend $\overline{AC}$ through $C$ to point $E$ so that $AE = 11.$ Through $D,$ draw a line $\ell_1$ parallel to $\overline{AE},$ and through $E,$ draw a line $\ell_2$ parallel to $\overline{AD}.$ Let $F$ be the intersection of $\ell_1$ and $\ell_2.$ Let $G$ be the point on the circle that is collinear with $A$ and $F$ and distinct from $A.$ Given that the area of $\triangle CBG$ can be expressed in the form $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers, $p$ and $r$ are relatively prime, and $q$ is not divisible by the square of any prime, find $p + q + r.$

Respuesta

Conceptos:semejanza ángulo inscrito ley de los cosenos paralelogramo

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Por construcción, $ADFE$ es un paralelogramo con $AD = 13,$ $DF = AE = 11,$ y $\angle ADF = 180^\circ - \angle DAE$ $= 120^\circ.$ Por lo tanto $[ADF] = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 11 \sin 120^\circ$ $= \frac{143\sqrt{3}}{4},$ y por la ley de cosenos, $\begin{aligned} AF^2 &= 13^2 + 11^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 13 \cdot 11 \cos 120^\circ \\ &= 169 + 121 + 143 \\ &= 433. \end{aligned}$

Como $G$ está en la circunferencia, los ángulos inscritos dan $\angle GCB = \angle GAB = \angle FAD$ (ambos subtienden el arco $GB$ ) y $\angle CBG = \angle CAG$ (ambos subtienden el arco $CG$ ); y $\angle CAG = \angle AFD$ porque $\overline{AE} \parallel \overline{DF}.$ Así que $\triangle CBG \sim \triangle AFD$ con razón $\frac{CB}{AF}.$ El lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio $2$ es $BC = 2\sqrt{3}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} [CBG] &= \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{433}}\right)^2 \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{12}{433} \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{429\sqrt{3}}{433}, \end{aligned}$ y $p + q + r$ $= 429 + 3 + 433$ $= 865.$

By construction $ADFE$ is a parallelogram with $AD = 13,$ $DF = AE = 11,$ and $\angle ADF = 180^\circ - \angle DAE$ $= 120^\circ.$ Hence $[ADF] = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 11 \sin 120^\circ$ $= \frac{143\sqrt{3}}{4},$ and by the law of cosines, $\begin{aligned} AF^2 &= 13^2 + 11^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 13 \cdot 11 \cos 120^\circ \\ &= 169 + 121 + 143 \\ &= 433. \end{aligned}$

Since $G$ lies on the circle, inscribed angles give $\angle GCB = \angle GAB = \angle FAD$ (both subtend arc $GB$ ) and $\angle CBG = \angle CAG$ (both subtend arc $CG$ ); and $\angle CAG = \angle AFD$ because $\overline{AE} \parallel \overline{DF}.$ So $\triangle CBG \sim \triangle AFD$ with ratio $\frac{CB}{AF}.$ The side of an equilateral triangle inscribed in a circle of radius $2$ is $BC = 2\sqrt{3}.$

Therefore $\begin{aligned} [CBG] &= \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{433}}\right)^2 \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{12}{433} \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{429\sqrt{3}}{433}, \end{aligned}$ and $p + q + r$ $= 429 + 3 + 433$ $= 865.$

13.

¿Cuántos enteros $N$ menores que $1000$ se pueden escribir como suma de $j$ enteros impares positivos consecutivos para exactamente $5$ valores de $j \ge 1$ ?

How many integers $N$ less than $1000$ can be written as the sum of $j$ consecutive positive odd integers for exactly $5$ values of $j \ge 1?$

Respuesta

Conceptos:diferencia de cuadrados conteo de factores paridad

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

La suma desde el $(k+1)$ -ésimo hasta el $m$ -ésimo entero impar positivo es $m^2 - k^2 = (m - k)(m + k).$ Escribiendo $a = m - k$ y $b = m + k,$ las representaciones de $N$ corresponden exactamente a las factorizaciones $N = ab$ con $a \le b$ y $a, b$ de la misma paridad (entonces $m = \frac{a + b}{2},$ $k = \frac{b - a}{2}$ ). Así que necesitamos que $N$ tenga exactamente $5$ tales factorizaciones.

Si $N$ es impar, todo par de divisores sirve, así que $N$ necesita $9$ o $10$ divisores, es decir $N = p^8,$ $p^9,$ $p^2q^2,$ o $pq^4$ con $p, q$ primos impares distintos. Por debajo de $1000,$ $p^8$ y $p^9$ son imposibles, $p^2 q^2$ da $225$ y $441,$ y $pq^4$ da $3^4 \cdot 5,$ $3^4 \cdot 7,$ $3^4 \cdot 11:$ cinco valores impares.

Si $N$ es par, ambos factores deben ser pares, así que $N = 4M$ y las factorizaciones corresponden a los pares de divisores de $M,$ sin restricción de paridad; necesitamos $M \lt 250$ con $9$ o $10$ divisores. Con $9$ divisores: $36,$ $100,$ $196,$ $225.$ Con $10$ divisores ( $pq^4$ ): $3 \cdot 2^4,$ $5 \cdot 2^4,$ $7 \cdot 2^4,$ $11 \cdot 2^4,$ $13 \cdot 2^4,$ $2 \cdot 3^4.$ Eso da $4 + 6 = 10$ valores pares, para un total de $5 + 10 = 15.$

The sum of the $(k+1)$ th through $m$ th positive odd integers is $m^2 - k^2 = (m - k)(m + k).$ Writing $a = m - k$ and $b = m + k,$ the representations of $N$ correspond exactly to the factorizations $N = ab$ with $a \le b$ and $a, b$ of the same parity (then $m = \frac{a + b}{2},$ $k = \frac{b - a}{2}$ ). So we need $N$ to have exactly $5$ such factorizations.

If $N$ is odd, every divisor pair works, so $N$ needs $9$ or $10$ divisors, i.e. $N = p^8,$ $p^9,$ $p^2q^2,$ or $pq^4$ with $p, q$ distinct odd primes. Below $1000,$ $p^8$ and $p^9$ are impossible, $p^2 q^2$ gives $225$ and $441,$ and $pq^4$ gives $3^4 \cdot 5,$ $3^4 \cdot 7,$ $3^4 \cdot 11:$ five odd values.

If $N$ is even, both factors must be even, so $N = 4M$ and the factorizations correspond to divisor pairs of $M,$ with no parity restriction; we need $M \lt 250$ with $9$ or $10$ divisors. With $9$ divisors: $36,$ $100,$ $196,$ $225.$ With $10$ divisors ( $pq^4$ ): $3 \cdot 2^4,$ $5 \cdot 2^4,$ $7 \cdot 2^4,$ $11 \cdot 2^4,$ $13 \cdot 2^4,$ $2 \cdot 3^4.$ That is $4 + 6 = 10$ even values, for a total of $5 + 10 = 15.$

14.

Sea $S_n$ la suma de los recíprocos de los dígitos no nulos de los enteros desde $1$ hasta $10^n,$ inclusive. Halla el menor entero positivo $n$ para el cual $S_n$ es un entero.

Let $S_n$ be the sum of the reciprocals of the nonzero digits of the integers from $1$ to $10^n,$ inclusive. Find the smallest positive integer $n$ for which $S_n$ is an integer.

Respuesta

Conceptos:dígitos divisibilidad sumatoria

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Escribe los enteros desde $0$ hasta $10^n - 1$ como cadenas de $n$ dígitos con ceros a la izquierda. Cada una de las $n$ posiciones de dígito toma cada valor de dígito con la misma frecuencia, así que cada dígito no nulo aparece $n \cdot 10^{n-1}$ veces. Sumando el dígito $1$ del propio $10^n$ , $\begin{aligned} S_n &= 1 \\ &\quad {}+ n \\ &\quad {}\cdot 10^{n-1}\small\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9}\right) \\ &= 1 + \frac{7129}{2520}\, n \cdot 10^{n-1}. \end{aligned}$

Como $\gcd(7129, 2520) = 1,$ la suma es un entero exactamente cuando $2520 \mid n \cdot 10^{n-1}.$ Ahora $2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7,$ y para $n \ge 4$ el factor $10^{n-1}$ aporta $2^3 \cdot 5,$ dejando la condición $63 \mid n$ (una potencia de $10$ no tiene factores $3$ ni $7$ ). Para $n = 1, 2, 3$ los productos $1, 20, 300$ no son múltiplos de $2520.$

Por lo tanto, la solución más pequeña es $n = 63.$

Write the integers from $0$ to $10^n - 1$ as $n$ -digit strings with leading zeros. Each of the $n$ digit positions takes each digit value equally often, so each nonzero digit appears $n \cdot 10^{n-1}$ times. Adding the digit $1$ of $10^n$ itself, $\begin{aligned} S_n &= 1 \\ &\quad {}+ n \\ &\quad {}\cdot 10^{n-1}\small\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{9}\right) \\ &= 1 + \frac{7129}{2520}\, n \cdot 10^{n-1}. \end{aligned}$

Since $\gcd(7129, 2520) = 1,$ the sum is an integer exactly when $2520 \mid n \cdot 10^{n-1}.$ Now $2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7,$ and for $n \ge 4$ the factor $10^{n-1}$ supplies $2^3 \cdot 5,$ leaving the condition $63 \mid n$ (a power of $10$ has no factors of $3$ or $7$ ). For $n = 1, 2, 3$ the products $1, 20, 300$ are not multiples of $2520.$

The smallest solution is therefore $n = 63.$

15.

Dado que $x,$ $y,$ y $z$ son números reales que satisfacen $x = \sqrt{y^2 - \frac{1}{16}} + \sqrt{z^2 - \frac{1}{16}},$ $y = \sqrt{z^2 - \frac{1}{25}} + \sqrt{x^2 - \frac{1}{25}},$ $z = \sqrt{x^2 - \frac{1}{36}} + \sqrt{y^2 - \frac{1}{36}},$ y que $x + y + z = \frac{m}{\sqrt{n}},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $m + n.$

Given that $x,$ $y,$ and $z$ are real numbers that satisfy $x = \sqrt{y^2 - \frac{1}{16}} + \sqrt{z^2 - \frac{1}{16}},$ $y = \sqrt{z^2 - \frac{1}{25}} + \sqrt{x^2 - \frac{1}{25}},$ $z = \sqrt{x^2 - \frac{1}{36}} + \sqrt{y^2 - \frac{1}{36}},$ and that $x + y + z = \frac{m}{\sqrt{n}},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones altura Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Cada radical $\sqrt{y^2 - \frac{1}{16}}$ es el cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa $y$ y el otro cateto $\frac{1}{4}.$ Así que la primera ecuación dice: en un triángulo $XYZ$ con $x = YZ,$ $y = ZX,$ $z = XY,$ la altura desde $X$ tiene longitud $\frac{1}{4},$ y su pie divide $YZ$ en las dos longitudes radicales. Las otras ecuaciones dicen que las alturas a los lados $y$ y $z$ son $\frac{1}{5}$ y $\frac{1}{6}.$

Si $K$ es el área de este triángulo, entonces $K = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{4}$ da $x = 8K,$ y de igual modo $y = 10K$ y $z = 12K.$ Estos son proporcionales a $8, 10, 12,$ y $8^2 + 10^2 \gt 12^2,$ así que el triángulo es acutángulo y los pies de las alturas sí caen dentro de los lados. La fórmula de Herón con $s = 15K$ da $\begin{aligned} K^2 &= 15K \cdot 7K \cdot 5K \cdot 3K \\ &= 1575K^4, \end{aligned}$ así que $K^2 = \frac{1}{1575}$ y $K = \frac{1}{15\sqrt{7}}.$

Entonces $x + y + z = 30K = \frac{2}{\sqrt{7}},$ así que $m + n = 2 + 7 = 9.$

Each radical $\sqrt{y^2 - \frac{1}{16}}$ is the leg of a right triangle with hypotenuse $y$ and other leg $\frac{1}{4}.$ So the first equation says: in a triangle $XYZ$ with $x = YZ,$ $y = ZX,$ $z = XY,$ the altitude from $X$ has length $\frac{1}{4},$ and its foot splits $YZ$ into the two radical lengths. The other equations say the altitudes to sides $y$ and $z$ are $\frac{1}{5}$ and $\frac{1}{6}.$

If $K$ is the area of this triangle, then $K = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{4}$ gives $x = 8K,$ and likewise $y = 10K$ and $z = 12K.$ These are proportional to $8, 10, 12,$ and $8^2 + 10^2 \gt 12^2,$ so the triangle is acute and the altitude feet do land inside the sides. Heron's formula with $s = 15K$ gives $\begin{aligned} K^2 &= 15K \cdot 7K \cdot 5K \cdot 3K \\ &= 1575K^4, \end{aligned}$ so $K^2 = \frac{1}{1575}$ and $K = \frac{1}{15\sqrt{7}}.$

Then $x + y + z = 30K = \frac{2}{\sqrt{7}},$ so $m + n = 2 + 7 = 9.$