Question

Los adultos representaban $\frac{5}{12}$ del público en un concierto. Después de que llegó un autobús con $50$ personas más, los adultos representaban $\frac{11}{25}$ de las personas en el concierto. Halla el número mínimo de adultos que pudieron estar en el concierto después de que llegó el autobús.

Adults made up $\frac{5}{12}$ of the crowd of people at a concert. After a bus carrying $50$ more people arrived, adults made up $\frac{11}{25}$ of the people at the concert. Find the minimum number of adults who could have been at the concert after the bus arrived.

Respuesta

Solución:

Supón que la multitud original tiene $12k$ personas, de las cuales $5k$ son adultos. Después de que llega el autobús hay $12k + 50$ personas, y el número de adultos es $\frac{11}{25}(12k + 50).$ Para que esto sea entero, $25$ debe dividir a $12k + 50,$ así que $25 \mid 12k,$ y como $\gcd(12, 25) = 1$ esto significa que $k$ es múltiplo de $25.$

El número de adultos $\frac{11}{25}(12k + 50)$ crece con $k,$ por lo que el mínimo ocurre en $k = 25:$ el nuevo total es $350$ y el número de adultos es $\frac{11}{25} \cdot 350 = 154.$ Esto se puede lograr, por ejemplo si el autobús lleva $29$ adultos y $21$ personas no adultas, así que la respuesta es $154.$

Let the original crowd have $12k$ people, of whom $5k$ are adults. After the bus arrives there are $12k + 50$ people, and the number of adults is $\frac{11}{25}(12k + 50).$ For this to be an integer, $25$ must divide $12k + 50,$ so $25 \mid 12k,$ and since $\gcd(12, 25) = 1$ this means $k$ is a multiple of $25.$

The adult count $\frac{11}{25}(12k + 50)$ increases with $k,$ so the minimum occurs at $k = 25:$ the new total is $350$ and the number of adults is $\frac{11}{25} \cdot 350 = 154.$ This is achievable, for example if the bus carries $29$ adults and $21$ non-adults, so the answer is $154.$

2022 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años