Soluciones del 2022 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Los adultos representaban $\frac{5}{12}$ del público en un concierto. Después de que llegó un autobús con $50$ personas más, los adultos representaban $\frac{11}{25}$ de las personas en el concierto. Halla el número mínimo de adultos que pudieron estar en el concierto después de que llegó el autobús.

Adults made up $\frac{5}{12}$ of the crowd of people at a concert. After a bus carrying $50$ more people arrived, adults made up $\frac{11}{25}$ of the people at the concert. Find the minimum number of adults who could have been at the concert after the bus arrived.

Respuesta

Conceptos:fracción divisibilidad optimización

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Supón que la multitud original tiene $12k$ personas, de las cuales $5k$ son adultos. Después de que llega el autobús hay $12k + 50$ personas, y el número de adultos es $\frac{11}{25}(12k + 50).$ Para que esto sea entero, $25$ debe dividir a $12k + 50,$ así que $25 \mid 12k,$ y como $\gcd(12, 25) = 1$ esto significa que $k$ es múltiplo de $25.$

El número de adultos $\frac{11}{25}(12k + 50)$ crece con $k,$ por lo que el mínimo ocurre en $k = 25:$ el nuevo total es $350$ y el número de adultos es $\frac{11}{25} \cdot 350 = 154.$ Esto se puede lograr, por ejemplo si el autobús lleva $29$ adultos y $21$ personas no adultas, así que la respuesta es $154.$

Let the original crowd have $12k$ people, of whom $5k$ are adults. After the bus arrives there are $12k + 50$ people, and the number of adults is $\frac{11}{25}(12k + 50).$ For this to be an integer, $25$ must divide $12k + 50,$ so $25 \mid 12k,$ and since $\gcd(12, 25) = 1$ this means $k$ is a multiple of $25.$

The adult count $\frac{11}{25}(12k + 50)$ increases with $k,$ so the minimum occurs at $k = 25:$ the new total is $350$ and the number of adults is $\frac{11}{25} \cdot 350 = 154.$ This is achievable, for example if the bus carries $29$ adults and $21$ non-adults, so the answer is $154.$

2.

Azar, Carl, Jon y Sergey son los cuatro jugadores que quedan en un torneo de tenis individual. Se les asignan oponentes al azar en los partidos de semifinal, y los ganadores de esos partidos se enfrentan entre sí en el partido final para determinar al ganador del torneo. Cuando Azar juega contra Carl, Azar gana el partido con probabilidad $\frac{2}{3}.$ Cuando Azar o Carl juega contra Jon o Sergey, Azar o Carl gana el partido con probabilidad $\frac{3}{4}.$ Supón que los resultados de los distintos partidos son independientes. La probabilidad de que Carl gane el torneo es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Azar, Carl, Jon, and Sergey are the four players left in a singles tennis tournament. They are randomly assigned opponents in the semifinal matches, and the winners of those matches play each other in the final match to determine the winner of the tournament. When Azar plays Carl, Azar will win the match with probability $\frac{2}{3}.$ When either Azar or Carl plays either Jon or Sergey, Azar or Carl will win the match with probability $\frac{3}{4}.$ Assume that outcomes of different matches are independent. The probability that Carl will win the tournament is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad condicional eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

Las tres formas de emparejar a los cuatro jugadores son igualmente probables, así que Carl juega contra Azar en la semifinal con probabilidad $\frac{1}{3}.$ En ese caso Carl vence a Azar con probabilidad $\frac{1}{3}$ y luego vence al ganador entre Jon y Sergey con probabilidad $\frac{3}{4},$ por lo que Carl gana el torneo con probabilidad $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.$

En caso contrario (con probabilidad $\frac{2}{3}$ ) Carl juega contra Jon o Sergey y gana con probabilidad $\frac{3}{4}.$ Su oponente en la final es Azar con probabilidad $\frac{3}{4}$ (y entonces Carl gana con probabilidad $\frac{1}{3}$ ) o es Jon o Sergey con probabilidad $\frac{1}{4}$ (y entonces Carl gana con probabilidad $\frac{3}{4}$ ). Así que en este caso Carl gana el torneo con probabilidad $\begin{aligned} &\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{16} \\ &= \frac{21}{64}. \end{aligned}$

La probabilidad total es $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{21}{64} = \frac{1}{12} + \frac{7}{32} = \frac{29}{96},$ así que $p + q = 29 + 96 = 125.$

The three ways to pair the four players are equally likely, so Carl plays Azar in the semifinal with probability $\frac{1}{3}.$ In that case Carl beats Azar with probability $\frac{1}{3}$ and then beats the Jon–Sergey winner with probability $\frac{3}{4},$ so Carl wins the tournament with probability $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.$

Otherwise (probability $\frac{2}{3}$ ) Carl plays Jon or Sergey and wins with probability $\frac{3}{4}.$ His opponent in the final is Azar with probability $\frac{3}{4}$ (Carl then wins with probability $\frac{1}{3}$ ) and is Jon or Sergey with probability $\frac{1}{4}$ (Carl then wins with probability $\frac{3}{4}$ ). So in this case Carl wins the tournament with probability $\begin{aligned} &\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}\right) \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{16} \\ &= \frac{21}{64}. \end{aligned}$

The total probability is $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \cdot \frac{21}{64} = \frac{1}{12} + \frac{7}{32} = \frac{29}{96},$ so $p + q = 29 + 96 = 125.$

3.

Una pirámide recta de base cuadrada con volumen $54$ tiene una base de lado $6.$ Los cinco vértices de la pirámide están todos sobre una esfera de radio $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A right square pyramid with volume $54$ has a base with side length $6.$ The five vertices of the pyramid all lie on a sphere with radius $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:pirámide esfera volumen

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

La base tiene área $36,$ así que $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot h = 54$ da la altura $h = \frac{9}{2}.$ Por simetría, el centro de la esfera está sobre el eje de la pirámide, digamos a altura $z$ sobre la base. Cada vértice de la base está a distancia $3\sqrt{2}$ del eje, así que la distancia del centro a un vértice de la base es $\sqrt{z^2 + 18},$ mientras que su distancia al ápice es $\frac{9}{2} - z.$

Igualando $\left(\frac{9}{2} - z\right)^2 = z^2 + 18$ se obtiene $\frac{81}{4} - 9z = 18,$ por lo que $z = \frac{1}{4}.$ El radio es $\frac{9}{2} - \frac{1}{4} = \frac{17}{4},$ y $m + n = 17 + 4 = 21.$

The base has area $36,$ so $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot h = 54$ gives height $h = \frac{9}{2}.$ By symmetry the sphere's center lies on the pyramid's axis, say at height $z$ above the base. Each base vertex is at distance $3\sqrt{2}$ from the axis, so the center's distance to a base vertex is $\sqrt{z^2 + 18},$ while its distance to the apex is $\frac{9}{2} - z.$

Setting $\left(\frac{9}{2} - z\right)^2 = z^2 + 18$ gives $\frac{81}{4} - 9z = 18,$ so $z = \frac{1}{4}.$ The radius is $\frac{9}{2} - \frac{1}{4} = \frac{17}{4},$ and $m + n = 17 + 4 = 21.$

4.

Existe un número real positivo $x$ que no es igual a $\frac{1}{20}$ ni a $\frac{1}{2}$ tal que $\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x).$ El valor $\log_{20x}(22x)$ se puede escribir como $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right),$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

There is a positive real number $x$ not equal to either $\frac{1}{20}$ or $\frac{1}{2}$ such that $\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x).$ The value $\log_{20x}(22x)$ can be written as $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right),$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2350

Solución:

Sea $y$ el valor común. En logaritmos naturales, $y = \frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}.$ Cuando dos fracciones son iguales, cada una también es igual al cociente de las diferencias de numeradores y denominadores: $\begin{aligned} y &= \frac{\ln 202x - \ln 22x}{\ln 2x - \ln 20x} \\ &= \frac{\ln \frac{101}{11}}{\ln \frac{1}{10}} \\ &= -\log_{10}\frac{101}{11} \\ &= \log_{10}\frac{11}{101}. \end{aligned}$

(Tal $x$ existe: la ecuación se reordena en una condición resoluble, y los valores excluidos $\frac{1}{20}, \frac{1}{2}$ solo descartan bases degeneradas.) Como $\gcd(11, 101) = 1,$ obtenemos $m + n = 11 + 101 = 112.$

Let $y$ be the common value. In natural logarithms, $y = \frac{\ln 22x}{\ln 20x} = \frac{\ln 202x}{\ln 2x}.$ When two fractions are equal, each also equals the quotient of the differences of numerators and denominators: $\begin{aligned} y &= \frac{\ln 202x - \ln 22x}{\ln 2x - \ln 20x} \\ &= \frac{\ln \frac{101}{11}}{\ln \frac{1}{10}} \\ &= -\log_{10}\frac{101}{11} \\ &= \log_{10}\frac{11}{101}. \end{aligned}$

(Such an $x$ exists: the equation rearranges to a solvable condition, and the excluded values $\frac{1}{20}, \frac{1}{2}$ only rule out degenerate bases.) Since $\gcd(11, 101) = 1,$ we get $m + n = 11 + 101 = 112.$

5.

Se marcan veinte puntos distintos en una circunferencia y se etiquetan de $1$ a $20$ en sentido horario. Se traza un segmento entre cada par de puntos cuyas etiquetas difieren en un número primo. Halla el número de triángulos formados cuyos vértices están entre los $20$ puntos originales.

Twenty distinct points are marked on a circle and labeled $1$ through $20$ in clockwise order. A line segment is drawn between every pair of points whose labels differ by a prime number. Find the number of triangles formed whose vertices are among the original $20$ points.

Respuesta

Conceptos:primo paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Un triángulo tiene vértices $i \lt j \lt k$ donde $j - i,$ $k - j,$ y $k - i$ son todos primos. Como $k - i = (j - i) + (k - j)$ es un primo que es suma de dos primos, y la suma de dos primos impares es par, una de las dos diferencias menores debe ser igual a $2.$ Así que las diferencias son $\{2, p\}$ en algún orden con $p$ y $p + 2$ ambos primos: los pares de primos gemelos con $p + 2 \le 19$ son $(3, 5),$ $(5, 7),$ $(11, 13),$ y $(17, 19).$

Para cada par, el vértice del medio puede estar a distancia $2$ o a distancia $p$ del menor, y el tramo total es $p + 2,$ así que hay $2\bigl(20 - (p + 2)\bigr)$ triángulos. Esto da $2 \cdot 15 = 30,$ $2 \cdot 13 = 26,$ $2 \cdot 7 = 14,$ y $2 \cdot 1 = 2$ para los cuatro pares.

El total es $30 + 26 + 14 + 2 = 72.$

A triangle has vertices $i \lt j \lt k$ where $j - i,$ $k - j,$ and $k - i$ are all prime. Since $k - i = (j - i) + (k - j)$ is a prime that is a sum of two primes, and the sum of two odd primes is even, one of the two smaller differences must equal $2.$ So the differences are $\{2, p\}$ in some order with $p$ and $p + 2$ both prime: the twin prime pairs with $p + 2 \le 19$ are $(3, 5),$ $(5, 7),$ $(11, 13),$ and $(17, 19).$

For each pair, the middle vertex can be at distance $2$ or at distance $p$ from the smallest, and the total span is $p + 2,$ so there are $2\bigl(20 - (p + 2)\bigr)$ triangles. This gives $2 \cdot 15 = 30,$ $2 \cdot 13 = 26,$ $2 \cdot 7 = 14,$ and $2 \cdot 1 = 2$ for the four pairs.

The total is $30 + 26 + 14 + 2 = 72.$

6.

Sean $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}$ números reales tales que $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ y $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0.$ Entre todas esas $100$ -tuplas de números, el mayor valor que $x_{76} - x_{16}$ puede alcanzar es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}$ be real numbers such that $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ and $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0.$ Among all such $100$ -tuples of numbers, the greatest value that $x_{76} - x_{16}$ can achieve is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:desigualdad valor absoluto optimización

Nivel de dificultad: 2600

Solución:

Como los términos suman $0$ mientras que sus valores absolutos suman $1,$ los términos positivos suman $\frac{1}{2}$ y los términos negativos suman $-\frac{1}{2}.$ Si $x_{16} \lt -\frac{1}{32},$ entonces $x_1, \ldots, x_{16}$ son todos menores que $-\frac{1}{32}$ y sumarían menos que $-\frac{1}{2},$ una contradicción; por lo tanto $x_{16} \ge -\frac{1}{32}.$ De forma similar, si $x_{76} \gt \frac{1}{50}$ entonces $x_{76}, \ldots, x_{100}$ son $25$ términos cada uno mayor que $\frac{1}{50},$ que suman más que $\frac{1}{2};$ por lo tanto $x_{76} \le \frac{1}{50}.$

Por lo tanto $x_{76} - x_{16} \le \frac{1}{50} + \frac{1}{32}$ $= \frac{16 + 25}{800}$ $= \frac{41}{800},$ y esto se logra tomando $x_1 = \cdots = x_{16} = -\frac{1}{32},$ $x_{17} = \cdots = x_{75} = 0,$ y $x_{76} = \cdots = x_{100} = \frac{1}{50}.$

Como $\gcd(41, 800) = 1,$ la respuesta es $41 + 800 = 841.$

Since the terms sum to $0$ while their absolute values sum to $1,$ the positive terms sum to $\frac{1}{2}$ and the negative terms sum to $-\frac{1}{2}.$ If $x_{16} \lt -\frac{1}{32},$ then $x_1, \ldots, x_{16}$ are all less than $-\frac{1}{32}$ and would sum below $-\frac{1}{2},$ a contradiction; hence $x_{16} \ge -\frac{1}{32}.$ Similarly, if $x_{76} \gt \frac{1}{50}$ then $x_{76}, \ldots, x_{100}$ are $25$ terms each exceeding $\frac{1}{50},$ summing above $\frac{1}{2};$ hence $x_{76} \le \frac{1}{50}.$

Therefore $x_{76} - x_{16} \le \frac{1}{50} + \frac{1}{32}$ $= \frac{16 + 25}{800}$ $= \frac{41}{800},$ and this is achieved by taking $x_1 = \cdots = x_{16} = -\frac{1}{32},$ $x_{17} = \cdots = x_{75} = 0,$ and $x_{76} = \cdots = x_{100} = \frac{1}{50}.$

Since $\gcd(41, 800) = 1,$ the answer is $41 + 800 = 841.$

7.

Una circunferencia de radio $6$ es tangente externamente a una circunferencia de radio $24.$ Halla el área de la región triangular limitada por las tres tangentes comunes de estas dos circunferencias.

A circle with radius $6$ is externally tangent to a circle with radius $24.$ Find the area of the triangular region bounded by the three common tangent lines of these two circles.

Respuesta

Conceptos:circunferencias tangentes recta tangente semejanza

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Los centros $O_1$ (radio $24$ ) y $O_2$ (radio $6$ ) están a distancia $30$ . Las dos tangentes externas se encuentran en un punto $P$ sobre la recta $O_1O_2$ más allá de la circunferencia pequeña, con $\frac{PO_1}{PO_2} = \frac{24}{6} = 4.$ Combinado con $PO_1 - PO_2 = 30,$ esto da $PO_1 = 40$ y $PO_2 = 10.$ Cada tangente externa forma un ángulo $\theta$ con la recta de los centros, donde $\sin\theta = \frac{24}{40} = \frac{3}{5},$ así que $\tan\theta = \frac{3}{4}.$

La tercera tangente común es la tangente en el punto de tangencia $T,$ que es perpendicular a $O_1O_2$ a distancia $24$ de $O_1.$ El triángulo limitado por las tres tangentes tiene ápice $P$ y base sobre esta recta, con altura $PT = 40 - 24 = 16$ y semibase $16\tan\theta = 12.$

Su área es $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192.$

The centers $O_1$ (radius $24$ ) and $O_2$ (radius $6$ ) are $30$ apart. The two external tangents meet at a point $P$ on line $O_1O_2$ beyond the small circle, with $\frac{PO_1}{PO_2} = \frac{24}{6} = 4.$ Combined with $PO_1 - PO_2 = 30,$ this gives $PO_1 = 40$ and $PO_2 = 10.$ Each external tangent makes angle $\theta$ with the center line, where $\sin\theta = \frac{24}{40} = \frac{3}{5},$ so $\tan\theta = \frac{3}{4}.$

The third common tangent is the tangent at the point of tangency $T,$ which is perpendicular to $O_1O_2$ at distance $24$ from $O_1.$ The triangle bounded by the three tangents has apex $P$ and base on this line, with height $PT = 40 - 24 = 16$ and half-base $16\tan\theta = 12.$

Its area is $\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192.$

8.

Halla el número de enteros positivos $n \le 600$ cuyo valor puede determinarse de forma única entre todos los enteros positivos cuando se dan los valores de $\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,$ $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,$ y $\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor$ , donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que el número real $x.$

Find the number of positive integers $n \le 600$ whose value can be uniquely determined among all positive integers when the values of $\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,$ $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,$ and $\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor$ are given, where $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $x.$

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

El conjunto de enteros positivos que comparten una terna dada $\left(\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor\right)$ es una intersección de tres intervalos, por lo tanto un bloque de enteros consecutivos. Así que $n$ queda determinado de forma única exactamente cuando ni $n - 1$ ni $n + 1$ dan la misma terna: algún suelo debe bajar en $n - 1,$ lo que significa que $4, 5,$ o $6$ divide a $n,$ y algún suelo debe saltar en $n + 1,$ lo que significa que $4, 5,$ o $6$ divide a $n + 1.$

Como $n$ y $n + 1$ no pueden ser ambos pares, los pares de divisores para $(n, n + 1)$ son $(4, 5),$ $(5, 4),$ $(5, 6),$ y $(6, 5).$ Trabajando módulo $60:$ $4 \mid n,\; 5 \mid n + 1$ da $n \equiv 4, 24, 44;$ $5 \mid n,\; 4 \mid n + 1$ da $n \equiv 15, 35, 55;$ $5 \mid n,\; 6 \mid n + 1$ da $n \equiv 5, 35;$ y $6 \mid n,\; 5 \mid n + 1$ da $n \equiv 24, 54.$ La unión son los $8$ residuos $\{4, 5, 15, 24, 35, 44, 54, 55\}$ módulo $60.$

Cada residuo ocurre $10$ veces entre $1 \le n \le 600,$ así que el conteo es $8 \cdot 10 = 80.$ (Nota que $n = 600$ falla: $601$ no es divisible por ninguno de $4, 5, 6,$ así que $601, 602, 603$ comparten la terna de $600$ .)

The set of positive integers sharing a given triple $\left(\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor\right)$ is an intersection of three intervals, hence a block of consecutive integers. So $n$ is uniquely determined exactly when neither $n - 1$ nor $n + 1$ gives the same triple: some floor must drop at $n - 1,$ meaning $4, 5,$ or $6$ divides $n,$ and some floor must jump at $n + 1,$ meaning $4, 5,$ or $6$ divides $n + 1.$

Since $n$ and $n + 1$ cannot both be even, the divisor pairs for $(n, n + 1)$ are $(4, 5),$ $(5, 4),$ $(5, 6),$ and $(6, 5).$ Working modulo $60:$ $4 \mid n,\; 5 \mid n + 1$ gives $n \equiv 4, 24, 44;$ $5 \mid n,\; 4 \mid n + 1$ gives $n \equiv 15, 35, 55;$ $5 \mid n,\; 6 \mid n + 1$ gives $n \equiv 5, 35;$ and $6 \mid n,\; 5 \mid n + 1$ gives $n \equiv 24, 54.$ The union is the $8$ residues $\{4, 5, 15, 24, 35, 44, 54, 55\}$ modulo $60.$

Each residue occurs $10$ times among $1 \le n \le 600,$ so the count is $8 \cdot 10 = 80.$ (Note $n = 600$ fails: $601$ is divisible by none of $4, 5, 6,$ so $601, 602, 603$ share $600$ 's triple.)

9.

Sean $\ell_A$ y $\ell_B$ dos rectas paralelas distintas. Para enteros positivos $m$ y $n,$ puntos distintos $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_m$ están sobre $\ell_A,$ y puntos distintos $B_1, B_2, B_3, \ldots, B_n$ están sobre $\ell_B.$ Además, cuando se trazan los segmentos $\overline{A_iB_j}$ para todos los $i = 1, 2, 3, \ldots, m$ y $j = 1, 2, 3, \ldots, n,$ ningún punto estrictamente entre $\ell_A$ y $\ell_B$ está en más de dos de los segmentos. Halla el número de regiones acotadas en las que esta figura divide el plano cuando $m = 7$ y $n = 5.$ La figura muestra que hay $8$ regiones cuando $m = 3$ y $n = 2.$

Let $\ell_A$ and $\ell_B$ be two distinct parallel lines. For positive integers $m$ and $n,$ distinct points $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_m$ lie on $\ell_A,$ and distinct points $B_1, B_2, B_3, \ldots, B_n$ lie on $\ell_B.$ Additionally, when segments $\overline{A_iB_j}$ are drawn for all $i = 1, 2, 3, \ldots, m$ and $j = 1, 2, 3, \ldots, n,$ no point strictly between $\ell_A$ and $\ell_B$ lies on more than two of the segments. Find the number of bounded regions into which this figure divides the plane when $m = 7$ and $n = 5.$ The figure shows that there are $8$ regions when $m = 3$ and $n = 2.$

Respuesta

Conceptos:conteo de regiones Fórmula de los poliedros de Euler teoría de grafos conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Dos segmentos $\overline{A_iB_j}$ y $\overline{A_kB_l}$ se cruzan estrictamente entre las rectas exactamente cuando uno de los puntos $A$ va primero y el $B$ del otro va primero, lo cual ocurre para exactamente un emparejamiento de cualesquiera dos puntos $A$ con cualesquiera dos puntos $B$ . Por la hipótesis de posición general estos cruces son distintos, así que hay $X = \binom{m}{2}\binom{n}{2}$ de ellos.

Recorta las dos rectas a segmentos largos y aplica la fórmula de Euler. Los vértices son los $m + n$ puntos marcados, los $X$ cruces, y los $4$ extremos recortados de las rectas, así que $V = m + n + X + 4.$ La recta $\ell_A$ queda dividida en $m + 1$ aristas y $\ell_B$ en $n + 1;$ cada cruce parte dos segmentos, así que los segmentos trazados aportan $mn + 2X$ aristas, dando $E = mn + m + n + 2X + 2.$ Entonces $F = E - V + 2 = mn + X,$ de las cuales una cara es no acotada, así que hay $mn + X - 1$ regiones acotadas. Para $m = 3,$ $n = 2$ esto da $6 + 3 - 1 = 8,$ coincidiendo con la figura.

Para $m = 7$ y $n = 5:$ $35 + \binom{7}{2}\binom{5}{2} - 1$ $= 35 + 21 \cdot 10 - 1$ $= 244.$

Two segments $\overline{A_iB_j}$ and $\overline{A_kB_l}$ cross strictly between the lines exactly when one of the $A$ 's comes first and the other's $B$ comes first, which happens for exactly one pairing of any two $A$ 's with any two $B$ 's. By the general-position hypothesis these crossings are distinct, so there are $X = \binom{m}{2}\binom{n}{2}$ of them.

Clip the two lines to long segments and apply Euler's formula. The vertices are the $m + n$ marked points, the $X$ crossings, and the $4$ clipped line ends, so $V = m + n + X + 4.$ Line $\ell_A$ is divided into $m + 1$ edges and $\ell_B$ into $n + 1;$ each crossing splits two segments, so the drawn segments contribute $mn + 2X$ edges, giving $E = mn + m + n + 2X + 2.$ Then $F = E - V + 2 = mn + X,$ of which one face is unbounded, so there are $mn + X - 1$ bounded regions. For $m = 3,$ $n = 2$ this gives $6 + 3 - 1 = 8,$ matching the figure.

For $m = 7$ and $n = 5:$ $35 + \binom{7}{2}\binom{5}{2} - 1$ $= 35 + 21 \cdot 10 - 1$ $= 244.$

10.

Halla el residuo cuando $\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \cdots + \binom{\binom{40}{2}}{2}$ se divide entre $1000.$

Find the remainder when $\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \cdots + \binom{\binom{40}{2}}{2}$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:combinaciones sumatoria Triángulo de Pascal

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Como $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ y $\binom{n}{2} - 1 = \frac{(n+1)(n-2)}{2},$ $\begin{aligned} \binom{\binom{n}{2}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{(n+1)(n-2)}{2} \\ &= \small \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8} \\ &= 3\binom{n+1}{4}. \end{aligned}$

Por la identidad del palo de hockey, $\begin{aligned} \sum_{n=3}^{40} 3\binom{n+1}{4} &= 3\sum_{k=4}^{41}\binom{k}{4} \\ &= 3\binom{42}{5} \\ &= 3 \cdot 850668 \\ &= 2552004. \end{aligned}$

El residuo al dividir entre $1000$ es $4.$

Since $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ and $\binom{n}{2} - 1 = \frac{(n+1)(n-2)}{2},$ $\begin{aligned} \binom{\binom{n}{2}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{(n+1)(n-2)}{2} \\ &= \small \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8} \\ &= 3\binom{n+1}{4}. \end{aligned}$

By the hockey stick identity, $\begin{aligned} \sum_{n=3}^{40} 3\binom{n+1}{4} &= 3\sum_{k=4}^{41}\binom{k}{4} \\ &= 3\binom{42}{5} \\ &= 3 \cdot 850668 \\ &= 2552004. \end{aligned}$

The remainder upon division by $1000$ is $4.$

11.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB = 2,$ $AD = 7,$ y $CD = 3$ tal que las bisectrices de los ángulos agudos $\angle DAB$ y $\angle ADC$ se cortan en el punto medio de $\overline{BC}.$ Halla el cuadrado del área de $ABCD.$

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $AB = 2,$ $AD = 7,$ and $CD = 3$ such that the bisectors of acute angles $\angle DAB$ and $\angle ADC$ intersect at the midpoint of $\overline{BC}.$ Find the square of the area of $ABCD.$

Respuesta

Conceptos:bisectriz transformación geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Coloca $A = (0, 0)$ y $D = (7, 0)$ con $B, C$ por encima del eje, y sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}.$ Reflejar $B$ sobre la recta bisectriz $AM$ lleva el rayo $AB$ al rayo $AD,$ así que $B$ se transforma en $B' = (2, 0),$ y reflejar $C$ sobre la bisectriz $DM$ da $C' = (4, 0).$ Como $M$ está sobre ambas rectas espejo, $MB' = MB = MC = MC',$ así que $M$ es equidistante de $B'$ y $C'$ y por lo tanto $M = (3, h)$ para algún $h \gt 0.$

Escribe $\angle DAB = 2\alpha$ y $\angle ADC = 2\delta,$ de modo que $\tan\alpha = \frac{h}{3}$ y $\tan\delta = \frac{h}{4}.$ Entonces $B = (2\cos 2\alpha,\, 2\sin 2\alpha)$ y $C = (7 - 3\cos 2\delta,\, 3\sin 2\delta),$ y la condición del punto medio en las coordenadas $x$ dice $2\cos 2\alpha - 3\cos 2\delta = -1.$ Sustituyendo $\cos 2\alpha = \frac{9 - h^2}{9 + h^2}$ y $\cos 2\delta = \frac{16 - h^2}{16 + h^2}$ y despejando los denominadores se obtiene $2h^4 = 10h^2,$ así que $h^2 = 5.$ (La condición de la coordenada $y$ se satisface entonces automáticamente: $2\sin 2\alpha$ ${}+ 3\sin 2\delta$ $= \frac{6\sqrt{5}}{7} + \frac{8\sqrt{5}}{7}$ $= 2h.$ )

Ahora $\cos 2\alpha = \frac{2}{7},$ $\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7},$ $\cos 2\delta = \frac{11}{21},$ $\sin 2\delta = \frac{8\sqrt{5}}{21},$ así que $B = \left(\frac{4}{7}, \frac{6\sqrt{5}}{7}\right)$ y $C = \left(\frac{38}{7}, \frac{8\sqrt{5}}{7}\right).$ La fórmula del cordón de zapato sobre $A, B, C, D$ da área $6\sqrt{5},$ cuyo cuadrado es $180.$

Place $A = (0, 0)$ and $D = (7, 0)$ with $B, C$ above the axis, and let $M$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Reflecting $B$ over the bisector line $AM$ carries ray $AB$ to ray $AD,$ so $B$ maps to $B' = (2, 0),$ and reflecting $C$ over the bisector $DM$ gives $C' = (4, 0).$ Since $M$ lies on both mirror lines, $MB' = MB = MC = MC',$ so $M$ is equidistant from $B'$ and $C'$ and hence $M = (3, h)$ for some $h \gt 0.$

Write $\angle DAB = 2\alpha$ and $\angle ADC = 2\delta,$ so $\tan\alpha = \frac{h}{3}$ and $\tan\delta = \frac{h}{4}.$ Then $B = (2\cos 2\alpha,\, 2\sin 2\alpha)$ and $C = (7 - 3\cos 2\delta,\, 3\sin 2\delta),$ and the midpoint condition on the $x$ -coordinates reads $2\cos 2\alpha - 3\cos 2\delta = -1.$ Substituting $\cos 2\alpha = \frac{9 - h^2}{9 + h^2}$ and $\cos 2\delta = \frac{16 - h^2}{16 + h^2}$ and clearing denominators gives $2h^4 = 10h^2,$ so $h^2 = 5.$ (The $y$ -coordinate condition is then satisfied automatically: $2\sin 2\alpha$ ${}+ 3\sin 2\delta$ $= \frac{6\sqrt{5}}{7} + \frac{8\sqrt{5}}{7}$ $= 2h.$ )

Now $\cos 2\alpha = \frac{2}{7},$ $\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7},$ $\cos 2\delta = \frac{11}{21},$ $\sin 2\delta = \frac{8\sqrt{5}}{21},$ so $B = \left(\frac{4}{7}, \frac{6\sqrt{5}}{7}\right)$ and $C = \left(\frac{38}{7}, \frac{8\sqrt{5}}{7}\right).$ The shoelace formula on $A, B, C, D$ gives area $6\sqrt{5},$ whose square is $180.$

12.

Sean $a, b, x,$ y $y$ números reales con $a \gt 4$ y $b \gt 1$ tales que $\begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 16} &= \frac{(x - 20)^2}{b^2 - 1} \\ &\quad {}+ \frac{(y - 11)^2}{b^2} \\ &= 1. \end{aligned}$ Halla el menor valor posible de $a + b.$

Let $a, b, x,$ and $y$ be real numbers with $a \gt 4$ and $b \gt 1$ such that $\begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 16} &= \frac{(x - 20)^2}{b^2 - 1} \\ &\quad {}+ \frac{(y - 11)^2}{b^2} \\ &= 1. \end{aligned}$ Find the least possible value of $a + b.$

Respuesta

Conceptos:elipse desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

La primera elipse tiene $c^2 = a^2 - (a^2 - 16) = 16,$ por lo que sus focos son $F_1 = (-4, 0)$ y $F_2 = (4, 0),$ con suma de distancias $2a.$ La segunda está centrada en $(20, 11)$ con eje mayor vertical y $c^2 = b^2 - (b^2 - 1) = 1,$ por lo que sus focos son $G_1 = (20, 10)$ y $G_2 = (20, 12),$ con suma de distancias $2b.$ Si $P = (x, y)$ está en ambas, entonces $\begin{aligned} 2a + 2b \\ &= (PF_1 + PG_1) \\ &\quad {}+ (PF_2 + PG_2) \\ &\ge F_1G_1 + F_2G_2 \\ &= \sqrt{24^2 + 10^2} \\ &\quad {}+ \sqrt{16^2 + 12^2} \\ &= 26 + 20 \\ &= 46, \end{aligned}$ así que $a + b \ge 23.$

La igualdad requiere que $P$ esté sobre ambos segmentos $\overline{F_1G_1}$ y $\overline{F_2G_2}.$ Estos segmentos sí se cortan, en $P = \left(14, \frac{15}{2}\right):$ entonces $PF_1 = \frac{39}{2},$ $PF_2 = \frac{25}{2},$ así que $2a = 32,$ $a = 16 \gt 4;$ y $PG_1 = \frac{13}{2},$ $PG_2 = \frac{15}{2},$ así que $2b = 14,$ $b = 7 \gt 1.$

Por lo tanto el menor valor posible de $a + b$ es $16 + 7 = 23.$

The first ellipse has $c^2 = a^2 - (a^2 - 16) = 16,$ hence foci $F_1 = (-4, 0)$ and $F_2 = (4, 0),$ with distance sum $2a.$ The second is centered at $(20, 11)$ with vertical major axis and $c^2 = b^2 - (b^2 - 1) = 1,$ hence foci $G_1 = (20, 10)$ and $G_2 = (20, 12),$ with distance sum $2b.$ If $P = (x, y)$ lies on both, then $\begin{aligned} 2a + 2b \\ &= (PF_1 + PG_1) \\ &\quad {}+ (PF_2 + PG_2) \\ &\ge F_1G_1 + F_2G_2 \\ &= \sqrt{24^2 + 10^2} \\ &\quad {}+ \sqrt{16^2 + 12^2} \\ &= 26 + 20 \\ &= 46, \end{aligned}$ so $a + b \ge 23.$

Equality requires $P$ to lie on both segments $\overline{F_1G_1}$ and $\overline{F_2G_2}.$ These segments do intersect, at $P = \left(14, \frac{15}{2}\right):$ then $PF_1 = \frac{39}{2},$ $PF_2 = \frac{25}{2},$ so $2a = 32,$ $a = 16 \gt 4;$ and $PG_1 = \frac{13}{2},$ $PG_2 = \frac{15}{2},$ so $2b = 14,$ $b = 7 \gt 1.$

Hence the least possible value of $a + b$ is $16 + 7 = 23.$

13.

Existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros tal que $\begin{aligned} P(x) &= \tiny \frac{(x^{2310} - 1)^6}{(x^{105} - 1)(x^{70} - 1)(x^{42} - 1)(x^{30} - 1)} \end{aligned}$ se cumple para todo $0 \lt x \lt 1.$ Halla el coeficiente de $x^{2022}$ en $P(x).$

There is a polynomial $P(x)$ with integer coefficients such that $\begin{aligned} P(x) &= \tiny \frac{(x^{2310} - 1)^6}{(x^{105} - 1)(x^{70} - 1)(x^{42} - 1)(x^{30} - 1)} \end{aligned}$ holds for every $0 \lt x \lt 1.$ Find the coefficient of $x^{2022}$ in $P(x).$

Respuesta

Conceptos:funciones generatrices Ecuación diofántica estrellas y barras

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Para $0 \lt x \lt 1,$ $\begin{aligned} P(x) &= (1 - x^{2310})^6 \\ &\quad {}\cdot \tiny \frac{1}{(1 - x^{105})(1 - x^{70})(1 - x^{42})(1 - x^{30})}, \end{aligned}$ y cada factor $\frac{1}{1 - x^k}$ se desarrolla como una serie geométrica. Como $2022 \lt 2310,$ el factor $(1 - x^{2310})^6$ solo aporta su término constante $1,$ así que el coeficiente de $x^{2022}$ es el número de soluciones enteras no negativas de $105a + 70b + 42c + 30d = 2022.$

Reduciendo módulo $2$ se obtiene $105a \equiv 2022,$ así que $a$ es par; módulo $3$ da $70b \equiv 2022 \equiv 0,$ así que $3 \mid b;$ módulo $5$ da $2c \equiv 2022 \equiv 2,$ así que $c \equiv 1 \pmod 5;$ módulo $7$ da $2d \equiv 2022 \equiv 6,$ así que $d \equiv 3 \pmod 7.$ Escribiendo $a = 2a',$ $b = 3b',$ $c = 5c' + 1,$ $d = 7d' + 3$ la ecuación se convierte en $\begin{aligned} &210(a' + b' + c' + d') + 42 \\ &\quad {}+ 90 = 2022, \end{aligned}$ así que $a' + b' + c' + d' = 9.$

Por estrellas y barras hay $\binom{12}{3} = 220$ soluciones, así que el coeficiente es $220.$

For $0 \lt x \lt 1,$ $\begin{aligned} P(x) &= (1 - x^{2310})^6 \\ &\quad {}\cdot \tiny \frac{1}{(1 - x^{105})(1 - x^{70})(1 - x^{42})(1 - x^{30})}, \end{aligned}$ and each factor $\frac{1}{1 - x^k}$ expands as a geometric series. Since $2022 \lt 2310,$ the factor $(1 - x^{2310})^6$ contributes only its constant term $1,$ so the coefficient of $x^{2022}$ is the number of nonnegative integer solutions of $105a + 70b + 42c + 30d = 2022.$

Reducing modulo $2$ gives $105a \equiv 2022,$ so $a$ is even; modulo $3$ gives $70b \equiv 2022 \equiv 0,$ so $3 \mid b;$ modulo $5$ gives $2c \equiv 2022 \equiv 2,$ so $c \equiv 1 \pmod 5;$ modulo $7$ gives $2d \equiv 2022 \equiv 6,$ so $d \equiv 3 \pmod 7.$ Writing $a = 2a',$ $b = 3b',$ $c = 5c' + 1,$ $d = 7d' + 3$ turns the equation into $\begin{aligned} &210(a' + b' + c' + d') + 42 \\ &\quad {}+ 90 = 2022, \end{aligned}$ so $a' + b' + c' + d' = 9.$

By stars and bars there are $\binom{12}{3} = 220$ solutions, so the coefficient is $220.$

14.

Para enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ con $a \lt b \lt c,$ considera colecciones de estampillas postales de denominaciones $a,$ $b,$ y $c$ centavos que contienen al menos una estampilla de cada denominación. Si existe tal colección que contiene subcolecciones que valen cada número entero de centavos hasta $1000$ centavos, sea $f(a, b, c)$ el número mínimo de estampillas en tal colección. Halla la suma de los tres menores valores de $c$ tales que $f(a, b, c) = 97$ para alguna elección de $a$ y $b.$

For positive integers $a,$ $b,$ and $c$ with $a \lt b \lt c,$ consider collections of postage stamps in denominations $a,$ $b,$ and $c$ cents that contain at least one stamp of each denomination. If there exists such a collection that contains sub-collections worth every whole number of cents up to $1000$ cents, let $f(a, b, c)$ be the minimum number of stamps in such a collection. Find the sum of the three least values of $c$ such that $f(a, b, c) = 97$ for some choice of $a$ and $b.$

Respuesta

Conceptos:optimización funciones piso y techo análisis por casos

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Para formar $1$ centavo necesitamos $a = 1.$ Supón que la colección tiene $x$ de a uno, $y$ estampillas de $b,$ y $z$ de $c.$ El valor $b - 1$ debe formarse solo con las de a uno, así que $x \ge b - 1;$ el valor $c - 1$ debe formarse con las de a uno y las de $b,$ así que $x + yb \ge c - 1;$ y el total $x + yb + zc$ debe ser al menos $1000.$ Recíprocamente estas tres condiciones bastan: con $x \ge b - 1$ las de a uno y las de $b$ forman todo valor hasta $x + yb,$ y entonces las de $c$ lo extienden a todo valor hasta el total. Así que el óptimo toma $x = b - 1,$ luego el menor $y$ con $x + yb \ge c - 1,$ luego el menor $z$ que alcanza $1000.$

Fijado $c,$ el conteo $f(1, b, c)$ se maximiza en $b = c - 1$ (muchas de a uno, que cubren valor de la forma menos eficiente), donde la colección óptima es $c - 2$ de a uno, una estampilla de $c - 1,$ y $\left\lceil \frac{1003 - 2c}{c} \right\rceil$ estampillas de $c,$ para un total de $c - 3 + \left\lceil \frac{1003}{c} \right\rceil.$ Para $12 \le c \le 87$ este máximo es a lo sumo $96$ (es $93$ en $c = 12,$ decrece en el medio, y regresa a $96$ en $c = 87$ ), así que ningún $b$ da $97;$ una comprobación rápida de $c \le 10$ muestra que los conteos posibles también saltan $97$ ahí.

Para $c = 11,$ tomando $b = 7$ se obtienen $6$ de a uno, una de $7$ (alcanzando $13 \ge 10$ ), y $\left\lceil \frac{987}{11} \right\rceil = 90$ de a once: $f(1, 7, 11) = 6 + 1 + 90 = 97.$ Para $c = 88$ y $c = 89,$ tomando $b = 87$ se obtienen $86$ de a uno, una de $87$ (alcanzando $173$ ), y $\left\lceil \frac{827}{88} \right\rceil = \left\lceil \frac{827}{89} \right\rceil = 10$ estampillas de $c,$ para $86 + 1 + 10 = 97$ en ambos casos. Así que los tres menores valores de $c$ son $11, 88, 89,$ con suma $188.$

To form $1$ cent we need $a = 1.$ Suppose the collection has $x$ ones, $y$ stamps of $b,$ and $z$ of $c.$ The value $b - 1$ must be made from ones alone, so $x \ge b - 1;$ the value $c - 1$ must be made from ones and $b$ 's, so $x + yb \ge c - 1;$ and the total $x + yb + zc$ must be at least $1000.$ Conversely these three conditions suffice: with $x \ge b - 1$ the ones and $b$ 's make every value up to $x + yb,$ and then $c$ 's extend this to every value up to the total. So the optimum takes $x = b - 1,$ then the least $y$ with $x + yb \ge c - 1,$ then the least $z$ reaching $1000.$

For fixed $c,$ the count $f(1, b, c)$ is maximized at $b = c - 1$ (many ones, which cover value least efficiently), where the optimal collection is $c - 2$ ones, one stamp of $c - 1,$ and $\left\lceil \frac{1003 - 2c}{c} \right\rceil$ stamps of $c,$ totaling $c - 3 + \left\lceil \frac{1003}{c} \right\rceil.$ For $12 \le c \le 87$ this maximum is at most $96$ (it is $93$ at $c = 12,$ decreases in the middle, and returns to $96$ at $c = 87$ ), so no $b$ gives $97;$ a quick check of $c \le 10$ shows the possible counts skip $97$ there as well.

For $c = 11,$ taking $b = 7$ gives $6$ ones, one $7$ (reaching $13 \ge 10$ ), and $\left\lceil \frac{987}{11} \right\rceil = 90$ elevens: $f(1, 7, 11) = 6 + 1 + 90 = 97.$ For $c = 88$ and $c = 89,$ taking $b = 87$ gives $86$ ones, one $87$ (reaching $173$ ), and $\left\lceil \frac{827}{88} \right\rceil = \left\lceil \frac{827}{89} \right\rceil = 10$ stamps of $c,$ for $86 + 1 + 10 = 97$ in both cases. So the three least values of $c$ are $11, 88, 89,$ with sum $188.$

15.

Dos circunferencias tangentes externamente $\omega_1$ y $\omega_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2,$ respectivamente. Una tercera circunferencia $\Omega$ que pasa por $O_1$ y $O_2$ corta a $\omega_1$ en $B$ y $C$ y a $\omega_2$ en $A$ y $D,$ como se muestra. Supón que $AB = 2,$ $O_1O_2 = 15,$ $CD = 16,$ y $ABO_1CDO_2$ es un hexágono convexo. Halla el área de este hexágono.

Two externally tangent circles $\omega_1$ and $\omega_2$ have centers $O_1$ and $O_2,$ respectively. A third circle $\Omega$ passing through $O_1$ and $O_2$ intersects $\omega_1$ at $B$ and $C$ and $\omega_2$ at $A$ and $D,$ as shown. Suppose that $AB = 2,$ $O_1O_2 = 15,$ $CD = 16,$ and $ABO_1CDO_2$ is a convex hexagon. Find the area of this hexagon.

Respuesta

Conceptos:cuerda identidad trigonométrica descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 3700

Solución:

Los seis vértices del hexágono están sobre $\Omega:$ $O_1$ y $O_2$ por hipótesis, y $A, B, C, D$ como puntos de intersección con $\Omega.$ Sea $R$ el radio de $\Omega,$ y sean los arcos determinados por los lados $AB,$ $BO_1,$ $O_1C,$ $CD,$ $DO_2,$ $O_2A$ iguales a $2\alpha, 2\beta, 2\beta, 2\gamma, 2\delta, 2\delta$ (los dos $\beta$ porque las cuerdas $BO_1 = O_1C = r_1,$ el radio de $\omega_1,$ e igualmente $O_2A = O_2D = r_2$ ), de modo que $\alpha + 2\beta + \gamma + 2\delta = \pi.$ Cada cuerda es igual a $2R\sin(\text{half its arc}):$ $2R\sin\alpha = 2,$ $2R\sin\gamma = 16,$ y la cuerda $\overline{O_1O_2}$ subtiende $2\beta + 2\gamma + 2\delta,$ dando $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ donde $\sigma = \beta + \delta.$ La tangencia externa da una segunda ecuación que vale $15:$ $r_1 + r_2 = 2R(\sin\beta + \sin\delta) = 15.$

Como $\gamma = \pi - \alpha - 2\sigma,$ tenemos $\sin\gamma = \sin(\alpha + 2\sigma).$ La transformación de suma a producto da entonces $\begin{aligned} 18 &= 2R\left[\sin(\alpha + 2\sigma) + \sin\alpha\right] \\ &= 4R\sin(\alpha + \sigma)\cos\sigma \\ &= 30\cos\sigma, \end{aligned}$ así que $\cos\sigma = \frac{3}{5},$ y de forma similar $14 = 4R\cos(\alpha + \sigma)\sin\sigma$ da $R\cos(\alpha + \sigma) = \frac{35}{8}.$ Combinando con $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ se obtiene $4R^2 = 225 + \frac{1225}{16},$ así que $R^2 = \frac{4825}{64}.$ Además $15 = 2R(\sin\beta + \sin\delta)$ $= 4R\sin\frac{\sigma}{2}\cos\frac{\beta - \delta}{2}$ con $\sin\frac{\sigma}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}},$ así que $\cos\frac{\beta - \delta}{2} = \frac{15\sqrt{5}}{4R}$ y $\cos(\beta - \delta) = \frac{1125}{8R^2} - 1.$

Uniendo el centro de $\Omega$ con los seis vértices se divide el hexágono en seis triángulos, así que su área es $\frac{1}{2}R^2$ ${}\cdot \small \left[\sin 2\alpha + 2\sin 2\beta + 2\sin 2\delta + \sin 2\gamma\right].$ Ahora $R^2(\sin 2\beta + \sin 2\delta)$ $= 2R^2 \sin\sigma\cos(\beta - \delta)$ $= \frac{8}{5}\left(\frac{1125}{8} - R^2\right)$ $= \frac{835}{8},$ mientras que $\sin 2\alpha + \sin 2\gamma$ $= -2\sin 2\sigma \cos\bigl(2(\alpha + \sigma)\bigr)$ $= -2 \cdot \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{95}{193}\right)$ ya que $\cos\bigl(2(\alpha+\sigma)\bigr) = 1 - \frac{2 \cdot 225}{4R^2}$ $= -\frac{95}{193},$ así que $\frac{1}{2}R^2(\sin 2\alpha + \sin 2\gamma)$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{4825}{64} \cdot \frac{912}{965}$ $= \frac{285}{8}.$ El área es $\frac{835}{8} + \frac{285}{8} = 140.$

All six hexagon vertices lie on $\Omega:$ $O_1$ and $O_2$ by hypothesis, and $A, B, C, D$ as intersection points with $\Omega.$ Let $R$ be the radius of $\Omega,$ and let the arcs cut off by the sides $AB,$ $BO_1,$ $O_1C,$ $CD,$ $DO_2,$ $O_2A$ be $2\alpha, 2\beta, 2\beta, 2\gamma, 2\delta, 2\delta$ (the two $\beta$ 's because chords $BO_1 = O_1C = r_1,$ the radius of $\omega_1,$ and likewise $O_2A = O_2D = r_2$ ), so $\alpha + 2\beta + \gamma + 2\delta = \pi.$ Each chord equals $2R\sin(\text{half its arc}):$ $2R\sin\alpha = 2,$ $2R\sin\gamma = 16,$ and the chord $\overline{O_1O_2}$ subtends $2\beta + 2\gamma + 2\delta,$ giving $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ where $\sigma = \beta + \delta.$ External tangency gives a second equation worth $15:$ $r_1 + r_2 = 2R(\sin\beta + \sin\delta) = 15.$

Since $\gamma = \pi - \alpha - 2\sigma,$ we have $\sin\gamma = \sin(\alpha + 2\sigma).$ Sum-to-product then gives $\begin{aligned} 18 &= 2R\left[\sin(\alpha + 2\sigma) + \sin\alpha\right] \\ &= 4R\sin(\alpha + \sigma)\cos\sigma \\ &= 30\cos\sigma, \end{aligned}$ so $\cos\sigma = \frac{3}{5},$ and similarly $14 = 4R\cos(\alpha + \sigma)\sin\sigma$ gives $R\cos(\alpha + \sigma) = \frac{35}{8}.$ Combining with $2R\sin(\alpha + \sigma) = 15$ yields $4R^2 = 225 + \frac{1225}{16},$ so $R^2 = \frac{4825}{64}.$ Also $15 = 2R(\sin\beta + \sin\delta)$ $= 4R\sin\frac{\sigma}{2}\cos\frac{\beta - \delta}{2}$ with $\sin\frac{\sigma}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}},$ so $\cos\frac{\beta - \delta}{2} = \frac{15\sqrt{5}}{4R}$ and $\cos(\beta - \delta) = \frac{1125}{8R^2} - 1.$

Joining the center of $\Omega$ to the six vertices splits the hexagon into six triangles, so its area is $\frac{1}{2}R^2$ ${}\cdot \small \left[\sin 2\alpha + 2\sin 2\beta + 2\sin 2\delta + \sin 2\gamma\right].$ Now $R^2(\sin 2\beta + \sin 2\delta)$ $= 2R^2 \sin\sigma\cos(\beta - \delta)$ $= \frac{8}{5}\left(\frac{1125}{8} - R^2\right)$ $= \frac{835}{8},$ while $\sin 2\alpha + \sin 2\gamma$ $= -2\sin 2\sigma \cos\bigl(2(\alpha + \sigma)\bigr)$ $= -2 \cdot \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{95}{193}\right)$ since $\cos\bigl(2(\alpha+\sigma)\bigr) = 1 - \frac{2 \cdot 225}{4R^2}$ $= -\frac{95}{193},$ so $\frac{1}{2}R^2(\sin 2\alpha + \sin 2\gamma)$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{4825}{64} \cdot \frac{912}{965}$ $= \frac{285}{8}.$ The area is $\frac{835}{8} + \frac{285}{8} = 140.$