Question

Los $8$ ojales para el cordón de una zapatilla están todos sobre un rectángulo, cuatro igualmente espaciados en cada uno de los lados más largos. El rectángulo tiene un ancho de $50$ mm y un largo de $80$ mm. Hay un ojal en cada vértice del rectángulo. El cordón debe pasar entre los ojales de los vértices a lo largo de un lado corto del rectángulo y luego entrecruzarse entre ojales sucesivos hasta llegar a los dos ojales del otro lado corto del rectángulo, como se muestra. Después de pasar por estos ojales finales, cada uno de los extremos del cordón debe extenderse al menos $200$ mm más para poder atar un nudo. Halla la longitud mínima del cordón en milímetros.

The $8$ eyelets for the lace of a sneaker all lie on a rectangle, four equally spaced on each of the longer sides. The rectangle has a width of $50$ mm and a length of $80$ mm. There is one eyelet at each vertex of the rectangle. The lace itself must pass between the vertex eyelets along a width side of the rectangle and then crisscross between successive eyelets until it reaches the two eyelets at the other width side of the rectangle as shown. After passing through these final eyelets, each of the ends of the lace must extend at least $200$ mm farther to allow a knot to be tied. Find the minimum length of the lace in millimeters.

Respuesta

Solución:

Los cuatro ojales de cada lado de $80$ mm están igualmente espaciados con uno en cada vértice, así que ojales consecutivos en un lado distan $\frac{80}{3}$ mm. El cordón consta de un segmento que cruza el ancho de $50$ mm, seis piezas entrecruzadas (después del cruce del ancho, cada una de las dos hebras hace tres cruces hasta llegar arriba) y dos extremos libres de al menos $200$ mm cada uno. El cordón es más corto cuando cada pieza es un segmento recto.

Cada pieza entrecruzada abarca todo el ancho y sube un hueco, así que su longitud es $\begin{aligned} &\sqrt{50^2 + \left(\tfrac{80}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{28900}{9}} = \frac{170}{3}. \end{aligned}$

La longitud mínima es $50 + 6 \cdot \frac{170}{3}$ $+ 2 \cdot 200$ $= 50 + 340 + 400$ $= 790.$

The four eyelets on each $80$ mm side are equally spaced with one at each vertex, so consecutive eyelets on a side are $\frac{80}{3}$ mm apart. The lace consists of one segment across the $50$ mm width, six crisscross pieces (after the width crossing, each of the two strands makes three crossings to reach the top), and two free ends of at least $200$ mm each. The lace is shortest when every piece is a straight segment.

Each crisscross piece spans the full width and rises one gap, so its length is $\begin{aligned} &\sqrt{50^2 + \left(\tfrac{80}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{28900}{9}} = \frac{170}{3}. \end{aligned}$

The minimum length is $50 + 6 \cdot \frac{170}{3}$ $+ 2 \cdot 200$ $= 50 + 340 + 400$ $= 790.$

2014 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años