Question

Seis circunferencias congruentes forman un anillo, cada una tangente exteriormente a las dos circunferencias adyacentes. Las seis circunferencias son tangentes interiormente a una circunferencia $\mathcal{C}$ de radio $30.$ Sea $K$ el área de la región interior a $\mathcal{C}$ y exterior a las seis circunferencias del anillo. Halle $\lfloor K\rfloor.$ (La notación $\lfloor K\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $K.$ )

Six congruent circles form a ring with each circle externally tangent to the two circles adjacent to it. All six circles are internally tangent to a circle $\mathcal{C}$ with radius $30.$ Let $K$ be the area of the region inside $\mathcal{C}$ and outside all of the six circles in the ring. Find $\lfloor K\rfloor.$ (The notation $\lfloor K\rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $K.$ )

Respuesta

Solución:

Sea $r$ el radio común de las seis circunferencias. Las circunferencias adyacentes son tangentes exteriormente, así que sus centros distan $2r,$ y los seis centros forman un hexágono regular de lado $2r.$ Como el circunradio de un hexágono regular es igual a su lado, cada centro está a distancia $2r$ del centro $O$ de $\mathcal{C}.$ La tangencia interior a $\mathcal{C}$ significa que la distancia de $O$ a cada centro pequeño más $r$ es igual a $30,$ así que $3r = 30$ y $r = 10.$

Por lo tanto $\begin{aligned} K &= \pi\left(30^2 - 6 \cdot 10^2\right) \\ &= 300\pi \approx 942.48, \end{aligned}$ y $\lfloor K\rfloor = 942.$

Let $r$ be the common radius of the six circles. Adjacent circles are externally tangent, so their centers are $2r$ apart, and the six centers form a regular hexagon with side $2r.$ Since a regular hexagon's circumradius equals its side length, each center is at distance $2r$ from the center $O$ of $\mathcal{C}.$ Internal tangency to $\mathcal{C}$ means the distance from $O$ to each small center plus $r$ equals $30,$ so $3r = 30$ and $r = 10.$

Therefore $\begin{aligned} K &= \pi\left(30^2 - 6 \cdot 10^2\right) \\ &= 300\pi \approx 942.48, \end{aligned}$ and $\lfloor K\rfloor = 942.$

2005 AIME I Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años