Question

Zou y Chou están practicando sus carreras de $100$ metros lisos corriendo $6$ carreras entre ellos. Zou gana la primera carrera y, a partir de entonces, la probabilidad de que uno de ellos gane una carrera es $\frac{2}{3}$ si ganó la carrera anterior, pero solo $\frac{1}{3}$ si la perdió. La probabilidad de que Zou gane exactamente $5$ de las $6$ carreras es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Zou and Chou are practicing their $100$ -meter sprints by running $6$ races against each other. Zou wins the first race, and after that, the probability that one of them wins a race is $\frac{2}{3}$ if they won the previous race but only $\frac{1}{3}$ if they lost the previous race. The probability that Zou will win exactly $5$ of the $6$ races is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 97

Conceptos:probabilidad condicional análisis por casos

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Zou debe perder exactamente una de las carreras $2$ a $6.$ Trate una derrota en la carrera $6$ por separado de una derrota más temprana

Zou must lose exactly one of races $2$ through $6.$ Treat a loss in race $6$ separately from an earlier loss.

Pista grande:

Una derrota más temprana crea dos cambios de probabilidad $\frac{1}{3}$ (al entrar y al salir de la derrota); una derrota en la última carrera crea solo uno

An earlier loss creates two probability- $\frac{1}{3}$ switches (into and out of the loss); a final-race loss creates just one

Solución:

Zou gana la carrera $1,$ así que ganar exactamente $5$ de las $6$ carreras significa que pierde exactamente una de las carreras $2$ a $6.$ Cada carrera después de la primera repite el resultado anterior con probabilidad $\frac{2}{3}$ y lo cambia con probabilidad $\frac{1}{3}.$

Si la derrota es la carrera $6,$ las cinco transiciones son cuatro repeticiones seguidas de un cambio: $\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{243}.$ Si la derrota es la carrera $i$ para algún $2 \le i \le 5,$ hay un cambio al entrar en la derrota y un cambio de vuelta a la victoria, más tres repeticiones: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{8}{243}$ para cada una de las $4$ posiciones, lo que aporta $\frac{32}{243}.$

El total es $\frac{16}{243} + \frac{32}{243} = \frac{48}{243} = \frac{16}{81},$ así que $m + n = 16 + 81 = 97.$

Zou wins race $1,$ so winning exactly $5$ of the $6$ races means he loses exactly one of races $2$ through $6.$ Each race after the first repeats the previous outcome with probability $\frac{2}{3}$ and switches with probability $\frac{1}{3}.$

If the loss is race $6,$ the five transitions are four repeats followed by one switch: $\left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{243}.$ If the loss is race $i$ for some $2 \le i \le 5,$ there is a switch into the loss and a switch back to winning, plus three repeats: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{8}{243}$ for each of the $4$ positions, contributing $\frac{32}{243}.$

The total is $\frac{16}{243} + \frac{32}{243} = \frac{48}{243} = \frac{16}{81},$ so $m + n = 16 + 81 = 97.$

2021 AIME I Problema 1

Respuesta: 97

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años