Question

Halla la suma de los $10$ -ésimos términos de todas las sucesiones aritméticas de enteros cuyo primer término es igual a $4$ y que incluyen tanto a $24$ como a $34$ entre sus términos.

Find the sum of the $10$ th terms of all arithmetic sequences of integers that have first term equal to $4$ and include both $24$ and $34$ as terms.

Respuesta

Respuesta: 178

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Si la diferencia común es $d,$ entonces que $24$ y $34$ sean ambos términos obliga a que $d$ divida tanto a $20$ como a $30.$

If the common difference is $d,$ then $24$ and $34$ both being terms forces $d$ to divide both $20$ and $30.$

Pista grande:

La diferencia común debe ser un divisor positivo de $10;$ suma los $10$ -ésimos términos $4 + 9d$ sobre todos esos $d.$

The common difference must be a positive divisor of $10;$ add up the $10$ th terms $4 + 9d$ over all such $d.$

Solución:

Sea la diferencia común $d.$ Como el primer término es $4$ y aparecen tanto $24$ como $34$ , $d$ divide a $24 - 4 = 20$ y a $34 - 4 = 30,$ así que $d$ divide a $\gcd(20, 30) = 10.$ La diferencia debe ser positiva para alcanzar $24$ y $34$ desde $4,$ por lo que $d \in \{1, 2, 5, 10\}$ (y cada uno de ellos funciona, ya que $20$ y $30$ son ambos divisibles por $d,$ lo que coloca ambos objetivos en la sucesión).

El $10$ -ésimo término es $4 + 9d,$ por lo que la suma pedida es $\begin{aligned} &\sum_{d \in \{1,2,5,10\}} (4 + 9d) \\ &= 4 \cdot 4 + 9(1 + 2 + 5 + 10) \\ &= 16 + 162 = 178. \end{aligned}$

Let the common difference be $d.$ Since the first term is $4$ and both $24$ and $34$ appear, $d$ divides $24 - 4 = 20$ and $34 - 4 = 30,$ so $d$ divides $\gcd(20, 30) = 10.$ The difference must be positive to reach $24$ and $34$ from $4,$ so $d \in \{1, 2, 5, 10\}$ (and each of these works, since $20$ and $30$ are both divisible by $d,$ which puts both targets in the sequence).

The $10$ th term is $4 + 9d,$ so the requested sum is $\begin{aligned} &\sum_{d \in \{1,2,5,10\}} (4 + 9d) \\ &= 4 \cdot 4 + 9(1 + 2 + 5 + 10) \\ &= 16 + 162 = 178. \end{aligned}$

2026 AIME II Problema 1

Respuesta: 178

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años