Question

Abe puede pintar la habitación en $15$ horas, Bea puede pintar un $50$ por ciento más rápido que Abe, y Coe puede pintar el doble de rápido que Abe. Abe empieza a pintar la habitación y trabaja solo durante la primera hora y media. Luego Bea se une a Abe, y trabajan juntos hasta que la mitad de la habitación está pintada. Luego Coe se une a Abe y Bea, y trabajan juntos hasta que toda la habitación está pintada. Halla el número de minutos que transcurren desde que Abe empieza hasta que los tres terminan de pintar la habitación.

Abe can paint the room in $15$ hours, Bea can paint $50$ percent faster than Abe, and Coe can paint twice as fast as Abe. Abe begins to paint the room and works alone for the first hour and a half. Then Bea joins Abe, and they work together until half the room is painted. Then Coe joins Abe and Bea, and they work together until the entire room is painted. Find the number of minutes after Abe begins for the three of them to finish painting the room.

Respuesta

Solución:

Abe pinta $\frac{1}{900}$ de la habitación por minuto, así que Bea pinta $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{900} = \frac{1}{600}$ por minuto y Coe pinta $\frac{2}{900} = \frac{1}{450}$ por minuto. En los primeros $90$ minutos Abe pinta $\frac{90}{900} = \frac{1}{10}$ de la habitación.

Abe y Bea juntos pintan $\frac{1}{900} + \frac{1}{600} = \frac{1}{360}$ por minuto, y deben llevar el total desde $\frac{1}{10}$ hasta $\frac{1}{2},$ lo cual toma $\frac{2}{5} \cdot 360 = 144$ minutos. Los tres juntos pintan $\frac{1}{360} + \frac{1}{450} = \frac{1}{200}$ por minuto, así que la mitad restante de la habitación toma $\frac{1}{2} \cdot 200 = 100$ minutos.

El tiempo total es $90 + 144 + 100 = 334$ minutos.

Abe paints $\frac{1}{900}$ of the room per minute, so Bea paints $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{900} = \frac{1}{600}$ per minute and Coe paints $\frac{2}{900} = \frac{1}{450}$ per minute. In the first $90$ minutes Abe paints $\frac{90}{900} = \frac{1}{10}$ of the room.

Abe and Bea together paint $\frac{1}{900} + \frac{1}{600} = \frac{1}{360}$ per minute, and they must bring the total from $\frac{1}{10}$ up to $\frac{1}{2},$ which takes $\frac{2}{5} \cdot 360 = 144$ minutes. All three together paint $\frac{1}{360} + \frac{1}{450} = \frac{1}{200}$ per minute, so the remaining half of the room takes $\frac{1}{2} \cdot 200 = 100$ minutes.

The total time is $90 + 144 + 100 = 334$ minutes.

2014 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años