Question

Halla el menor número primo que sea el quinto término de una progresión aritmética creciente, en la que los cuatro términos anteriores también sean primos.

Find the smallest prime that is the fifth term of an increasing arithmetic sequence, all four preceding terms also being prime.

Respuesta

Solución:

Sean los términos $p,$ $p + d,$ $\ldots,$ $p + 4d.$ Si $d$ fuera impar, términos consecutivos tendrían paridad opuesta, así que algún término distinto del primero sería par y mayor que $2$ , lo cual es imposible. Si $d$ no fuera múltiplo de $3,$ entonces $p,$ $p + d,$ $p + 2d$ cubrirían todos los residuos módulo $3,$ por lo que algún término sería divisible entre $3;$ ese término tendría que ser el propio $3$ , lo que obliga a $p = 3,$ pero entonces $p + 3d = 3(1 + d)$ es compuesto. Por lo tanto $6 \mid d.$

Como $d \ge 6$ , el quinto término es al menos $p + 24.$ Probando $p = 5$ y $d = 6$ se obtiene $5, 11, 17, 23, 29,$ todos primos, y no es posible un quinto término menor puesto que $p \ge 5$ (los inicios $p = 2$ y $p = 3$ fallan como arriba). La respuesta es $29.$

Let the terms be $p,$ $p + d,$ $\ldots,$ $p + 4d.$ If $d$ were odd, consecutive terms would have opposite parity, so some term other than the first would be even and greater than $2$ — impossible. If $d$ were not a multiple of $3,$ then $p,$ $p + d,$ $p + 2d$ would cover all residues mod $3,$ so some term would be divisible by $3;$ that term would have to be $3$ itself, forcing $p = 3,$ but then $p + 3d = 3(1 + d)$ is composite. Hence $6 \mid d.$

With $d \ge 6$ the fifth term is at least $p + 24.$ Trying $p = 5$ and $d = 6$ gives $5, 11, 17, 23, 29,$ all prime, and no smaller fifth term is possible since $p \ge 5$ (the starts $p = 2$ and $p = 3$ fail as above). The answer is $29.$

1999 AIME Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años