Question

Halla el menor número primo que sea el quinto término de una progresión aritmética creciente, en la que los cuatro términos anteriores también sean primos.

Find the smallest prime that is the fifth term of an increasing arithmetic sequence, all four preceding terms also being prime.

Respuesta

Respuesta: 29

Conceptos:primo sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Si la diferencia común no es múltiplo de $3,$ uno de los tres primeros términos es divisible entre $3$

If the common difference is not a multiple of $3,$ one of the first three terms is divisible by $3$

Pista grande:

La diferencia debe ser múltiplo de $6,$ así que prueba progresiones de cinco términos con diferencia $6$ empezando desde primos pequeños

The difference must be a multiple of $6,$ so try five-term progressions with difference $6$ starting from small primes

Solución:

Sean los términos $p,$ $p + d,$ $\ldots,$ $p + 4d.$ El primo par no puede ser el primer término: una diferencia par hace par al segundo término, mientras que una diferencia impar hace par al tercero. Si $d$ fuera impar, términos consecutivos tendrían paridad opuesta, así que algún término distinto del primero sería par y mayor que $2$ , lo cual es imposible. Si $d$ no fuera múltiplo de $3,$ entonces $p,$ $p + d,$ $p + 2d$ cubrirían todos los residuos módulo $3,$ por lo que algún término sería divisible entre $3;$ ese término tendría que ser el propio $3$ , lo que obliga a $p = 3,$ pero entonces $p + 3d = 3(1 + d)$ es compuesto. Por lo tanto $d$ es divisible entre $6.$

Como $d \ge 6$ , el quinto término es al menos $p + 24.$ Probando $p = 5$ y $d = 6$ se obtiene $5, 11, 17, 23, 29,$ todos primos, y no es posible un quinto término menor puesto que $p \ge 5$ (los inicios $p = 2$ y $p = 3$ fallan como arriba). La respuesta es $29.$

Let the terms be $p,$ $p + d,$ $\ldots,$ $p + 4d.$ The even prime cannot be the first term: an even difference makes the second term even, while an odd difference makes the third term even. If $d$ were odd, consecutive terms would have opposite parity, so some term other than the first would be even and greater than $2$ — impossible. If $d$ were not a multiple of $3,$ then $p,$ $p + d,$ $p + 2d$ would cover all residues mod $3,$ so some term would be divisible by $3;$ that term would have to be $3$ itself, forcing $p = 3,$ but then $p + 3d = 3(1 + d)$ is composite. Hence $d$ is divisible by $6.$

With $d \ge 6$ the fifth term is at least $p + 24.$ Trying $p = 5$ and $d = 6$ gives $5, 11, 17, 23, 29,$ all prime, and no smaller fifth term is possible since $p \ge 5$ (the starts $p = 2$ and $p = 3$ fail as above). The answer is $29.$

1999 AIME Problema 1

Respuesta: 29

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años