Question

Halle el número de pares ordenados de soluciones enteras positivas $(m, n)$ de la ecuación $20m + 12n = 2012.$

Find the number of ordered pairs of positive integer solutions $(m, n)$ to the equation $20m + 12n = 2012.$

Respuesta

Solución:

Dividiendo entre $4$ se obtiene $5m + 3n = 503.$ Reduciendo módulo $3,$ necesitamos $2m \equiv 503 \equiv 2 \pmod{3},$ así que $m \equiv 1 \pmod{3}.$ Escribimos $m = 3k + 1$ con $k \ge 0;$ entonces $3n = 503 - 5(3k + 1)$ $= 498 - 15k,$ de modo que $n = 166 - 5k.$

Esto es positivo exactamente cuando $5k \le 165,$ es decir $k \le 33.$ Así que $k = 0, 1, \ldots, 33$ sirven todos, dando $34$ pares ordenados.

Dividing by $4$ gives $5m + 3n = 503.$ Reducing modulo $3,$ we need $2m \equiv 503 \equiv 2 \pmod{3},$ so $m \equiv 1 \pmod{3}.$ Write $m = 3k + 1$ with $k \ge 0;$ then $3n = 503 - 5(3k + 1)$ $= 498 - 15k,$ so $n = 166 - 5k.$

This is positive exactly when $5k \le 165,$ that is $k \le 33.$ So $k = 0, 1, \ldots, 33$ all work, giving $34$ ordered pairs.

2012 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años