Question

Halle el número de pares ordenados de soluciones enteras positivas

(m, n)

de la ecuación

20m + 12n = 2012.

Find the number of ordered pairs of positive integer solutions

(m, n)

to the equation

20m + 12n = 2012.

Respuesta

Respuesta: 34

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Divida la ecuación entre

4

para obtener

5m + 3n = 503

.

Divide the equation by

4

to get

5m + 3n = 503

Pista grande:

Módulo

3

la ecuación obliga a

m \equiv 1 \pmod{3};

cuente los valores

m = 3k + 1

que mantienen

n

positivo.

Modulo

3

the equation forces

m \equiv 1 \pmod{3};

count the values

m = 3k + 1

that keep

n

positive

Solución:

Dividiendo entre

4

se obtiene

5m + 3n = 503.

Reduciendo módulo

3,

necesitamos

2m \equiv 503 \equiv 2 \pmod{3},

así que

m \equiv 1 \pmod{3}.

Escribimos

m = 3k + 1

con

k \ge 0;

entonces

3n = 503 - 5(3k + 1)

= 498 - 15k,

de modo que

n = 166 - 5k.

Esto es positivo exactamente cuando

5k \le 165,

es decir

k \le 33.

Así que

k = 0, 1, \ldots, 33

sirven todos, dando

34

pares ordenados.

Dividing by

4

gives

5m + 3n = 503.

Reducing modulo

3,

we need

2m \equiv 503 \equiv 2 \pmod{3},

so

m \equiv 1 \pmod{3}.

Write

m = 3k + 1

with

k \ge 0;

then

3n = 503 - 5(3k + 1)

= 498 - 15k,

so

n = 166 - 5k.

This is positive exactly when

5k \le 165,

that is

k \le 33.

So

k = 0, 1, \ldots, 33

all work, giving

34

ordered pairs.

2012 AIME II Problema 1

Respuesta: 34

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años