Soluciones del 2012 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halle el número de pares ordenados de soluciones enteras positivas $(m, n)$ de la ecuación $20m + 12n = 2012.$

Find the number of ordered pairs of positive integer solutions $(m, n)$ to the equation $20m + 12n = 2012.$

Respuesta

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

Dividiendo entre $4$ se obtiene $5m + 3n = 503.$ Reduciendo módulo $3,$ necesitamos $2m \equiv 503 \equiv 2 \pmod{3},$ así que $m \equiv 1 \pmod{3}.$ Escribimos $m = 3k + 1$ con $k \ge 0;$ entonces $3n = 503 - 5(3k + 1)$ $= 498 - 15k,$ de modo que $n = 166 - 5k.$

Esto es positivo exactamente cuando $5k \le 165,$ es decir $k \le 33.$ Así que $k = 0, 1, \ldots, 33$ sirven todos, dando $34$ pares ordenados.

Dividing by $4$ gives $5m + 3n = 503.$ Reducing modulo $3,$ we need $2m \equiv 503 \equiv 2 \pmod{3},$ so $m \equiv 1 \pmod{3}.$ Write $m = 3k + 1$ with $k \ge 0;$ then $3n = 503 - 5(3k + 1)$ $= 498 - 15k,$ so $n = 166 - 5k.$

This is positive exactly when $5k \le 165,$ that is $k \le 33.$ So $k = 0, 1, \ldots, 33$ all work, giving $34$ ordered pairs.

2.

Dos progresiones geométricas $a_1, a_2, a_3, \ldots$ y $b_1, b_2, b_3, \ldots$ tienen la misma razón común, con $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ y $a_{15} = b_{11}.$ Halle $a_9.$

Two geometric sequences $a_1, a_2, a_3, \ldots$ and $b_1, b_2, b_3, \ldots$ have the same common ratio, with $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ and $a_{15} = b_{11}.$ Find $a_9.$

Respuesta

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Sea $r$ la razón común compartida. Entonces $a_{15} = 27r^{14}$ y $b_{11} = 99r^{10},$ así que $27r^{14} = 99r^{10}$ da $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}$

Let $r$ be the shared common ratio. Then $a_{15} = 27r^{14}$ and $b_{11} = 99r^{10},$ so $27r^{14} = 99r^{10}$ gives $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.$

Therefore $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}$

3.

En cierta universidad, la división de ciencias matemáticas consta de los departamentos de matemáticas, estadística y ciencias de la computación. En cada departamento hay dos profesores hombres y dos profesoras mujeres. Se debe formar un comité de seis profesores que contenga tres hombres y tres mujeres y que además contenga dos profesores de cada uno de los tres departamentos. Halle el número de comités posibles que se pueden formar sujetos a estos requisitos.

At a certain university, the division of mathematical sciences consists of the departments of mathematics, statistics, and computer science. There are two male and two female professors in each department. A committee of six professors is to contain three men and three women and must also contain two professors from each of the three departments. Find the number of possible committees that can be formed subject to these requirements.

Respuesta

Conceptos:combinaciones arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Cada departamento aporta exactamente dos miembros del comité. Si cada departamento envía un hombre y una mujer, hay $2 \cdot 2 = 4$ opciones por departamento, para $4^3 = 64$ comités.

En caso contrario, algún departamento envía dos hombres. Para mantener tres de cada género, otro departamento debe entonces enviar sus dos mujeres, y el departamento restante envía un hombre y una mujer. Hay $3$ formas de elegir el departamento totalmente masculino, $2$ formas de elegir el totalmente femenino, y $2 \cdot 2 = 4$ opciones en el departamento mixto (las selecciones de dos hombres y dos mujeres están forzadas), para $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ comités.

El total es $64 + 24 = 88.$

Each department contributes exactly two committee members. If every department sends one man and one woman, there are $2 \cdot 2 = 4$ choices per department, for $4^3 = 64$ committees.

Otherwise some department sends two men. To keep three of each gender, another department must then send its two women, and the remaining department sends one man and one woman. There are $3$ ways to pick the all-male department, $2$ ways to pick the all-female department, and $2 \cdot 2 = 4$ choices in the mixed department (the two-man and two-woman selections are forced), for $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ committees.

The total is $64 + 24 = 88.$

4.

Ana, Bob y Cao pedalean a velocidades constantes de $8.6$ metros por segundo, $6.2$ metros por segundo y $5$ metros por segundo, respectivamente. Todos comienzan a pedalear al mismo tiempo desde la esquina noreste de un campo rectangular cuyo lado más largo va hacia el oeste. Ana empieza a pedalear a lo largo del borde del campo, inicialmente hacia el oeste; Bob empieza a pedalear a lo largo del borde del campo, inicialmente hacia el sur; y Cao pedalea en línea recta a través del campo hasta un punto $D$ en el borde sur del campo. Cao llega al punto $D$ en el mismo instante en que Ana y Bob llegan a $D$ por primera vez. La razón entre la longitud del campo, su anchura y la distancia del punto $D$ a la esquina sureste del campo puede representarse como $p : q : r,$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos con $p$ y $q$ primos entre sí. Halle $p + q + r.$

Ana, Bob, and Cao bike at constant rates of $8.6$ meters per second, $6.2$ meters per second, and $5$ meters per second, respectively. They all begin biking at the same time from the northeast corner of a rectangular field whose longer side runs due west. Ana starts biking along the edge of the field, initially heading west, Bob starts biking along the edge of the field, initially heading south, and Cao bikes in a straight line across the field to a point $D$ on the south edge of the field. Cao arrives at point $D$ at the same time that Ana and Bob arrive at $D$ for the first time. The ratio of the field's length to the field's width to the distance from point $D$ to the southeast corner of the field can be represented as $p : q : r,$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers with $p$ and $q$ relatively prime. Find $p + q + r.$

Respuesta

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones factorización

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Sea el campo de longitud $L$ (oeste) y anchura $W$ (sur) con $L \gt W,$ y sea $x$ la distancia de $D$ a la esquina sureste. Ana recorre el perímetro una distancia $2L + W - x,$ Bob recorre $W + x,$ y Cao recorre $\sqrt{W^2 + x^2},$ todos en el mismo tiempo: $\begin{aligned} \frac{2L + W - x}{8.6} &= \frac{W + x}{6.2} \\ &= \frac{\sqrt{W^2 + x^2}}{5}. \end{aligned}$

La primera igualdad da $L = \frac{6W + 37x}{31}.$ Elevando al cuadrado la segunda, $25(W + x)^2 = 38.44\,(W^2 + x^2),$ que se simplifica a $168W^2 - 625Wx + 168x^2 = 0,$ y se factoriza como $(24W - 7x)(7W - 24x) = 0.$

La raíz $x = \frac{7W}{24}$ da $L = \frac{13W}{24} \lt W,$ lo cual es imposible, así que $x = \frac{24W}{7}$ y entonces $L = \frac{30W}{7}.$ La razón es $L : W : x = 30 : 7 : 24,$ y $p + q + r = 30 + 7 + 24 = 61.$

Let the field have length $L$ (west) and width $W$ (south) with $L \gt W,$ and let $x$ be the distance from $D$ to the southeast corner. Ana rides around the perimeter a distance $2L + W - x,$ Bob rides $W + x,$ and Cao rides $\sqrt{W^2 + x^2},$ all in the same time: $\begin{aligned} \frac{2L + W - x}{8.6} &= \frac{W + x}{6.2} \\ &= \frac{\sqrt{W^2 + x^2}}{5}. \end{aligned}$

The first equality gives $L = \frac{6W + 37x}{31}.$ Squaring the second, $25(W + x)^2 = 38.44\,(W^2 + x^2),$ which simplifies to $168W^2 - 625Wx + 168x^2 = 0,$ factoring as $(24W - 7x)(7W - 24x) = 0.$

The root $x = \frac{7W}{24}$ gives $L = \frac{13W}{24} \lt W,$ which is impossible, so $x = \frac{24W}{7}$ and then $L = \frac{30W}{7}.$ The ratio is $L : W : x = 30 : 7 : 24,$ and $p + q + r = 30 + 7 + 24 = 61.$

5.

En la figura adjunta, el cuadrado exterior $S$ tiene lado $40.$ Dentro de $S$ se construye un segundo cuadrado $S'$ de lado $15$ , con el mismo centro que $S$ y con lados paralelos a los de $S.$ Desde cada punto medio de un lado de $S,$ se trazan segmentos hacia los dos vértices más cercanos de $S'.$ El resultado es una figura en forma de estrella de cuatro puntas inscrita en $S.$ La estrella se recorta y luego se pliega para formar una pirámide con base $S'.$ Halle el volumen de esta pirámide.

In the accompanying figure, the outer square $S$ has side length $40.$ A second square $S'$ of side length $15$ is constructed inside $S$ with the same center as $S$ and with sides parallel to those of $S.$ From each midpoint of a side of $S,$ segments are drawn to the two closest vertices of $S'.$ The result is a four-pointed starlike figure inscribed in $S.$ The star figure is cut out and then folded to form a pyramid with base $S'.$ Find the volume of this pyramid.

Respuesta

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)pirámide volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Al plegar la estrella a lo largo de los lados de $S'$ se levantan las cuatro puntas triangulares de modo que sus vértices (los puntos medios de los lados de $S$ ) se encuentran en un único ápice $V.$ Sea $M$ el centro de $S'$ y $P$ el punto medio de uno de sus lados. En la figura plana, la distancia de $P$ a la punta de su triángulo es $20 - \frac{15}{2} = \frac{25}{2},$ y esta se convierte en la generatriz $PV$ tras el plegado.

El triángulo $PMV$ tiene un ángulo recto en $M,$ con $PM = \frac{15}{2},$ así que la altura es $\begin{aligned} VM &= \sqrt{\left(\tfrac{25}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{15}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{100} = 10. \end{aligned}$ El volumen es $\frac{1}{3} \cdot 15^2 \cdot 10 = 750.$

Folding the star along the sides of $S'$ lifts the four triangular points so that their tips (the midpoints of the sides of $S$ ) meet at a single apex $V.$ Let $M$ be the center of $S'$ and $P$ the midpoint of one of its sides. In the flat figure, the distance from $P$ to the tip of its triangle is $20 - \frac{15}{2} = \frac{25}{2},$ and this becomes the slant $PV$ after folding.

Triangle $PMV$ has a right angle at $M,$ with $PM = \frac{15}{2},$ so the height is $\begin{aligned} VM &= \sqrt{\left(\tfrac{25}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{15}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{100} = 10. \end{aligned}$ The volume is $\frac{1}{3} \cdot 15^2 \cdot 10 = 750.$

6.

Sea $z = a + bi$ el número complejo con $|z| = 5$ y $b \gt 0$ tal que la distancia entre $(1 + 2i)z^3$ y $z^5$ sea máxima, y sea $z^4 = c + di.$ Halle $c + d.$

Let $z = a + bi$ be the complex number with $|z| = 5$ and $b \gt 0$ such that the distance between $(1 + 2i)z^3$ and $z^5$ is maximized, and let $z^4 = c + di.$ Find $c + d.$

Respuesta

Conceptos:número complejo optimización

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

La distancia es $|(1 + 2i)z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2i - z^2|$ $= 125\,|1 + 2i - z^2|.$ Cuando $z$ recorre la circunferencia $|z| = 5$ con $b \gt 0,$ el cuadrado $z^2$ alcanza todos los puntos de la circunferencia $|w| = 25$ (la condición $b \gt 0$ solo selecciona una de las dos raíces cuadradas). El punto de esa circunferencia más alejado de $1 + 2i$ está en la dirección diametralmente opuesta: $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2i}{|1 + 2i|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2i). \end{aligned}$

Elevando al cuadrado, $z^4 = 125\,(1 + 2i)^2$ $= 125\,(-3 + 4i)$ $= -375 + 500i,$ así que $c + d = -375 + 500 = 125.$

The distance is $|(1 + 2i)z^3 - z^5|$ $= |z|^3 \cdot |1 + 2i - z^2|$ $= 125\,|1 + 2i - z^2|.$ As $z$ runs over the circle $|z| = 5$ with $b \gt 0,$ the square $z^2$ attains every point of the circle $|w| = 25$ (the condition $b \gt 0$ merely selects one of the two square roots). The point of that circle farthest from $1 + 2i$ is diametrically opposite in direction: $\begin{aligned} z^2 &= -25 \cdot \frac{1 + 2i}{|1 + 2i|} \\ &= -5\sqrt{5}\,(1 + 2i). \end{aligned}$

Squaring, $z^4 = 125\,(1 + 2i)^2$ $= 125\,(-3 + 4i)$ $= -375 + 500i,$ so $c + d = -375 + 500 = 125.$

7.

Sea $S$ la sucesión creciente de enteros positivos cuya representación binaria tiene exactamente $8$ unos. Sea $N$ el $1000$ -ésimo número de $S.$ Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $S$ be the increasing sequence of positive integers whose binary representation has exactly $8$ ones. Let $N$ be the $1000$ th number in $S.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:base numérica combinaciones enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2790

Solución:

Hay $\binom{12}{8} = 495$ elementos de $S$ por debajo de $2^{12}$ y $\binom{13}{8} = 1287$ por debajo de $2^{13},$ así que $N$ tiene $13$ dígitos binarios, y exactamente $1287 - 1000 = 287$ elementos por debajo de $2^{13}$ lo superan. Los $\binom{11}{6} = 462$ elementos cuya representación binaria empieza por $11$ son los mayores, así que $N$ empieza por $11$ y es el $462 - 287 = 175$ -ésimo menor de ellos.

Entre estos, $\binom{9}{6} = 84$ empiezan por $1100,$ los siguientes $\binom{8}{5} = 56$ empiezan por $11010,$ y los siguientes $\binom{7}{4} = 35$ empiezan por $110110.$ Como $84 + 56 + 35 = 175,$ el número $N$ es el mayor elemento que empieza por $110110,$ a saber $1101101111000$ en binario.

Su valor es $2^{12} + 2^{11} + 2^9 + 2^8$ $+ 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 = 7032,$ así que el residuo al dividir entre $1000$ es $32.$

There are $\binom{12}{8} = 495$ members of $S$ below $2^{12}$ and $\binom{13}{8} = 1287$ below $2^{13},$ so $N$ has $13$ binary digits, and exactly $1287 - 1000 = 287$ members below $2^{13}$ exceed it. The $\binom{11}{6} = 462$ members whose binary representations begin $11$ are the largest ones, so $N$ begins with $11$ and is the $462 - 287 = 175$ th smallest of them.

Among these, $\binom{9}{6} = 84$ begin $1100,$ the next $\binom{8}{5} = 56$ begin $11010,$ and the next $\binom{7}{4} = 35$ begin $110110.$ Since $84 + 56 + 35 = 175,$ the number $N$ is the largest member beginning $110110,$ namely $1101101111000$ in binary.

Its value is $2^{12} + 2^{11} + 2^9 + 2^8$ $+ 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 = 7032,$ so the remainder upon division by $1000$ is $32.$

8.

Los números complejos $z$ y $w$ satisfacen el sistema $z + \frac{20i}{w} = 5 + i,$ $w + \frac{12i}{z} = -4 + 10i.$

Halle el menor valor posible de $|zw|^2.$

The complex numbers $z$ and $w$ satisfy the system $z + \frac{20i}{w} = 5 + i,$ $w + \frac{12i}{z} = -4 + 10i.$

Find the smallest possible value of $|zw|^2.$

Respuesta

Conceptos:número complejo sistema de ecuaciones cuadrática

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Multiplicando las dos ecuaciones se obtiene $\begin{aligned} &zw + 12i + 20i \\ &\quad {}- \frac{240}{zw} = (5 + i)(-4 + 10i) \\ &\quad = -30 + 46i, \end{aligned}$ así que $zw - \frac{240}{zw} = -30 + 14i.$ Haciendo $v = zw$ resulta $v^2 + (30 - 14i)v - 240 = 0.$

Por la fórmula cuadrática, $v = -15 + 7i$ $\pm \sqrt{(15 - 7i)^2 + 240}$ $= -15 + 7i$ $\pm \sqrt{416 - 210i}.$ Escribir $(a + bi)^2 = 416 - 210i$ exige $a^2 - b^2 = 416$ y $ab = -105,$ lo que da $a + bi = \pm(21 - 5i).$ Por lo tanto $v = 6 + 2i$ o $v = -36 + 12i,$ con $|v|^2 = 40$ o $1440.$

El menor valor se alcanza: $z = 1 - i,$ $w = 2 + 4i$ satisface ambas ecuaciones con $zw = 6 + 2i.$ Así que el menor valor posible de $|zw|^2$ es $40.$

Multiplying the two equations gives $\begin{aligned} &zw + 12i + 20i \\ &\quad {}- \frac{240}{zw} = (5 + i)(-4 + 10i) \\ &\quad = -30 + 46i, \end{aligned}$ so $zw - \frac{240}{zw} = -30 + 14i.$ Setting $v = zw$ yields $v^2 + (30 - 14i)v - 240 = 0.$

By the quadratic formula, $v = -15 + 7i$ $\pm \sqrt{(15 - 7i)^2 + 240}$ $= -15 + 7i$ $\pm \sqrt{416 - 210i}.$ Writing $(a + bi)^2 = 416 - 210i$ requires $a^2 - b^2 = 416$ and $ab = -105,$ which gives $a + bi = \pm(21 - 5i).$ Hence $v = 6 + 2i$ or $v = -36 + 12i,$ with $|v|^2 = 40$ or $1440.$

The smaller value is attained: $z = 1 - i,$ $w = 2 + 4i$ satisfies both equations with $zw = 6 + 2i.$ So the smallest possible value of $|zw|^2$ is $40.$

9.

Sean $x$ y $y$ números reales tales que $\frac{\sin x}{\sin y} = 3$ y $\frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{2}.$ El valor de $\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ puede expresarse en la forma $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $p + q.$

Let $x$ and $y$ be real numbers such that $\frac{\sin x}{\sin y} = 3$ and $\frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{2}.$ The value of $\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ can be expressed in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Por la fórmula del ángulo doble, $\begin{aligned} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} &= \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} \\ &= 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \end{aligned}$

Elevando al cuadrado las ecuaciones dadas, $\sin^2 x = 9\sin^2 y$ y $\cos^2 x = \frac{1}{4}\cos^2 y.$ Sumando, $1 = 9(1 - \cos^2 y) + \frac{1}{4}\cos^2 y,$ así que $\frac{35}{4}\cos^2 y = 8$ y $\cos^2 y = \frac{32}{35}.$ Entonces $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1 = \frac{29}{35}$ y $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ $= \frac{1}{2}\cos^2 y - 1$ $= -\frac{19}{35},$ así que $\frac{\cos 2x}{\cos 2y} = -\frac{19}{29}.$

El valor pedido es $\frac{3}{2} - \frac{19}{29} = \frac{87 - 38}{58} = \frac{49}{58},$ y $p + q = 49 + 58 = 107.$

From the double-angle formula, $\begin{aligned} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} &= \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} \\ &= 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \end{aligned}$

Squaring the given equations, $\sin^2 x = 9\sin^2 y$ and $\cos^2 x = \frac{1}{4}\cos^2 y.$ Adding, $1 = 9(1 - \cos^2 y) + \frac{1}{4}\cos^2 y,$ so $\frac{35}{4}\cos^2 y = 8$ and $\cos^2 y = \frac{32}{35}.$ Then $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1 = \frac{29}{35}$ and $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ $= \frac{1}{2}\cos^2 y - 1$ $= -\frac{19}{35},$ so $\frac{\cos 2x}{\cos 2y} = -\frac{19}{29}.$

The requested value is $\frac{3}{2} - \frac{19}{29} = \frac{87 - 38}{58} = \frac{49}{58},$ and $p + q = 49 + 58 = 107.$

10.

Halle el número de enteros positivos $n$ menores que $1000$ para los cuales existe un número real positivo $x$ tal que $n = x\lfloor x \rfloor.$

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$

Find the number of positive integers $n$ less than $1000$ for which there exists a positive real number $x$ such that $n = x\lfloor x \rfloor.$

Note: $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2460

Solución:

Fije $\lfloor x \rfloor = a \ge 1.$ Para $a \le x \lt a + 1$ el producto $n = ax$ recorre $[a^2, a^2 + a),$ y todo entero $n$ de ese intervalo se alcanza con $x = \frac{n}{a}$ (que en efecto tiene parte entera $a$ ). Así que cada $a$ aporta exactamente $a$ valores de $n,$ a saber $a^2, a^2 + 1, \ldots, a^2 + a - 1.$

Para $a = 31$ el mayor valor es $31^2 + 30 = 991 \lt 1000,$ así que todos los valores hasta $a = 31$ califican, mientras que $a = 32$ ya empieza en $1024.$ El conteo es $1 + 2 + \cdots + 31 = \frac{31 \cdot 32}{2} = 496.$

Fix $\lfloor x \rfloor = a \ge 1.$ For $a \le x \lt a + 1$ the product $n = ax$ ranges over $[a^2, a^2 + a),$ and every integer $n$ in that interval is achieved by $x = \frac{n}{a}$ (which indeed has floor $a$ ). So each $a$ contributes exactly $a$ values of $n,$ namely $a^2, a^2 + 1, \ldots, a^2 + a - 1.$

For $a = 31$ the largest value is $31^2 + 30 = 991 \lt 1000,$ so all values through $a = 31$ qualify, while $a = 32$ already starts at $1024.$ The count is $1 + 2 + \cdots + 31 = \frac{31 \cdot 32}{2} = 496.$

11.

Sea $f_1(x) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3x + 1},$ y para $n \ge 2,$ defina $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x)).$ El valor de $x$ que satisface $f_{1001}(x) = x - 3$ puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $f_1(x) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3x + 1},$ and for $n \ge 2,$ define $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x)).$ The value of $x$ that satisfies $f_{1001}(x) = x - 3$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:función cuadrática reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Combinando fracciones, $f_1(x) = \frac{2(3x + 1) - 9}{3(3x + 1)} = \frac{6x - 7}{9x + 3}.$ Componiendo una vez, $f_2(x) = \frac{6 f_1(x) - 7}{9 f_1(x) + 3} = \frac{-3x - 7}{9x - 6},$ y componiendo de nuevo se obtiene $f_3(x) = x.$

Así que la iteración es periódica con periodo $3.$ Como $1001 \equiv 2 \pmod{3},$ tenemos $f_{1001} = f_2,$ y la ecuación se convierte en $\frac{-3x - 7}{9x - 6} = x - 3,$ es decir $9x^2 - 33x + 18 = -3x - 7,$ o $9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2 = 0.$

La única solución es $x = \frac{5}{3},$ así que $m + n = 5 + 3 = 8.$

Combining fractions, $f_1(x) = \frac{2(3x + 1) - 9}{3(3x + 1)} = \frac{6x - 7}{9x + 3}.$ Composing once, $f_2(x) = \frac{6 f_1(x) - 7}{9 f_1(x) + 3} = \frac{-3x - 7}{9x - 6},$ and composing again gives $f_3(x) = x.$

So the iteration is periodic with period $3.$ Since $1001 \equiv 2 \pmod{3},$ we have $f_{1001} = f_2,$ and the equation becomes $\frac{-3x - 7}{9x - 6} = x - 3,$ that is $9x^2 - 33x + 18 = -3x - 7,$ or $9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2 = 0.$

The unique solution is $x = \frac{5}{3},$ so $m + n = 5 + 3 = 8.$

12.

Para un entero positivo $p,$ se dice que el entero positivo $n$ es $p$ -seguro si $n$ difiere en valor absoluto en más de $2$ de todos los múltiplos de $p.$ Por ejemplo, el conjunto de números $10$ -seguros es $\{3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15,$ $16, 17, 23, \ldots\}.$ Halle el número de enteros positivos menores o iguales que $10{,}000$ que son simultáneamente $7$ -seguros, $11$ -seguros y $13$ -seguros.

For a positive integer $p,$ define the positive integer $n$ to be $p$ -safe if $n$ differs in absolute value by more than $2$ from all multiples of $p.$ For example, the set of $10$ -safe numbers is $\{3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15,$ $16, 17, 23, \ldots\}.$ Find the number of positive integers less than or equal to $10{,}000$ which are simultaneously $7$ -safe, $11$ -safe, and $13$ -safe.

Respuesta

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Ser $p$ -seguro depende solo de $n \bmod p:$ requiere $3 \le n \bmod p \le p - 3.$ Eso permite $2$ residuos módulo $7,$ $6$ residuos módulo $11,$ y $8$ residuos módulo $13.$ Como $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001,$ el teorema chino del resto da exactamente $2 \cdot 6 \cdot 8 = 96$ residuos seguros módulo $1001,$ así que cada bloque de $1001$ enteros consecutivos contiene $96$ números seguros.

Los enteros del $1$ al $10010$ forman diez de esos bloques, con $960$ números seguros. Queda descartar los números seguros entre $10001, \ldots, 10010.$ Sus residuos módulo $7$ son $5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0,$ así que solo $10006$ y $10007$ son $7$ -seguros; ambos son también $11$ -seguros (residuos $7$ y $8$ ) y $13$ -seguros (residuos $9$ y $10$ ).

Por lo tanto el conteo es $960 - 2 = 958.$

Being $p$ -safe depends only on $n \bmod p:$ it requires $3 \le n \bmod p \le p - 3.$ That allows $2$ residues modulo $7,$ $6$ residues modulo $11,$ and $8$ residues modulo $13.$ Since $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001,$ the Chinese remainder theorem gives exactly $2 \cdot 6 \cdot 8 = 96$ safe residues modulo $1001,$ so each block of $1001$ consecutive integers contains $96$ safe numbers.

The integers $1$ through $10010$ form ten such blocks, containing $960$ safe numbers. It remains to discard the safe numbers among $10001, \ldots, 10010.$ Their residues modulo $7$ run $5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0,$ so only $10006$ and $10007$ are $7$ -safe; both are also $11$ -safe (residues $7$ and $8$ ) and $13$ -safe (residues $9$ and $10$ ).

Therefore the count is $960 - 2 = 958.$

13.

El triángulo equilátero $\triangle ABC$ tiene lado $\sqrt{111}.$ Hay cuatro triángulos distintos $AD_1E_1,$ $AD_1E_2,$ $AD_2E_3,$ y $AD_2E_4,$ cada uno congruente con $\triangle ABC,$ con $BD_1 = BD_2 = \sqrt{11}.$ Halle $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2.$

Equilateral $\triangle ABC$ has side length $\sqrt{111}.$ There are four distinct triangles $AD_1E_1,$ $AD_1E_2,$ $AD_2E_3,$ and $AD_2E_4,$ each congruent to $\triangle ABC,$ with $BD_1 = BD_2 = \sqrt{11}.$ Find $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2.$

Respuesta

Conceptos:ley de los cosenos transformación identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Escribimos $s = \sqrt{111}$ y $r = \sqrt{11}.$ Como cada triángulo $AD_iE_k$ es congruente con $\triangle ABC,$ tenemos $AD_i = AE_k = s,$ así que $D_1$ y $D_2$ son las dos intersecciones de la circunferencia de radio $s$ centrada en $A$ con la circunferencia de radio $r$ centrada en $B;$ son imágenes especulares respecto a la recta $AB,$ así que $\angle BAD_1 = \angle BAD_2 = \theta$ con $D_1$ y $D_2$ en lados opuestos de $AB.$ Cada $E_k$ es la imagen de su $D_i$ rotada $\pm 60^\circ$ alrededor de $A.$ Midiendo ángulos con signo desde el rayo $AB,$ con $C$ en $+60^\circ,$ los rayos $AD_i$ están en $\pm\theta$ y los rayos $AE_k$ en $\pm\theta \pm 60^\circ,$ así que los cuatro ángulos $\angle CAE_k$ son $\theta,$ $\theta,$ $120^\circ - \theta,$ y $120^\circ + \theta.$

Como $AC = AE_k = s,$ la ley de cosenos da $(CE_k)^2 = 2s^2(1 - \cos\angle CAE_k).$ Usando $\cos(120^\circ - \theta)$ $+ \cos(120^\circ + \theta)$ $= 2\cos 120^\circ \cos\theta$ $= -\cos\theta,$ los cosenos de los cuatro ángulos suman $2\cos\theta - \cos\theta = \cos\theta,$ así que $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2 = 2s^2(4 - \cos\theta).$

Aplicando la ley de cosenos en el triángulo $ABD_1$ (con $AB = AD_1 = s$ ) se obtiene $r^2 = 2s^2(1 - \cos\theta),$ así que $2s^2\cos\theta = 2s^2 - r^2.$ Por lo tanto la suma es $8s^2 - (2s^2 - r^2)$ $= 6s^2 + r^2$ $= 6 \cdot 111 + 11 = 677.$

Write $s = \sqrt{111}$ and $r = \sqrt{11}.$ Since each triangle $AD_iE_k$ is congruent to $\triangle ABC,$ we have $AD_i = AE_k = s,$ so $D_1$ and $D_2$ are the two intersections of the circle of radius $s$ about $A$ with the circle of radius $r$ about $B;$ they are mirror images across line $AB,$ so $\angle BAD_1 = \angle BAD_2 = \theta$ with $D_1$ and $D_2$ on opposite sides of $AB.$ Each $E_k$ is the image of its $D_i$ rotated $\pm 60^\circ$ about $A.$ Measuring signed angles from ray $AB,$ with $C$ at $+60^\circ,$ the rays $AD_i$ sit at $\pm\theta$ and the rays $AE_k$ at $\pm\theta \pm 60^\circ,$ so the four angles $\angle CAE_k$ are $\theta,$ $\theta,$ $120^\circ - \theta,$ and $120^\circ + \theta.$

Since $AC = AE_k = s,$ the law of cosines gives $(CE_k)^2 = 2s^2(1 - \cos\angle CAE_k).$ Using $\cos(120^\circ - \theta)$ $+ \cos(120^\circ + \theta)$ $= 2\cos 120^\circ \cos\theta$ $= -\cos\theta,$ the four angles' cosines sum to $2\cos\theta - \cos\theta = \cos\theta,$ so $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2 = 2s^2(4 - \cos\theta).$

Applying the law of cosines in triangle $ABD_1$ (with $AB = AD_1 = s$ ) gives $r^2 = 2s^2(1 - \cos\theta),$ so $2s^2\cos\theta = 2s^2 - r^2.$ Therefore the sum equals $8s^2 - (2s^2 - r^2)$ $= 6s^2 + r^2$ $= 6 \cdot 111 + 11 = 677.$

14.

En un grupo de nueve personas, cada persona estrecha la mano exactamente a dos de las otras personas del grupo. Sea $N$ el número de formas en que puede ocurrir este apretón de manos. Se consideran dos disposiciones de apretones diferentes si y solo si al menos dos personas que se dan la mano en una disposición no se dan la mano en la otra. Halle el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

In a group of nine people each person shakes hands with exactly two of the other people from the group. Let $N$ be the number of ways this handshaking can occur. Consider two handshaking arrangements different if and only if at least two people who shake hands under one arrangement do not shake hands under the other arrangement. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:teoría de grafos arreglos circulares análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Una disposición en la que todos dan exactamente dos apretones es una unión disjunta de ciclos de longitud al menos $3$ que cubre a las nueve personas. Las particiones posibles de las longitudes de ciclo de $9$ son $3+3+3,$ $3+6,$ $4+5,$ y $9.$ Sobre $k$ personas dadas, el número de ciclos distintos es $\frac{(k-1)!}{2}.$

Para $3+3+3:$ dividir en tres tríos no ordenados de $\frac{1}{3!}\binom{9}{3}\binom{6}{3} = 280$ maneras, un ciclo cada uno: $280.$ Para $3+6:$ $\binom{9}{3} \cdot 1 \cdot \frac{5!}{2} = 84 \cdot 60 = 5040.$ Para $4+5:$ $\binom{9}{4} \cdot \frac{3!}{2} \cdot \frac{4!}{2}$ $= 126 \cdot 3 \cdot 12 = 4536.$ Para un único $9$ -ciclo: $\frac{8!}{2} = 20160.$

En total $N = 280 + 5040$ $+ 4536 + 20160 = 30016,$ así que el residuo módulo $1000$ es $16.$

An arrangement in which everyone shakes exactly two hands is a disjoint union of cycles of length at least $3$ covering all nine people. The possible cycle-length partitions of $9$ are $3+3+3,$ $3+6,$ $4+5,$ and $9.$ On $k$ given people, the number of distinct cycles is $\frac{(k-1)!}{2}.$

For $3+3+3:$ split into three unordered triples in $\frac{1}{3!}\binom{9}{3}\binom{6}{3} = 280$ ways, one cycle each: $280.$ For $3+6:$ $\binom{9}{3} \cdot 1 \cdot \frac{5!}{2} = 84 \cdot 60 = 5040.$ For $4+5:$ $\binom{9}{4} \cdot \frac{3!}{2} \cdot \frac{4!}{2}$ $= 126 \cdot 3 \cdot 12 = 4536.$ For a single $9$ -cycle: $\frac{8!}{2} = 20160.$

In total $N = 280 + 5040$ $+ 4536 + 20160 = 30016,$ so the remainder modulo $1000$ is $16.$

15.

El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\omega$ con $AB = 5,$ $BC = 7,$ y $AC = 3.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta al lado $\overline{BC}$ en $D$ y a la circunferencia $\omega$ en un segundo punto $E.$ Sea $\gamma$ la circunferencia de diámetro $\overline{DE}.$ Las circunferencias $\omega$ y $\gamma$ se cortan en $E$ y en un segundo punto $F.$ Entonces $AF^2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Triangle $ABC$ is inscribed in circle $\omega$ with $AB = 5,$ $BC = 7,$ and $AC = 3.$ The bisector of angle $A$ meets side $\overline{BC}$ at $D$ and circle $\omega$ at a second point $E.$ Let $\gamma$ be the circle with diameter $\overline{DE}.$ Circles $\omega$ and $\gamma$ meet at $E$ and a second point $F.$ Then $AF^2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:círculo ángulo inscrito bisectriz geometría analítica

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Sea $E'$ el punto de $\omega$ diametralmente opuesto a $E.$ Como $\overline{DE}$ es un diámetro de $\gamma,$ el ángulo $\angle DFE = 90^\circ,$ y como $\overline{EE'}$ es un diámetro de $\omega,$ también $\angle E'FE = 90^\circ.$ Tanto $FD$ como $FE'$ son perpendiculares a $FE,$ así que $D$ está en la recta $E'F:$ el punto $F$ es la segunda intersección de la recta $E'D$ con $\omega.$

Tomamos $B = (0, 0)$ y $C = (7, 0);$ entonces $A = \left(\frac{65}{14}, \frac{15\sqrt{3}}{14}\right).$ La bisectriz da $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{3},$ así que $D = \left(\frac{35}{8}, 0\right).$ Como $E$ es el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A,$ tanto $E$ como $E'$ están en la recta vertical $x = \frac{7}{2}$ que pasa por el centro $O = \left(\frac{7}{2}, -\frac{7\sqrt{3}}{6}\right),$ el cual satisface $|OB| = |OA|$ con $R^2 = \frac{49}{3}.$ Así $E = \left(\frac{7}{2}, -\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)$ y $E' = \left(\frac{7}{2}, \frac{7\sqrt{3}}{6}\right).$

La dirección de $E'$ a $D$ es proporcional a $(3, -4\sqrt{3}),$ y el punto $E' + t\,(3, -4\sqrt{3})$ está en $\omega$ cuando $57t^2 - 56t = 0,$ así que $t = \frac{56}{57}$ da $F = \left(\frac{245}{38}, -\frac{105\sqrt{3}}{38}\right).$ Entonces $\begin{aligned} AF^2 &= \left(\frac{240}{133}\right)^2 + 3\left(\frac{510}{133}\right)^2 \\ &= \frac{837900}{17689} = \frac{900}{19}, \end{aligned}$ así que $m + n = 900 + 19 = 919.$

Let $E'$ be the point of $\omega$ diametrically opposite $E.$ Since $\overline{DE}$ is a diameter of $\gamma,$ the angle $\angle DFE = 90^\circ,$ and since $\overline{EE'}$ is a diameter of $\omega,$ also $\angle E'FE = 90^\circ.$ Both $FD$ and $FE'$ are perpendicular to $FE,$ so $D$ lies on line $E'F:$ the point $F$ is the second intersection of line $E'D$ with $\omega.$

Set $B = (0, 0)$ and $C = (7, 0);$ then $A = \left(\frac{65}{14}, \frac{15\sqrt{3}}{14}\right).$ The bisector gives $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{3},$ so $D = \left(\frac{35}{8}, 0\right).$ Since $E$ is the midpoint of arc $BC$ not containing $A,$ both $E$ and $E'$ lie on the vertical line $x = \frac{7}{2}$ through the center $O = \left(\frac{7}{2}, -\frac{7\sqrt{3}}{6}\right),$ which satisfies $|OB| = |OA|$ with $R^2 = \frac{49}{3}.$ Thus $E = \left(\frac{7}{2}, -\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)$ and $E' = \left(\frac{7}{2}, \frac{7\sqrt{3}}{6}\right).$

The direction from $E'$ to $D$ is proportional to $(3, -4\sqrt{3}),$ and the point $E' + t\,(3, -4\sqrt{3})$ lies on $\omega$ when $57t^2 - 56t = 0,$ so $t = \frac{56}{57}$ gives $F = \left(\frac{245}{38}, -\frac{105\sqrt{3}}{38}\right).$ Then $\begin{aligned} AF^2 &= \left(\frac{240}{133}\right)^2 + 3\left(\frac{510}{133}\right)^2 \\ &= \frac{837900}{17689} = \frac{900}{19}, \end{aligned}$ so $m + n = 900 + 19 = 919.$