Question

Sea $N$ el mayor entero positivo con la siguiente propiedad: leyendo de izquierda a derecha, cada par de dígitos consecutivos de $N$ forma un cuadrado perfecto. ¿Cuáles son los tres dígitos de más a la izquierda de $N$ ?

Let $N$ be the largest positive integer with the following property: reading from left to right, each pair of consecutive digits of $N$ forms a perfect square. What are the leftmost three digits of $N?$

Respuesta

Solución:

Cada par de dígitos consecutivos debe ser uno de los cuadrados de dos dígitos $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ $64,$ $81.$ Por tanto, si existe, cada dígito determina de forma única a su sucesor: $1 \to 6,$ $2 \to 5,$ $3 \to 6,$ $4 \to 9,$ $6 \to 4,$ $8 \to 1,$ mientras que $5$ y $9$ terminan el número.

Siguiendo estas cadenas desde cada posible dígito inicial, las cadenas más largas son $25,$ $3649,$ y $81649.$ La cadena de cinco dígitos $8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9$ supera a todas las demás, así que $N = 81649,$ cuyos tres dígitos de más a la izquierda son $816.$

Each pair of consecutive digits must be one of the two-digit squares $16,$ $25,$ $36,$ $49,$ $64,$ $81.$ So each digit determines its successor uniquely if one exists: $1 \to 6,$ $2 \to 5,$ $3 \to 6,$ $4 \to 9,$ $6 \to 4,$ $8 \to 1,$ while $5$ and $9$ end the number.

Following these chains from each possible starting digit, the longest strings are $25,$ $3649,$ and $81649.$ The five-digit chain $8 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9$ beats everything else, so $N = 81649,$ whose leftmost three digits are $816.$

2001 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años