Question

Entre los $900$ residentes de Aimeville, hay $195$ que poseen un anillo de diamantes, $367$ que poseen un juego de palos de golf y $562$ que poseen una pala de jardín. Además, cada uno de los $900$ residentes posee una bolsa de caramelos de corazón. Hay $437$ residentes que poseen exactamente dos de estas cosas, y $234$ residentes que poseen exactamente tres de estas cosas. Halla el número de residentes de Aimeville que poseen las cuatro cosas.

Among the $900$ residents of Aimeville, there are $195$ who own a diamond ring, $367$ who own a set of golf clubs, and $562$ who own a garden spade. In addition, each of the $900$ residents owns a bag of candy hearts. There are $437$ residents who own exactly two of these things, and $234$ residents who own exactly three of these things. Find the number of residents of Aimeville who own all four of these things.

Respuesta

Solución:

Al sumar los cuatro recuentos de posesión se obtienen $195 + 367 + 562 + 900 = 2024$ posesiones de objetos entre los $900$ residentes. Como todos poseen una bolsa de caramelos de corazón, cada residente posee al menos un objeto, y un residente que posee exactamente $k$ objetos se cuenta $k - 1$ veces además de la primera.

Si $n_4$ residentes poseen las cuatro cosas, los recuentos adicionales suman $\begin{aligned} 2024 - 900 &= 437 \cdot 1 + 234 \cdot 2 \\ &\quad {}+ n_4 \cdot 3, \end{aligned}$ así que $1124 = 905 + 3 n_4,$ lo que da $n_4 = \frac{219}{3} = 73.$

Adding the four ownership counts gives $195 + 367 + 562 + 900 = 2024$ item ownerships among the $900$ residents. Since everyone owns a bag of candy hearts, every resident owns at least one item, and a resident owning exactly $k$ items is counted $k - 1$ times beyond the first.

If $n_4$ residents own all four things, the extra counts total $\begin{aligned} 2024 - 900 &= 437 \cdot 1 + 234 \cdot 2 \\ &\quad {}+ n_4 \cdot 3, \end{aligned}$ so $1124 = 905 + 3 n_4,$ giving $n_4 = \frac{219}{3} = 73.$

2024 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años