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2011 AIME II Problema 1

Intenta el Problema 1 del 2011 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Gary compró una bebida grande, pero solo bebió mn\frac{m}{n} de esta bebida, donde mm y nn son enteros positivos coprimos. Si Gary hubiera comprado solo la mitad y bebido el doble, habría desperdiciado solo 29\frac{2}{9} de la cantidad que desperdició originalmente. Halla m+n.m + n.
Gary purchased a large beverage, but drank only mn\frac{m}{n} of this beverage, where mm and nn are relatively prime positive integers. If Gary had purchased only half as much and drunk twice as much, he would have wasted only 29\frac{2}{9} as much beverage. Find m+n.m + n.
Respuesta: 37
Conceptos:ecuación linealrazón y proporción
Nivel de dificultad: 1710
Pista pequeña:
Sea xx la cantidad comprada y yy la cantidad bebida; la cantidad desperdiciada es x−yx - y.
Let xx be the amount purchased and yy the amount drunk; the wasted amount is x−yx - y
Pista grande:
El segundo escenario desperdicia x2−2y,\frac{x}{2} - 2y, así que plantea x2−2y=29(x−y)\frac{x}{2} - 2y = \frac{2}{9}(x - y) y despeja yx\frac{y}{x}.
The second scenario wastes x2−2y,\frac{x}{2} - 2y, so set x2−2y=29(x−y)\frac{x}{2} - 2y = \frac{2}{9}(x - y) and solve for yx\frac{y}{x}
Solución:
Digamos que Gary compró una cantidad xx y bebió una cantidad y,y, desperdiciando x−y.x - y. En el segundo escenario habría comprado x2\frac{x}{2} y bebido 2y,2y, desperdiciando x2−2y.\frac{x}{2} - 2y. La condición es x2−2y=29(x−y).\frac{x}{2} - 2y = \frac{2}{9}(x - y).
Multiplicando por 1818 se obtiene 9x−36y=4x−4y,9x - 36y = 4x - 4y, así que 5x=32y5x = 32y y yx=532.\frac{y}{x} = \frac{5}{32}. Como gcd⁡(5,32)=1,\gcd(5, 32) = 1, la respuesta es 5+32=37.5 + 32 = 37.
Say Gary purchased an amount xx and drank an amount y,y, wasting x−y.x - y. In the second scenario he would have purchased x2\frac{x}{2} and drunk 2y,2y, wasting x2−2y.\frac{x}{2} - 2y. The condition is x2−2y=29(x−y).\frac{x}{2} - 2y = \frac{2}{9}(x - y).
Multiplying by 1818 gives 9x−36y=4x−4y,9x - 36y = 4x - 4y, so 5x=32y5x = 32y and yx=532.\frac{y}{x} = \frac{5}{32}. Since gcd⁡(5,32)=1,\gcd(5, 32) = 1, the answer is 5+32=37.5 + 32 = 37.
Examen completo
Problema 2#2

El Problema 1 en otros años

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