Question

Seis puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ y $F$ están sobre una recta en ese orden. Supongamos que $G$ es un punto que no está sobre la recta y que $AC = 26,$ $BD = 22,$ $CE = 31,$ $DF = 33,$ $AF = 73,$ $CG = 40,$ y $DG = 30.$ Halla el área de $\triangle BGE.$

Six points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ lie in a straight line in that order. Suppose that $G$ is a point not on the line and that $AC = 26,$ $BD = 22,$ $CE = 31,$ $DF = 33,$ $AF = 73,$ $CG = 40,$ and $DG = 30.$ Find the area of $\triangle BGE.$

Respuesta

Solución:

Coloca la recta sobre una recta numérica con $A = 0.$ Entonces $C = 26,$ $E = 26 + 31 = 57,$ $F = 73,$ $D = 73 - 33 = 40,$ y $B = 40 - 22 = 18.$

Escribe $G = (x, y).$ De $CG = 40$ y $DG = 30,$ $(x - 26)^2 + y^2 = 1600,$ $(x - 40)^2 + y^2 = 900.$ Restando se obtiene $14(2x - 66) = 700,$ así que $x = 58,$ y entonces $y^2 = 1600 - 32^2 = 576,$ por lo que $G$ está a una altura de $24$ sobre la recta.

Como $B$ y $E$ están ambos sobre la recta, $BE = 57 - 18 = 39$ es una base con altura $24,$ así que el área es $\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468.$

Place the line on a number line with $A = 0.$ Then $C = 26,$ $E = 26 + 31 = 57,$ $F = 73,$ $D = 73 - 33 = 40,$ and $B = 40 - 22 = 18.$

Write $G = (x, y).$ From $CG = 40$ and $DG = 30,$ $(x - 26)^2 + y^2 = 1600,$ $(x - 40)^2 + y^2 = 900.$ Subtracting gives $14(2x - 66) = 700,$ so $x = 58,$ and then $y^2 = 1600 - 32^2 = 576,$ so $G$ is at height $24$ above the line.

Since $B$ and $E$ both lie on the line, $BE = 57 - 18 = 39$ is a base with height $24,$ so the area is $\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468.$

2025 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años