Soluciones del 2025 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Seis puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ y $F$ están sobre una recta en ese orden. Supongamos que $G$ es un punto que no está sobre la recta y que $AC = 26,$ $BD = 22,$ $CE = 31,$ $DF = 33,$ $AF = 73,$ $CG = 40,$ y $DG = 30.$ Halla el área de $\triangle BGE.$

Six points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ lie in a straight line in that order. Suppose that $G$ is a point not on the line and that $AC = 26,$ $BD = 22,$ $CE = 31,$ $DF = 33,$ $AF = 73,$ $CG = 40,$ and $DG = 30.$ Find the area of $\triangle BGE.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia área del triángulo

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

Coloca la recta sobre una recta numérica con $A = 0.$ Entonces $C = 26,$ $E = 26 + 31 = 57,$ $F = 73,$ $D = 73 - 33 = 40,$ y $B = 40 - 22 = 18.$

Escribe $G = (x, y).$ De $CG = 40$ y $DG = 30,$ $(x - 26)^2 + y^2 = 1600,$ $(x - 40)^2 + y^2 = 900.$ Restando se obtiene $14(2x - 66) = 700,$ así que $x = 58,$ y entonces $y^2 = 1600 - 32^2 = 576,$ por lo que $G$ está a una altura de $24$ sobre la recta.

Como $B$ y $E$ están ambos sobre la recta, $BE = 57 - 18 = 39$ es una base con altura $24,$ así que el área es $\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468.$

Place the line on a number line with $A = 0.$ Then $C = 26,$ $E = 26 + 31 = 57,$ $F = 73,$ $D = 73 - 33 = 40,$ and $B = 40 - 22 = 18.$

Write $G = (x, y).$ From $CG = 40$ and $DG = 30,$ $(x - 26)^2 + y^2 = 1600,$ $(x - 40)^2 + y^2 = 900.$ Subtracting gives $14(2x - 66) = 700,$ so $x = 58,$ and then $y^2 = 1600 - 32^2 = 576,$ so $G$ is at height $24$ above the line.

Since $B$ and $E$ both lie on the line, $BE = 57 - 18 = 39$ is a base with height $24,$ so the area is $\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468.$

2.

Halla la suma de todos los enteros positivos $n$ tales que $n + 2$ divide al producto $3(n + 3)(n^2 + 9).$

Find the sum of all positive integers $n$ such that $n + 2$ divides the product $3(n + 3)(n^2 + 9).$

Respuesta

Conceptos:aritmética modular divisibilidad factor

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Trabaja módulo $n + 2,$ donde $n \equiv -2.$ Entonces $\begin{gathered} 3(n + 3)(n^2 + 9) \\ \equiv 3 \cdot 1 \cdot (4 + 9) \\ = 39 \pmod{n + 2}, \end{gathered}$ así que $n + 2$ divide a $3(n+3)(n^2+9)$ exactamente cuando $n + 2$ divide a $39.$

Los divisores de $39$ que son al menos $3$ son $3,$ $13,$ y $39,$ lo que da $n = 1,$ $11,$ y $37.$ La suma es $1 + 11 + 37 = 49.$

Work modulo $n + 2,$ where $n \equiv -2.$ Then $\begin{gathered} 3(n + 3)(n^2 + 9) \\ \equiv 3 \cdot 1 \cdot (4 + 9) \\ = 39 \pmod{n + 2}, \end{gathered}$ so $n + 2$ divides $3(n+3)(n^2+9)$ exactly when $n + 2$ divides $39.$

The divisors of $39$ that are at least $3$ are $3,$ $13,$ and $39,$ giving $n = 1,$ $11,$ and $37.$ The sum is $1 + 11 + 37 = 49.$

3.

Cuatro cuadrados unitarios forman una cuadrícula de $2 \times 2$ . Cada uno de los $12$ segmentos unitarios que forman los lados de los cuadrados se colorea de rojo o azul de modo que cada cuadrado unitario tenga $2$ lados rojos y $2$ lados azules. Abajo se muestra un ejemplo (rojo es sólido, azul es punteado). Halla el número de tales coloraciones.

Four unit squares form a $2 \times 2$ grid. Each of the $12$ unit line segments forming the sides of the squares is colored either red or blue in such a way that each unit square has $2$ red sides and $2$ blue sides. One example is shown below (red is solid, blue is dashed). Find the number of such colorings.

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2440

Solución:

Los $12$ segmentos se dividen en los $4$ segmentos interiores que forman la cruz central y $8$ segmentos de frontera, y cada cuadrado unitario tiene exactamente dos lados interiores (sus dos brazos de la cruz) y dos lados de frontera. Colorea primero la cruz. Un cuadrado que ya tiene $j$ lados interiores rojos necesita $2 - j$ lados de frontera rojos, que se pueden elegir de $\binom{2}{2-j}$ maneras: $1$ manera si $j = 0$ o $j = 2,$ y $2$ maneras si $j = 1.$

Agrupa las $2^4 = 16$ coloraciones de la cruz según el conjunto de brazos rojos. Si los cuatro brazos tienen el mismo color ( $2$ coloraciones), cada cuadrado tiene $j = 0$ o $j = 2,$ aportando $1$ cada uno: total $2.$ Si exactamente un brazo es rojo o exactamente uno es azul ( $8$ coloraciones), los dos cuadrados que tocan el brazo distinto tienen $j = 1$ y los otros no, aportando $2 \cdot 2 = 4$ cada uno: total $32.$ Si dos brazos adyacentes son rojos ( $4$ coloraciones), los cuadrados tienen $j = 2, 1, 1, 0,$ aportando $4$ cada uno: total $16.$ Si dos brazos opuestos son rojos ( $2$ coloraciones), los cuatro cuadrados tienen $j = 1,$ aportando $2^4 = 16$ cada uno: total $32.$

El número de coloraciones es $2 + 32 + 16 + 32 = 82.$

The $12$ segments split into the $4$ interior segments forming the central cross and $8$ boundary segments, and each unit square has exactly two interior sides (its two cross arms) and two boundary sides. Color the cross first. A square that already has $j$ red interior sides needs $2 - j$ red boundary sides, which can be chosen in $\binom{2}{2-j}$ ways: $1$ way if $j = 0$ or $j = 2,$ and $2$ ways if $j = 1.$

Group the $2^4 = 16$ cross colorings by the set of red arms. If all four arms have the same color ( $2$ colorings), every square has $j = 0$ or $j = 2,$ contributing $1$ each: total $2.$ If exactly one arm is red or exactly one is blue ( $8$ colorings), the two squares touching the odd arm have $j = 1$ and the others do not, contributing $2 \cdot 2 = 4$ each: total $32.$ If two adjacent arms are red ( $4$ colorings), the squares have $j = 2, 1, 1, 0,$ contributing $4$ each: total $16.$ If two opposite arms are red ( $2$ colorings), all four squares have $j = 1,$ contributing $2^4 = 16$ each: total $32.$

The number of colorings is $2 + 32 + 16 + 32 = 82.$

4.

El producto $\begin{gathered} \prod_{k=4}^{63} \frac{\log_k (5^{k^2 - 1})}{\log_{k+1} (5^{k^2 - 4})} \\ = \frac{\log_4 (5^{15})}{\log_5 (5^{12})} \\ \quad {}\cdot \frac{\log_5 (5^{24})}{\log_6 (5^{21})} \\ \quad {}\cdot \frac{\log_6 (5^{35})}{\log_7 (5^{32})} \\ \quad \cdots \frac{\log_{63} (5^{3968})}{\log_{64} (5^{3965})} \end{gathered}$ es igual a $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The product $\begin{gathered} \prod_{k=4}^{63} \frac{\log_k (5^{k^2 - 1})}{\log_{k+1} (5^{k^2 - 4})} \\ = \frac{\log_4 (5^{15})}{\log_5 (5^{12})} \\ \quad {}\cdot \frac{\log_5 (5^{24})}{\log_6 (5^{21})} \\ \quad {}\cdot \frac{\log_6 (5^{35})}{\log_7 (5^{32})} \\ \quad \cdots \frac{\log_{63} (5^{3968})}{\log_{64} (5^{3965})} \end{gathered}$ is equal to $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Por la fórmula de cambio de base, $\log_k (5^{k^2-1}) = \frac{(k^2 - 1)\log 5}{\log k},$ así que cada factor del producto es igual a $\begin{gathered} \frac{(k^2-1)/\log k}{(k^2-4)/\log(k+1)} \\ = \frac{(k-1)(k+1)}{(k-2)(k+2)} \\ \quad {}\cdot \frac{\log(k+1)}{\log k}. \end{gathered}$

Las tres partes se telescopan sobre $k = 4, \ldots, 63:$ $\prod_{k=4}^{63} \frac{k-1}{k-2} = \frac{62}{2} = 31,$ $\prod_{k=4}^{63} \frac{k+1}{k+2} = \frac{5}{65} = \frac{1}{13},$ $\begin{gathered} \prod_{k=4}^{63} \frac{\log(k+1)}{\log k} \\ = \frac{\log 64}{\log 4} = 3. \end{gathered}$

El producto es $31 \cdot \frac{1}{13} \cdot 3 = \frac{93}{13},$ que ya está en su forma más simple, así que $m + n = 93 + 13 = 106.$

By the change-of-base formula, $\log_k (5^{k^2-1}) = \frac{(k^2 - 1)\log 5}{\log k},$ so each factor of the product equals $\begin{gathered} \frac{(k^2-1)/\log k}{(k^2-4)/\log(k+1)} \\ = \frac{(k-1)(k+1)}{(k-2)(k+2)} \\ \quad {}\cdot \frac{\log(k+1)}{\log k}. \end{gathered}$

All three pieces telescope over $k = 4, \ldots, 63:$ $\prod_{k=4}^{63} \frac{k-1}{k-2} = \frac{62}{2} = 31,$ $\prod_{k=4}^{63} \frac{k+1}{k+2} = \frac{5}{65} = \frac{1}{13},$ $\begin{gathered} \prod_{k=4}^{63} \frac{\log(k+1)}{\log k} \\ = \frac{\log 64}{\log 4} = 3. \end{gathered}$

The product is $31 \cdot \frac{1}{13} \cdot 3 = \frac{93}{13},$ which is in lowest terms, so $m + n = 93 + 13 = 106.$

5.

Supongamos que $\triangle ABC$ tiene ángulos $\angle BAC = 84^\circ,$ $\angle ABC = 60^\circ,$ y $\angle ACB = 36^\circ.$ Sean $D,$ $E,$ y $F$ los puntos medios de los lados $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ y $\overline{AB},$ respectivamente. La circunferencia circunscrita de $\triangle DEF$ corta a $\overline{BD},$ $\overline{AE},$ y $\overline{AF}$ en los puntos $G,$ $H,$ y $J,$ respectivamente. Los puntos $G,$ $D,$ $E,$ $H,$ $J,$ y $F$ dividen la circunferencia circunscrita de $\triangle DEF$ en seis arcos menores, como se muestra. Halla $\widehat{DE} + 2 \cdot \widehat{HJ} + 3 \cdot \widehat{FG},$ donde los arcos se miden en grados.

Suppose $\triangle ABC$ has angles $\angle BAC = 84^\circ,$ $\angle ABC = 60^\circ,$ and $\angle ACB = 36^\circ.$ Let $D,$ $E,$ and $F$ be the midpoints of sides $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ and $\overline{AB},$ respectively. The circumcircle of $\triangle DEF$ intersects $\overline{BD},$ $\overline{AE},$ and $\overline{AF}$ at points $G,$ $H,$ and $J,$ respectively. The points $G,$ $D,$ $E,$ $H,$ $J,$ and $F$ divide the circumcircle of $\triangle DEF$ into six minor arcs, as shown. Find $\widehat{DE} + 2 \cdot \widehat{HJ} + 3 \cdot \widehat{FG},$ where the arcs are measured in degrees.

Respuesta

Conceptos:ángulo inscrito persecución de ángulos triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 2720

Solución:

El triángulo medial $DEF$ tiene lados paralelos a los de $ABC,$ así que $\angle FDE = 84^\circ,$ $\angle DEF = 60^\circ,$ y $\angle DFE = 36^\circ.$ Su circunferencia circunscrita es la circunferencia de los nueve puntos, cuyas segundas intersecciones con los lados de $ABC$ son los pies de las alturas: $G$ es el pie desde $A,$ $H$ el pie desde $B,$ y $J$ el pie desde $C.$ Por el teorema del ángulo inscrito, $\widehat{DE} = 2\angle DFE = 72^\circ.$

Para $\widehat{FG}:$ como $\overline{DF} \parallel \overline{CA}$ y $G$ está sobre el rayo $DB,$ el ángulo $\angle FDG$ es igual al ángulo entre las rectas $CA$ y $CB,$ que es $36^\circ,$ así que $\widehat{FG} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ.$ Para $\widehat{HJ}:$ como $\angle BJC = \angle BHC = 90^\circ,$ tanto $H$ como $J$ están sobre la circunferencia de diámetro $\overline{BC}$ centrada en $D,$ así que $DJ = DB$ y $DH = DC.$ El triángulo isósceles $BDJ$ da $\angle JDB = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ,$ y el triángulo isósceles $CDH$ da $\angle HDC = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ.$ Por lo tanto $\angle JDH = 180^\circ - 60^\circ$ $- 108^\circ = 12^\circ$ y $\widehat{HJ} = 24^\circ.$

Por lo tanto $\widehat{DE} + 2 \cdot \widehat{HJ}$ $+ 3 \cdot \widehat{FG}$ $= 72 + 48 + 216 = 336.$

The medial triangle $DEF$ has sides parallel to those of $ABC,$ so $\angle FDE = 84^\circ,$ $\angle DEF = 60^\circ,$ and $\angle DFE = 36^\circ.$ Its circumcircle is the nine-point circle, whose second intersections with the sides of $ABC$ are the feet of the altitudes: $G$ is the foot from $A,$ $H$ the foot from $B,$ and $J$ the foot from $C.$ By the inscribed angle theorem, $\widehat{DE} = 2\angle DFE = 72^\circ.$

For $\widehat{FG}:$ since $\overline{DF} \parallel \overline{CA}$ and $G$ lies on ray $DB,$ the angle $\angle FDG$ equals the angle between lines $CA$ and $CB,$ which is $36^\circ,$ so $\widehat{FG} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ.$ For $\widehat{HJ}:$ because $\angle BJC = \angle BHC = 90^\circ,$ both $H$ and $J$ lie on the circle with diameter $\overline{BC}$ centered at $D,$ so $DJ = DB$ and $DH = DC.$ Isosceles triangle $BDJ$ gives $\angle JDB = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ,$ and isosceles triangle $CDH$ gives $\angle HDC = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ.$ Hence $\angle JDH = 180^\circ - 60^\circ$ $- 108^\circ = 12^\circ$ and $\widehat{HJ} = 24^\circ.$

Therefore $\widehat{DE} + 2 \cdot \widehat{HJ}$ $+ 3 \cdot \widehat{FG}$ $= 72 + 48 + 216 = 336.$

6.

La circunferencia $\omega_1$ de radio $6$ centrada en el punto $A$ es tangente internamente en el punto $B$ a la circunferencia $\omega_2$ de radio $15.$ Los puntos $C$ y $D$ están sobre $\omega_2$ de modo que $\overline{BC}$ es un diámetro de $\omega_2$ y $\overline{BC} \perp \overline{AD}.$ El rectángulo $EFGH$ está inscrito en $\omega_1$ de modo que $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ $C$ está más cerca de $\overline{GH}$ que de $\overline{EF},$ y $D$ está más cerca de $\overline{FG}$ que de $\overline{EH},$ como se muestra. Los triángulos $\triangle DGF$ y $\triangle CHG$ tienen áreas iguales. El área del rectángulo $EFGH$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Circle $\omega_1$ with radius $6$ centered at point $A$ is internally tangent at point $B$ to circle $\omega_2$ with radius $15.$ Points $C$ and $D$ lie on $\omega_2$ such that $\overline{BC}$ is a diameter of $\omega_2$ and $\overline{BC} \perp \overline{AD}.$ The rectangle $EFGH$ is inscribed in $\omega_1$ such that $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ $C$ is closer to $\overline{GH}$ than to $\overline{EF},$ and $D$ is closer to $\overline{FG}$ than to $\overline{EH},$ as shown. Triangles $\triangle DGF$ and $\triangle CHG$ have equal areas. The area of rectangle $EFGH$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica circunferencias tangentes rectángulo área del triángulo

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Centra $\omega_2$ en el origen con $B = (15, 0).$ La tangencia interna en $B$ sitúa $A = (9, 0),$ y $C = (-15, 0).$ Como $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ y $D$ está sobre $\omega_2,$ obtenemos $D = (9, 12)$ (tomando $D$ por encima de la recta). Como $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ el rectángulo tiene lados verticales, así que sus vértices son $(9 \pm a, \pm b)$ con $a^2 + b^2 = 36.$ Las condiciones sobre $C$ y $D$ hacen que $\overline{GH}$ sea el lado izquierdo y $\overline{FG}$ el lado superior: $F = (9 + a, b),$ $G = (9 - a, b),$ $H = (9 - a, -b),$ $E = (9 + a, -b).$

El triángulo $DGF$ tiene base $GF = 2a$ y altura $12 - b,$ así que su área es $a(12 - b).$ El triángulo $CHG$ tiene base $GH = 2b$ y altura $(9 - a) - (-15) = 24 - a,$ así que su área es $b(24 - a).$ Igualándolas, $12a - ab = 24b - ab,$ por lo que $a = 2b,$ y entonces $a^2 + b^2 = 5b^2 = 36.$

El área del rectángulo es $2a \cdot 2b = 8b^2 = \frac{288}{5},$ así que $m + n = 288 + 5 = 293.$

Center $\omega_2$ at the origin with $B = (15, 0).$ Internal tangency at $B$ puts $A = (9, 0),$ and $C = (-15, 0).$ Since $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ and $D$ is on $\omega_2,$ we get $D = (9, 12)$ (taking $D$ above the line). Because $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ the rectangle has vertical sides, so its vertices are $(9 \pm a, \pm b)$ with $a^2 + b^2 = 36.$ The conditions on $C$ and $D$ make $\overline{GH}$ the left side and $\overline{FG}$ the top side: $F = (9 + a, b),$ $G = (9 - a, b),$ $H = (9 - a, -b),$ $E = (9 + a, -b).$

Triangle $DGF$ has base $GF = 2a$ and height $12 - b,$ so its area is $a(12 - b).$ Triangle $CHG$ has base $GH = 2b$ and height $(9 - a) - (-15) = 24 - a,$ so its area is $b(24 - a).$ Setting these equal, $12a - ab = 24b - ab,$ so $a = 2b,$ and then $a^2 + b^2 = 5b^2 = 36.$

The area of the rectangle is $2a \cdot 2b = 8b^2 = \frac{288}{5},$ so $m + n = 288 + 5 = 293.$

7.

Sea $A$ el conjunto de divisores enteros positivos de $2025.$ Sea $B$ un subconjunto de $A$ seleccionado al azar. La probabilidad de que $B$ sea un conjunto no vacío con la propiedad de que el mínimo común múltiplo de sus elementos sea $2025$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $A$ be the set of positive integer divisors of $2025.$ Let $B$ be a randomly selected subset of $A.$ The probability that $B$ is a nonempty set with the property that the least common multiple of its elements is $2025$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:mínimo común múltiplo inclusión-exclusión subconjuntos

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Como $2025 = 3^4 \cdot 5^2,$ el conjunto $A$ tiene $5 \cdot 3 = 15$ elementos, y hay $2^{15}$ subconjuntos. Un subconjunto tiene mínimo común múltiplo $2025$ exactamente cuando contiene al menos un divisor divisible por $3^4 = 81$ y al menos uno divisible por $5^2 = 25$ (tal subconjunto es automáticamente no vacío). Hay $12$ divisores no divisibles por $81,$ $10$ no divisibles por $25,$ y $8$ divisibles por ninguno.

Por inclusión-exclusión, el número de subconjuntos buenos es $\begin{gathered} 2^{15} - 2^{12} - 2^{10} + 2^8 \\ = 32768 - 4096 - 1024 + 256 \\ = 27904. \end{gathered}$ Como $27904 = 2^8 \cdot 109,$ la probabilidad es $\frac{27904}{32768} = \frac{109}{128},$ y $m + n = 109 + 128 = 237.$

Since $2025 = 3^4 \cdot 5^2,$ the set $A$ has $5 \cdot 3 = 15$ elements, and there are $2^{15}$ subsets. A subset has least common multiple $2025$ exactly when it contains at least one divisor divisible by $3^4 = 81$ and at least one divisible by $5^2 = 25$ (such a subset is automatically nonempty). There are $12$ divisors not divisible by $81,$ $10$ not divisible by $25,$ and $8$ divisible by neither.

By inclusion-exclusion, the number of good subsets is $\begin{gathered} 2^{15} - 2^{12} - 2^{10} + 2^8 \\ = 32768 - 4096 - 1024 + 256 \\ = 27904. \end{gathered}$ Since $27904 = 2^8 \cdot 109,$ the probability is $\frac{27904}{32768} = \frac{109}{128},$ and $m + n = 109 + 128 = 237.$

8.

Con un suministro ilimitado de monedas de $1$ centavo, monedas de $10$ centavos y monedas de $25$ centavos, Silas quiere encontrar una colección de monedas que tenga un valor total de $N$ centavos, donde $N$ es un entero positivo. Usa el llamado algoritmo voraz, eligiendo sucesivamente la moneda de mayor valor que no haga que el valor de su colección supere $N.$ Por ejemplo, para obtener $42$ centavos, Silas elegirá una moneda de $25$ centavos, luego una de $10$ centavos, y luego $7$ monedas de $1$ centavo. Sin embargo, esta colección de $9$ monedas usa más monedas de las necesarias para obtener un total de $42$ centavos; en efecto, elegir $4$ monedas de $10$ centavos y $2$ monedas de $1$ centavo logra el mismo valor total con solo $6$ monedas.

En general, el algoritmo voraz tiene éxito para un $N$ dado si ninguna otra colección de monedas de $1$ centavo, $10$ centavos y $25$ centavos da un valor total de $N$ centavos usando estrictamente menos monedas que la colección dada por el algoritmo voraz. Halla la cantidad de valores de $N$ entre $1$ y $1000$ inclusive para los cuales el algoritmo voraz tiene éxito.

From an unlimited supply of $1$ -cent coins, $10$ -cent coins, and $25$ -cent coins, Silas wants to find a collection of coins that has a total value of $N$ cents, where $N$ is a positive integer. He uses the so-called greedy algorithm, successively choosing the coin of greatest value that does not cause the value of his collection to exceed $N.$ For example, to get $42$ cents, Silas will choose a $25$ -cent coin, then a $10$ -cent coin, then $7$ $1$ -cent coins. However, this collection of $9$ coins uses more coins than necessary to get a total of $42$ cents; indeed, choosing $4$ $10$ -cent coins and $2$ $1$ -cent coins achieves the same total value with only $6$ coins.

In general, the greedy algorithm succeeds for a given $N$ if no other collection of $1$ -cent, $10$ -cent, and $25$ -cent coins gives a total value of $N$ cents using strictly fewer coins than the collection given by the greedy algorithm. Find the number of values of $N$ between $1$ and $1000$ inclusive for which the greedy algorithm succeeds.

Respuesta

Conceptos:optimización dinero aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

En cualquier colección óptima hay a lo sumo $9$ monedas de un centavo (diez de un centavo podrían convertirse en una de diez) y a lo sumo $4$ monedas de diez centavos (cinco de diez podrían convertirse en dos de veinticinco), así que sus monedas de diez y de un centavo valen a lo sumo $49$ centavos. Por lo tanto una colección óptima usa $q = \lfloor N/25 \rfloor$ monedas de veinticinco, como el algoritmo voraz, o $q - 1$ monedas de veinticinco. Para una cantidad $v$ formada solo por monedas de diez y de un centavo, el mejor conteo es $f(v) = \lfloor v/10 \rfloor + (v \bmod 10),$ que es lo que hace el algoritmo voraz con el residuo.

Sea $r = N \bmod 25.$ El algoritmo voraz usa $q + f(r)$ monedas, y el único rival usa $(q - 1) + f(r + 25)$ monedas (posible cuando $q \ge 1$ ), así que el algoritmo voraz falla exactamente cuando $f(r + 25) \le f(r).$ Tabulando: para $r = 0, \ldots, 4,$ $f(r+25) = r + 7 \gt f(r) = r;$ para $r = 5, \ldots, 9,$ $f(r+25) = r - 2 \le r;$ para $r = 10, \ldots, 14,$ $f(r+25) = r - 2 \gt r - 9;$ para $r = 15, \ldots, 19,$ $f(r+25) = r - 11 \le r - 9;$ para $r = 20, \ldots, 24,$ $f(r+25) = r - 11 \gt r - 18.$ Así que el algoritmo voraz falla exactamente cuando $N \ge 25$ y $r \in \{5, \ldots, 9\} \cup \{15, \ldots, 19\}.$

Cada clase de residuos módulo $25$ contiene $40$ valores de $N$ en $1, \ldots, 1000,$ así que estos $10$ residuos dan $400$ valores, de los cuales los $10$ valores menores que $25$ no cuentan (allí $q = 0$ ). El algoritmo voraz falla para $390$ valores y tiene éxito para $1000 - 390 = 610.$

In any optimal collection there are at most $9$ pennies (ten pennies could become a dime) and at most $4$ dimes (five dimes could become two quarters), so its dimes and pennies are worth at most $49$ cents. Hence an optimal collection uses either $q = \lfloor N/25 \rfloor$ quarters, like greedy, or $q - 1$ quarters. For an amount $v$ made only of dimes and pennies, the best count is $f(v) = \lfloor v/10 \rfloor + (v \bmod 10),$ which is what greedy does on the remainder.

Let $r = N \bmod 25.$ Greedy uses $q + f(r)$ coins, and the only rival uses $(q - 1) + f(r + 25)$ coins (possible when $q \ge 1$ ), so greedy fails exactly when $f(r + 25) \le f(r).$ Tabulating: for $r = 0, \ldots, 4,$ $f(r+25) = r + 7 \gt f(r) = r;$ for $r = 5, \ldots, 9,$ $f(r+25) = r - 2 \le r;$ for $r = 10, \ldots, 14,$ $f(r+25) = r - 2 \gt r - 9;$ for $r = 15, \ldots, 19,$ $f(r+25) = r - 11 \le r - 9;$ for $r = 20, \ldots, 24,$ $f(r+25) = r - 11 \gt r - 18.$ So greedy fails exactly when $N \ge 25$ and $r \in \{5, \ldots, 9\} \cup \{15, \ldots, 19\}.$

Each residue class mod $25$ contains $40$ values of $N$ in $1, \ldots, 1000,$ so these $10$ residues give $400$ values, of which the $10$ values less than $25$ do not count (there $q = 0$ ). Greedy fails for $390$ values and succeeds for $1000 - 390 = 610.$

9.

Hay $n$ valores de $x$ en el intervalo $0 \lt x \lt 2\pi$ donde $f(x) = \sin(7\pi \cdot \sin(5x)) = 0.$ Para $t$ de estos $n$ valores de $x,$ la gráfica de $y = f(x)$ es tangente al eje $x$ . Halla $n + t.$

There are $n$ values of $x$ in the interval $0 \lt x \lt 2\pi$ where $f(x) = \sin(7\pi \cdot \sin(5x)) = 0.$ For $t$ of these $n$ values of $x,$ the graph of $y = f(x)$ is tangent to the $x$ -axis. Find $n + t.$

Respuesta

Conceptos:trigonometría cálculo enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

$f(x) = 0$ exactamente cuando $7\pi \sin(5x)$ es un múltiplo de $\pi,$ es decir, $\sin(5x) = \frac{k}{7}$ para un entero $k$ con $|k| \le 7.$ Cuando $x$ recorre $(0, 2\pi),$ la cantidad $5x$ recorre $(0, 10\pi),$ cinco periodos completos. Para $k = 0,$ las soluciones son $5x = \pi, 2\pi, \ldots, 9\pi:$ $9$ valores. Para cada uno de los $12$ valores $k = \pm 1, \ldots, \pm 6,$ cada periodo aporta $2$ soluciones: $10$ valores cada uno. Para $k = \pm 7,$ necesitamos $\sin(5x) = \pm 1,$ lo que ocurre $5$ veces cada uno. Así que $n = 9 + 120 + 10 = 139.$

La gráfica es tangente al eje $x$ en un cero exactamente cuando $f'(x)$ $= 35\pi \cos(7\pi \sin(5x)) \cos(5x)$ $= 0$ allí. En cualquier cero, $\cos(7\pi \sin(5x)) = \cos(k\pi)$ $= \pm 1 \ne 0,$ así que la tangencia requiere $\cos(5x) = 0,$ lo que significa $\sin(5x) = \pm 1:$ exactamente los $10$ ceros con $k = \pm 7$ (allí $\sin(5x)$ tiene un extremo, así que $f$ toca sin cruzar). Por lo tanto $t = 10$ y $n + t = 149.$

$f(x) = 0$ exactly when $7\pi \sin(5x)$ is a multiple of $\pi,$ that is, $\sin(5x) = \frac{k}{7}$ for an integer $k$ with $|k| \le 7.$ As $x$ runs over $(0, 2\pi),$ the quantity $5x$ runs over $(0, 10\pi),$ five full periods. For $k = 0,$ the solutions are $5x = \pi, 2\pi, \ldots, 9\pi:$ $9$ values. For each of the $12$ values $k = \pm 1, \ldots, \pm 6,$ each period contributes $2$ solutions: $10$ values each. For $k = \pm 7,$ we need $\sin(5x) = \pm 1,$ which happens $5$ times each. So $n = 9 + 120 + 10 = 139.$

The graph is tangent to the $x$ -axis at a zero exactly when $f'(x)$ $= 35\pi \cos(7\pi \sin(5x)) \cos(5x)$ $= 0$ there. At any zero, $\cos(7\pi \sin(5x)) = \cos(k\pi)$ $= \pm 1 \ne 0,$ so tangency requires $\cos(5x) = 0,$ which means $\sin(5x) = \pm 1:$ exactly the $10$ zeros with $k = \pm 7$ (there $\sin(5x)$ has an extremum, so $f$ touches without crossing). Thus $t = 10$ and $n + t = 149.$

10.

Dieciséis sillas están colocadas en una fila. Ocho personas eligen cada una una silla para sentarse de modo que ninguna persona se siente junto a otras dos personas. Sea $N$ la cantidad de subconjuntos de $16$ sillas que podrían ser seleccionados. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Sixteen chairs are arranged in a row. Eight people each select a chair in which to sit so that no person sits next to two other people. Let $N$ be the number of subsets of $16$ chairs that could be selected. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2790

Solución:

Una persona se sienta junto a otras dos exactamente cuando tres sillas consecutivas están todas ocupadas, así que contamos los subconjuntos de $8$ elementos de las $16$ sillas sin tres sillas consecutivas elegidas. Las sillas ocupadas forman entonces bloques maximales de tamaño $1$ o $2.$ Si hay $m$ bloques, entonces $8 - m$ de ellos son pares y $2m - 8$ son individuales, así que $4 \le m \le 8,$ y las posiciones de los pares se pueden elegir de $\binom{m}{8-m}$ maneras. Las $8$ sillas vacías crean $9$ huecos (incluidos los extremos), y los $m$ bloques ocupan $m$ huecos distintos: $\binom{9}{m}$ maneras.

Por lo tanto $\begin{gathered} N = \sum_{m=4}^{8} \binom{m}{8-m}\binom{9}{m} \\ = 1 \cdot 126 + 10 \cdot 126 + 15 \cdot 84 \\ \quad {}+ 7 \cdot 36 + 1 \cdot 9 = 2907. \end{gathered}$

El residuo cuando $N = 2907$ se divide entre $1000$ es $907.$

A person sits next to two others exactly when three consecutive chairs are all occupied, so we count $8$ -element subsets of the $16$ chairs with no three consecutive chairs chosen. The occupied chairs then form maximal blocks of size $1$ or $2.$ If there are $m$ blocks, then $8 - m$ of them are pairs and $2m - 8$ are singles, so $4 \le m \le 8,$ and the pair positions can be chosen in $\binom{m}{8-m}$ ways. The $8$ empty chairs create $9$ gaps (including the ends), and the $m$ blocks occupy $m$ distinct gaps: $\binom{9}{m}$ ways.

Therefore $\begin{gathered} N = \sum_{m=4}^{8} \binom{m}{8-m}\binom{9}{m} \\ = 1 \cdot 126 + 10 \cdot 126 + 15 \cdot 84 \\ \quad {}+ 7 \cdot 36 + 1 \cdot 9 = 2907. \end{gathered}$

The remainder when $N = 2907$ is divided by $1000$ is $907.$

11.

Sea $S$ el conjunto de vértices de un $24$ -ágono regular. Halla la cantidad de maneras de dibujar $12$ segmentos de igual longitud de modo que cada vértice de $S$ sea extremo de exactamente uno de los $12$ segmentos.

Let $S$ be the set of vertices of a regular $24$ -gon. Find the number of ways to draw $12$ segments of equal lengths so that each vertex in $S$ is an endpoint of exactly one of the $12$ segments.

Respuesta

Conceptos:polígono regular teoría de grafos máximo común divisor análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Dos cuerdas de un círculo que pasa por puntos igualmente espaciados tienen igual longitud exactamente cuando saltan el mismo número de vértices, así que los $12$ segmentos unen pares de vértices que distan exactamente $k$ para un valor común $k \in \{1, \ldots, 12\}.$ Fijado $k,$ forma el grafo sobre los $24$ vértices uniendo cada $i$ con $i \pm k \pmod{24}:$ necesitamos un emparejamiento perfecto en este grafo. Para $k \lt 12$ el grafo es una unión disjunta de $\gcd(24, k)$ ciclos de longitud $24/\gcd(24, k),$ mientras que para $k = 12$ son $12$ diámetros disjuntos.

Un ciclo de longitud par tiene exactamente $2$ emparejamientos perfectos (aristas alternas), y un ciclo de longitud impar no tiene ninguno. Así que cada $k \lt 12$ con longitud de ciclo par aporta $2^{\gcd(24, k)}:$ $k = 1, 5, 7, 11$ dan $2$ cada uno; $k = 2, 10$ dan $4$ cada uno; $k = 3, 9$ dan $8$ cada uno; $k = 4$ da $16;$ $k = 6$ da $64.$ Para $k = 8$ los ciclos tienen longitud impar $3,$ dando $0.$ Para $k = 12$ el emparejamiento está forzado: $1$ manera.

El total es $4 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 8$ $+ 16 + 64 + 0 + 1$ $= 113.$

Two chords of a circle through equally spaced points have equal length exactly when they skip the same number of vertices, so all $12$ segments join pairs of vertices exactly $k$ apart for one common $k \in \{1, \ldots, 12\}.$ For fixed $k,$ form the graph on the $24$ vertices joining each $i$ to $i \pm k \pmod{24}:$ we need a perfect matching in this graph. For $k \lt 12$ the graph is a disjoint union of $\gcd(24, k)$ cycles of length $24/\gcd(24, k),$ while for $k = 12$ it is $12$ disjoint diameters.

A cycle of even length has exactly $2$ perfect matchings (alternate edges), and a cycle of odd length has none. So each $k \lt 12$ with even cycle length contributes $2^{\gcd(24, k)}:$ $k = 1, 5, 7, 11$ give $2$ each; $k = 2, 10$ give $4$ each; $k = 3, 9$ give $8$ each; $k = 4$ gives $16;$ $k = 6$ gives $64.$ For $k = 8$ the cycles have odd length $3,$ giving $0.$ For $k = 12$ the matching is forced: $1$ way.

The total is $4 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 8$ $+ 16 + 64 + 0 + 1$ $= 113.$

12.

Sea $A_1A_2 \ldots A_{11}$ un polígono simple no convexo de $11$ lados con las siguientes propiedades:

• Para todo entero $2 \le i \le 10,$ el área de $\triangle A_iA_1A_{i+1}$ es $1.$

• Para todo entero $2 \le i \le 10,$ $\cos(\angle A_iA_1A_{i+1}) = \frac{12}{13}.$

• El perímetro del $11$ -ágono $A_1A_2 \ldots A_{11}$ es igual a $20.$

Entonces $A_1A_2 + A_1A_{11}$ se puede expresar como $\frac{m\sqrt{n} - p}{q}$ donde $m,$ $n,$ $p,$ y $q$ son enteros positivos, $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y ningún primo divide a la vez a $m,$ $p,$ y $q.$ Halla $m + n + p + q.$

Let $A_1A_2 \ldots A_{11}$ be an $11$ -sided non-convex simple polygon with the following properties:

• For every integer $2 \le i \le 10,$ the area of $\triangle A_iA_1A_{i+1}$ is $1.$

• For every integer $2 \le i \le 10,$ $\cos(\angle A_iA_1A_{i+1}) = \frac{12}{13}.$

• The perimeter of the $11$ -gon $A_1A_2 \ldots A_{11}$ is equal to $20.$

Then $A_1A_2 + A_1A_{11}$ can be expressed as $\frac{m\sqrt{n} - p}{q}$ where $m,$ $n,$ $p,$ and $q$ are positive integers, $n$ is not divisible by the square of any prime, and no prime divides all of $m,$ $p,$ and $q.$ Find $m + n + p + q.$

Respuesta

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo cuadrática reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Sea $r_i = A_1A_i$ para $2 \le i \le 11,$ y sea $\theta$ el ángulo común, con $\cos\theta = \frac{12}{13}$ y $\sin\theta = \frac{5}{13}.$ Cada condición de área dice $\frac{1}{2} r_i r_{i+1} \cdot \frac{5}{13} = 1,$ así que $r_i r_{i+1} = \frac{26}{5}$ para $i = 2, \ldots, 10.$ Que los productos consecutivos sean iguales obliga a los $r_i$ a alternar entre dos valores $a = r_2 = r_4 = \cdots$ y $b = r_3 = r_5 = \cdots,$ con $ab = \frac{26}{5};$ en particular $r_{11} = b.$

Por la ley de cosenos, cada lado $A_iA_{i+1}$ con $2 \le i \le 10$ tiene la misma longitud $s,$ donde $\begin{gathered} s^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \tfrac{12}{13} \\ = (a + b)^2 - 2ab - \tfrac{48}{5} \\ = (a+b)^2 - 20. \end{gathered}$ Escribiendo $u = a + b,$ la condición del perímetro es $9\sqrt{u^2 - 20} + u = 20.$ Elevando al cuadrado $9\sqrt{u^2 - 20} = 20 - u$ se obtiene $81u^2 - 1620 = 400 - 40u + u^2,$ que se simplifica a $4u^2 + 2u - 101 = 0,$ así que $u = \frac{-1 + 9\sqrt{5}}{4}$ (la raíz positiva; entonces $20 - u \gt 0$ como se requiere).

Así $A_1A_2 + A_1A_{11} = a + b$ $= \frac{9\sqrt{5} - 1}{4},$ con $5$ libre de cuadrados y ningún primo que divida a la vez a $9,$ $1,$ $4.$ La respuesta es $9 + 5 + 1 + 4 = 19.$

Let $r_i = A_1A_i$ for $2 \le i \le 11,$ and let $\theta$ be the common angle, with $\cos\theta = \frac{12}{13}$ and $\sin\theta = \frac{5}{13}.$ Each area condition says $\frac{1}{2} r_i r_{i+1} \cdot \frac{5}{13} = 1,$ so $r_i r_{i+1} = \frac{26}{5}$ for $i = 2, \ldots, 10.$ Consecutive products being equal forces the $r_i$ to alternate between two values $a = r_2 = r_4 = \cdots$ and $b = r_3 = r_5 = \cdots,$ with $ab = \frac{26}{5};$ in particular $r_{11} = b.$

By the law of cosines, every side $A_iA_{i+1}$ with $2 \le i \le 10$ has the same length $s,$ where $\begin{gathered} s^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \tfrac{12}{13} \\ = (a + b)^2 - 2ab - \tfrac{48}{5} \\ = (a+b)^2 - 20. \end{gathered}$ Writing $u = a + b,$ the perimeter condition is $9\sqrt{u^2 - 20} + u = 20.$ Squaring $9\sqrt{u^2 - 20} = 20 - u$ gives $81u^2 - 1620 = 400 - 40u + u^2,$ which simplifies to $4u^2 + 2u - 101 = 0,$ so $u = \frac{-1 + 9\sqrt{5}}{4}$ (the positive root; then $20 - u \gt 0$ as required).

Thus $A_1A_2 + A_1A_{11} = a + b$ $= \frac{9\sqrt{5} - 1}{4},$ with $5$ squarefree and no prime dividing all of $9,$ $1,$ $4.$ The answer is $9 + 5 + 1 + 4 = 19.$

13.

Sea la sucesión de racionales $x_1, x_2, \ldots$ definida de modo que $x_1 = \frac{25}{11}$ y $x_{k+1} = \frac{1}{3}\left(x_k + \frac{1}{x_k} - 1\right)$ para todo $k \ge 1.$ Entonces $x_{2025}$ se puede expresar como $\frac{m}{n}$ para enteros positivos primos entre sí $m$ y $n.$ Halla el residuo cuando $m + n$ se divide entre $1000.$

Let the sequence of rationals $x_1, x_2, \ldots$ be defined such that $x_1 = \frac{25}{11}$ and $x_{k+1} = \frac{1}{3}\left(x_k + \frac{1}{x_k} - 1\right)$ for all $k \ge 1.$ Then $x_{2025}$ can be expressed as $\frac{m}{n}$ for relatively prime positive integers $m$ and $n.$ Find the remainder when $m + n$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:recursión sustitución Teorema chino del resto exponenciación modular

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Sea $y_k = \frac{2x_k - 1}{x_k + 1}.$ De la recurrencia, $2x_{k+1} - 1 = \frac{(2x_k - 1)(x_k - 2)}{3x_k}$ y $x_{k+1} + 1 = \frac{(x_k + 1)^2}{3x_k},$ así que $\begin{gathered} y_{k+1} = \frac{(2x_k - 1)(x_k - 2)}{(x_k + 1)^2} \\ = y_k(y_k - 1) = y_k^2 - y_k, \end{gathered}$ ya que $y_k - 1 = \frac{x_k - 2}{x_k + 1}.$ Aquí $y_1 = \frac{39/11}{36/11} = \frac{13}{12}.$ Por inducción $y_k = \frac{c_k}{12^{2^{k-1}}}$ donde $c_1 = 13$ y $c_{k+1} = c_k\bigl(c_k - 12^{2^{k-1}}\bigr);$ como $12^{2^{k-1}}$ es divisible por $6,$ cada $c_k$ permanece coprimo con $6.$

Invirtiendo la sustitución, $x_k = \frac{1 + y_k}{2 - y_k} = \frac{d + c}{2d - c}$ con $d = 12^{2^{k-1}}$ y $c = c_k.$ Todos los $x_k$ son positivos (para $x \gt 0,$ $x + \frac{1}{x} - 1 \ge 1$ ), así que $y_k = \frac{2x_k - 1}{x_k + 1} \in (-1, 2),$ haciendo que tanto $d + c$ como $2d - c$ sean positivos. Cualquier divisor común de $d + c$ y $2d - c$ divide a sus combinaciones $3d$ y $3c;$ como $\gcd(c, d) = 1,$ divide a $3,$ pero $3 \mid d$ y $3 \nmid c,$ así que $3 \nmid d + c.$ Por lo tanto la fracción está en su forma más simple y $m + n = 3d = 3 \cdot 12^{2^{2024}}.$

Módulo $8,$ $12^{2^{2024}} \equiv 0.$ Módulo $125,$ el orden multiplicativo de $12$ divide a $\lambda(125) = 100,$ y $2^{2024} \equiv 16 \pmod{100}$ (es $0$ mod $4,$ y $2^{20} \equiv 1$ mod $25$ con $2024 \equiv 4$ mod $20$ ), así que $12^{2^{2024}} \equiv 12^{16} \equiv 41 \pmod{125}.$ El teorema chino del resto da $12^{2^{2024}} \equiv 416 \pmod{1000},$ así que $m + n \equiv 3 \cdot 416$ $= 1248 \equiv 248 \pmod{1000}.$

Let $y_k = \frac{2x_k - 1}{x_k + 1}.$ From the recurrence, $2x_{k+1} - 1 = \frac{(2x_k - 1)(x_k - 2)}{3x_k}$ and $x_{k+1} + 1 = \frac{(x_k + 1)^2}{3x_k},$ so $\begin{gathered} y_{k+1} = \frac{(2x_k - 1)(x_k - 2)}{(x_k + 1)^2} \\ = y_k(y_k - 1) = y_k^2 - y_k, \end{gathered}$ since $y_k - 1 = \frac{x_k - 2}{x_k + 1}.$ Here $y_1 = \frac{39/11}{36/11} = \frac{13}{12}.$ By induction $y_k = \frac{c_k}{12^{2^{k-1}}}$ where $c_1 = 13$ and $c_{k+1} = c_k\bigl(c_k - 12^{2^{k-1}}\bigr);$ since $12^{2^{k-1}}$ is divisible by $6,$ every $c_k$ stays coprime to $6.$

Inverting the substitution, $x_k = \frac{1 + y_k}{2 - y_k} = \frac{d + c}{2d - c}$ with $d = 12^{2^{k-1}}$ and $c = c_k.$ All $x_k$ are positive (for $x \gt 0,$ $x + \frac{1}{x} - 1 \ge 1$ ), so $y_k = \frac{2x_k - 1}{x_k + 1} \in (-1, 2),$ making both $d + c$ and $2d - c$ positive. Any common divisor of $d + c$ and $2d - c$ divides their combinations $3d$ and $3c;$ as $\gcd(c, d) = 1,$ it divides $3,$ but $3 \mid d$ and $3 \nmid c,$ so $3 \nmid d + c.$ Hence the fraction is in lowest terms and $m + n = 3d = 3 \cdot 12^{2^{2024}}.$

Modulo $8,$ $12^{2^{2024}} \equiv 0.$ Modulo $125,$ the multiplicative order of $12$ divides $\lambda(125) = 100,$ and $2^{2024} \equiv 16 \pmod{100}$ (it is $0$ mod $4,$ and $2^{20} \equiv 1$ mod $25$ with $2024 \equiv 4$ mod $20$ ), so $12^{2^{2024}} \equiv 12^{16} \equiv 41 \pmod{125}.$ The Chinese remainder theorem gives $12^{2^{2024}} \equiv 416 \pmod{1000},$ so $m + n \equiv 3 \cdot 416$ $= 1248 \equiv 248 \pmod{1000}.$

14.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^\circ$ y $BC = 38.$ Existen puntos $K$ y $L$ dentro del triángulo tales que $\begin{gathered} AK = AL = BK \\ = CL = KL = 14. \end{gathered}$ El área del cuadrilátero $BKLC$ se puede expresar como $n\sqrt{3}$ para algún entero positivo $n.$ Halla $n.$

Let $\triangle ABC$ be a right triangle with $\angle A = 90^\circ$ and $BC = 38.$ There exist points $K$ and $L$ inside the triangle such that $\begin{gathered} AK = AL = BK \\ = CL = KL = 14. \end{gathered}$ The area of the quadrilateral $BKLC$ can be expressed as $n\sqrt{3}$ for some positive integer $n.$ Find $n.$

Respuesta

Conceptos:triángulo equilátero identidad trigonométrica descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Como $AK = AL = KL = 14,$ el triángulo $AKL$ es equilátero y $\angle KAL = 60^\circ.$ Sean $\alpha = \angle BAK$ y $\beta = \angle LAC,$ así que $\alpha + \beta = 30^\circ.$ Como $AK = KB,$ el punto $K$ está sobre la mediatriz de $\overline{AB},$ así que $AB = 2 \cdot 14\cos\alpha = 28\cos\alpha;$ de forma similar $AC = 28\cos\beta.$ Entonces $AB^2 + AC^2 = 38^2$ da $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = \frac{361}{196},$ es decir $\cos 2\alpha + \cos 2\beta = \frac{165}{98}.$ Por producto a suma, $2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$ $= \sqrt{3}\cos(\alpha - \beta)$ $= \frac{165}{98},$ así que $\cos(\alpha - \beta) = \frac{55\sqrt{3}}{98}.$

Descompón $[BKLC] = [ABC] - [ABK]$ $- [ACL] - [AKL].$ Primero, $\begin{gathered} [ABC] = \tfrac{1}{2} AB \cdot AC \\ = 392\cos\alpha\cos\beta \\ = 196\bigl(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\bigr) \\ = 110\sqrt{3} + 98\sqrt{3} = 208\sqrt{3}. \end{gathered}$ Luego, $K$ tiene altura $14\sin\alpha$ sobre $\overline{AB},$ así que $[ABK] = \frac{1}{2} \cdot 28\cos\alpha$ $\cdot 14\sin\alpha$ $= 98\sin 2\alpha,$ y análogamente $[ACL] = 98\sin 2\beta;$ su suma es $196\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$ $= 98 \cdot \frac{55\sqrt{3}}{98}$ $= 55\sqrt{3}.$ Finalmente $[AKL] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = 49\sqrt{3}.$

Por lo tanto $[BKLC] = 208\sqrt{3} - 55\sqrt{3}$ $- 49\sqrt{3} = 104\sqrt{3},$ así que $n = 104.$

Since $AK = AL = KL = 14,$ triangle $AKL$ is equilateral and $\angle KAL = 60^\circ.$ Let $\alpha = \angle BAK$ and $\beta = \angle LAC,$ so $\alpha + \beta = 30^\circ.$ Because $AK = KB,$ point $K$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{AB},$ so $AB = 2 \cdot 14\cos\alpha = 28\cos\alpha;$ similarly $AC = 28\cos\beta.$ Then $AB^2 + AC^2 = 38^2$ gives $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = \frac{361}{196},$ i.e. $\cos 2\alpha + \cos 2\beta = \frac{165}{98}.$ By sum-to-product, $2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$ $= \sqrt{3}\cos(\alpha - \beta)$ $= \frac{165}{98},$ so $\cos(\alpha - \beta) = \frac{55\sqrt{3}}{98}.$

Decompose $[BKLC] = [ABC] - [ABK]$ $- [ACL] - [AKL].$ First, $\begin{gathered} [ABC] = \tfrac{1}{2} AB \cdot AC \\ = 392\cos\alpha\cos\beta \\ = 196\bigl(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\bigr) \\ = 110\sqrt{3} + 98\sqrt{3} = 208\sqrt{3}. \end{gathered}$ Next, $K$ has height $14\sin\alpha$ over $\overline{AB},$ so $[ABK] = \frac{1}{2} \cdot 28\cos\alpha$ $\cdot 14\sin\alpha$ $= 98\sin 2\alpha,$ and likewise $[ACL] = 98\sin 2\beta;$ their sum is $196\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$ $= 98 \cdot \frac{55\sqrt{3}}{98}$ $= 55\sqrt{3}.$ Finally $[AKL] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = 49\sqrt{3}.$

Therefore $[BKLC] = 208\sqrt{3} - 55\sqrt{3}$ $- 49\sqrt{3} = 104\sqrt{3},$ so $n = 104.$

15.

Hay exactamente tres números reales positivos $k$ tales que la función $\begin{gathered} f(x) \\ = \small \frac{(x - 18)(x - 72)(x - 98)(x - k)}{x} \end{gathered}$ definida sobre los números reales positivos alcanza su valor mínimo en exactamente dos números reales positivos $x.$ Halla la suma de estos tres valores de $k.$

There are exactly three positive real numbers $k$ such that the function $\begin{gathered} f(x) \\ = \small \frac{(x - 18)(x - 72)(x - 98)(x - k)}{x} \end{gathered}$ defined over the positive real numbers achieves its minimum value at exactly two positive real numbers $x.$ Find the sum of these three values of $k.$

Respuesta

Conceptos:polinomio factorización optimización

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Para $x \gt 0,$ $f(x) \to +\infty$ tanto cuando $x \to 0^+$ (el numerador tiende a $18 \cdot 72 \cdot 98 \cdot k \gt 0$ ) como cuando $x \to \infty,$ así que $f$ alcanza un valor mínimo global $c$ en $(0, \infty).$ Se alcanza en exactamente dos puntos precisamente cuando $f(x) - c \ge 0$ con dos raíces dobles positivas distintas, es decir $\begin{gathered} (x - 18)(x - 72) \\ \quad {}\cdot (x - 98)(x - k) - cx \\ = (x^2 - Sx + P)^2 \end{gathered}$ donde las raíces de $x^2 - Sx + P$ son positivas y distintas (así que $S, P \gt 0$ ).

Igualando los coeficientes de $x^3,$ $x^2,$ y el término constante (el coeficiente de $x$ solo determina $c$ ): $2S = 188 + k,$ $S^2 + 2P = 10116 + 188k,$ $\begin{gathered} P^2 = 18 \cdot 72 \cdot 98 \cdot k \\ = 127008k. \end{gathered}$ Sustituye $k = 2t^2$ con $t \gt 0:$ entonces $S = 94 + t^2$ y $P = 504t.$ La ecuación del medio se convierte en $(94 + t^2)^2 + 1008t$ $= 10116 + 376t^2,$ es decir $t^4 - 188t^2 + 1008t - 1280 = 0,$ que se factoriza como $(t - 2)(t - 4)(t + 16)$ $(t - 10) = 0.$

Las raíces positivas $t = 2, 4, 10$ dan $k = 2t^2 = 8, 32, 200$ (cada una da en efecto $S^2 \gt 4P,$ coincidiendo con la promesa del problema de exactamente tres valores). La suma es $8 + 32 + 200 = 240.$

For $x \gt 0,$ $f(x) \to +\infty$ both as $x \to 0^+$ (the numerator tends to $18 \cdot 72 \cdot 98 \cdot k \gt 0$ ) and as $x \to \infty,$ so $f$ attains a global minimum value $c$ on $(0, \infty).$ It is attained at exactly two points precisely when $f(x) - c \ge 0$ with two distinct positive double roots, i.e. $\begin{gathered} (x - 18)(x - 72) \\ \quad {}\cdot (x - 98)(x - k) - cx \\ = (x^2 - Sx + P)^2 \end{gathered}$ where the roots of $x^2 - Sx + P$ are positive and distinct (so $S, P \gt 0$ ).

Matching coefficients of $x^3,$ $x^2,$ and the constant (the $x$ -coefficient just determines $c$ ): $2S = 188 + k,$ $S^2 + 2P = 10116 + 188k,$ $\begin{gathered} P^2 = 18 \cdot 72 \cdot 98 \cdot k \\ = 127008k. \end{gathered}$ Substitute $k = 2t^2$ with $t \gt 0:$ then $S = 94 + t^2$ and $P = 504t.$ The middle equation becomes $(94 + t^2)^2 + 1008t$ $= 10116 + 376t^2,$ i.e. $t^4 - 188t^2 + 1008t - 1280 = 0,$ which factors as $(t - 2)(t - 4)(t + 16)$ $(t - 10) = 0.$

The positive roots $t = 2, 4, 10$ give $k = 2t^2 = 8, 32, 200$ (each indeed yields $S^2 \gt 4P,$ matching the problem's promise of exactly three values). The sum is $8 + 32 + 200 = 240.$