Question

Halle el número de pares ordenados de enteros positivos $(m, n)$ tales que $m^2 n = 20^{20}.$

Find the number of ordered pairs of positive integers $(m, n)$ such that $m^2 n = 20^{20}.$

Respuesta

Solución:

Como $20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},$ un $m$ válido debe tener la forma $2^a 5^b,$ y entonces $n = 2^{40 - 2a}\,5^{20 - 2b}$ es un entero positivo exactamente cuando $2a \le 40$ y $2b \le 20.$ Recíprocamente, cada una de estas elecciones funciona, y $n$ queda determinado de manera única por $m.$

Por lo tanto, $a$ puede ser cualquiera de $0, 1, \ldots, 20$ y $b$ cualquiera de $0, 1, \ldots, 10,$ lo que da $21 \cdot 11 = 231$ pares ordenados.

Since $20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},$ a valid $m$ must have the form $2^a 5^b,$ and then $n = 2^{40 - 2a}\,5^{20 - 2b}$ is a positive integer exactly when $2a \le 40$ and $2b \le 20.$ Conversely every such choice works, and $n$ is uniquely determined by $m.$

So $a$ can be any of $0, 1, \ldots, 20$ and $b$ any of $0, 1, \ldots, 10,$ giving $21 \cdot 11 = 231$ ordered pairs.

2020 AIME II Problema 1

Solución:

El Problema 1 en otros años