2020 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Halle el número de pares ordenados de enteros positivos

(m, n)

tales que

m^2 n = 20^{20}.

Find the number of ordered pairs of positive integers

(m, n)

such that

m^2 n = 20^{20}.

Respuesta

Respuesta: 231

Conceptos:factorización en primos conteo básico

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Escriba

20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},

y observe que una vez elegido

m

,

n

queda completamente determinado

Write

20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},

and note that once

m

is chosen,

n

is completely determined

Pista grande:

Necesita que

m^2

divida a

2^{40} \cdot 5^{20}:

cuente los posibles exponentes de

2

y de

5

en

m

You need

m^2

to divide

2^{40} \cdot 5^{20}:

count the possible exponents of

2

and of

5

in

m

Solución:

Como

20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},

un

m

válido debe tener la forma

2^a 5^b,

y entonces

n = 2^{40 - 2a}\,5^{20 - 2b}

es un entero positivo exactamente cuando

2a \le 40

y

2b \le 20.

Recíprocamente, cada una de estas elecciones funciona, y

n

queda determinado de manera única por

m.

Por lo tanto,

a

puede ser cualquiera de

0, 1, \ldots, 20

y

b

cualquiera de

0, 1, \ldots, 10,

lo que da

21 \cdot 11 = 231

pares ordenados.

Since

20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},

a valid

m

must have the form

2^a 5^b,

and then

n = 2^{40 - 2a}\,5^{20 - 2b}

is a positive integer exactly when

2a \le 40

and

2b \le 20.

Conversely every such choice works, and

n

is uniquely determined by

m.

So

a

can be any of

0, 1, \ldots, 20

and

b

any of

0, 1, \ldots, 10,

giving

21 \cdot 11 = 231

ordered pairs.

2.

Sea

P

un punto elegido de manera uniforme al azar en el interior del cuadrado unitario con vértices en

(0, 0),

(1, 0),

(1, 1),

y

(0, 1).

La probabilidad de que la pendiente de la recta determinada por

P

y el punto

\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)

sea mayor o igual que

\frac{1}{2}

se puede escribir como

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Let

P

be a point chosen uniformly at random in the interior of the unit square with vertices at

(0, 0),

(1, 0),

(1, 1),

and

(0, 1).

The probability that the slope of the line determined by

P

and the point

\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)

is greater than or equal to

\frac{1}{2}

can be written as

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 171

Conceptos:probabilidad geométrica pendiente trapecio

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Para

P = (x, y)

con

x \gt \frac{5}{8},

la condición es

y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16};

para

x \lt \frac{5}{8}

el sentido de la desigualdad se invierte

For

P = (x, y)

with

x \gt \frac{5}{8},

the condition is

y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16};

for

x \lt \frac{5}{8}

the inequality direction flips

Pista grande:

La región favorable son dos trapecios que se encuentran en

\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right);

halle el área de cada uno y súmelas

The favorable region is two trapezoids meeting at

\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right);

find each area and add

Solución:

Sea

Q = \left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)

y

P = (x, y).

La condición de pendiente

\frac{y - \frac{3}{8}}{x - \frac{5}{8}} \ge \frac{1}{2}

se convierte en

y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16}

cuando

x \gt \frac{5}{8},

y en

y \le \frac{x}{2} + \frac{1}{16}

cuando

x \lt \frac{5}{8}

(multiplicar por la cantidad negativa

x - \frac{5}{8}

invierte la desigualdad).

Para

x \gt \frac{5}{8},

la región por encima de la recta

y = \frac{x}{2} + \frac{1}{16}

dentro del cuadrado es un trapecio con lados verticales paralelos de longitudes

\frac{5}{8}

(en

x = \frac{5}{8}

) y

\frac{7}{16}

(en

x = 1

) y ancho

\frac{3}{8},

con área

\frac{3}{8} \cdot \frac{\frac{5}{8} + \frac{7}{16}}{2} = \frac{51}{256}.

Para

x \lt \frac{5}{8},

la región por debajo de la recta es un trapecio con lados paralelos

\frac{1}{16}

(en

x = 0

) y

\frac{3}{8}

(en

x = \frac{5}{8}

) y ancho

\frac{5}{8},

con área

\frac{5}{8} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{3}{8}}{2} = \frac{35}{256}.

La probabilidad es

\frac{51}{256} + \frac{35}{256} = \frac{86}{256} = \frac{43}{128},

por lo que

m + n = 43 + 128 = 171.

Let

Q = \left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)

and

P = (x, y).

The slope condition

\frac{y - \frac{3}{8}}{x - \frac{5}{8}} \ge \frac{1}{2}

becomes

y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16}

when

x \gt \frac{5}{8},

and

y \le \frac{x}{2} + \frac{1}{16}

when

x \lt \frac{5}{8}

(multiplying by the negative quantity

x - \frac{5}{8}

reverses the inequality).

For

x \gt \frac{5}{8},

the region above the line

y = \frac{x}{2} + \frac{1}{16}

inside the square is a trapezoid with parallel vertical sides of lengths

\frac{5}{8}

(at

x = \frac{5}{8}

) and

\frac{7}{16}

(at

x = 1

) and width

\frac{3}{8},

with area

\frac{3}{8} \cdot \frac{\frac{5}{8} + \frac{7}{16}}{2} = \frac{51}{256}.

For

x \lt \frac{5}{8},

the region below the line is a trapezoid with parallel sides

\frac{1}{16}

(at

x = 0

) and

\frac{3}{8}

(at

x = \frac{5}{8}

) and width

\frac{5}{8},

with area

\frac{5}{8} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{3}{8}}{2} = \frac{35}{256}.

The probability is

\frac{51}{256} + \frac{35}{256} = \frac{86}{256} = \frac{43}{128},

so

m + n = 43 + 128 = 171.

3.

El valor de

x

que satisface

\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}

se puede escribir como

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

The value of

x

that satisfies

\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}

can be written as

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 103

Conceptos:logaritmo ecuación racional

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Cambio de base:

\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2},

y de manera similar para el lado derecho

Change of base:

\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2},

and similarly for the right side

Pista grande:

La ecuación se reduce a

\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3},

que es lineal en

x

The equation reduces to

\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3},

which is linear in

x

Solución:

Por la fórmula del cambio de base,

\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}

y

\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.

Al cancelar el factor común

\frac{\log 3}{\log 2}

queda

\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.

Multiplicando en cruz se obtiene

20x + 60 = 2020x,

de modo que

2000x = 60

y

x = \frac{3}{100}.

Así,

m + n = 3 + 100 = 103.

By the change-of-base formula,

\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}

and

\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.

Cancelling the common factor

\frac{\log 3}{\log 2}

leaves

\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.

Cross-multiplying gives

20x + 60 = 2020x,

so

2000x = 60

and

x = \frac{3}{100}.

Thus

m + n = 3 + 100 = 103.

4.

Los triángulos

\triangle ABC

y

\triangle A'B'C'

están en el plano de coordenadas con vértices

A(0, 0),

B(0, 12),

C(16, 0),

A'(24, 18),

B'(36, 18),

C'(24, 2).

Una rotación de

m

grados en sentido horario alrededor del punto

(x, y),

donde

0 \lt m \lt 180,

transformará

\triangle ABC

en

\triangle A'B'C'.

Halle

m + x + y.

Triangles

\triangle ABC

and

\triangle A'B'C'

lie in the coordinate plane with vertices

A(0, 0),

B(0, 12),

C(16, 0),

A'(24, 18),

B'(36, 18),

C'(24, 2).

A rotation of

m

degrees clockwise around the point

(x, y),

where

0 \lt m \lt 180,

will transform

\triangle ABC

to

\triangle A'B'C'.

Find

m + x + y.

Respuesta

Respuesta: 108

Conceptos:transformación geometría analítica

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

El segmento

AB

es vertical mientras que su imagen

A'B'

es horizontal, así que la rotación debe ser de

90

grados

Segment

AB

is vertical while its image

A'B'

is horizontal, so the rotation must be by

90

degrees

Pista grande:

Una rotación de

90^\circ

en sentido horario alrededor de

(a, b)

envía

(p, q)

a

(a + q - b,\ b - p + a);

haga coincidir

A \mapsto A'

A

90^\circ

clockwise rotation about

(a, b)

sends

(p, q)

to

(a + q - b,\ b - p + a);

match

A \mapsto A'

Solución:

El vector

\overrightarrow{AB} = (0, 12)

es vertical, mientras que

\overrightarrow{A'B'} = (12, 0)

es horizontal y de la misma longitud, así que la rotación gira las direcciones

90^\circ

en sentido horario, y

m = 90.

Una rotación de

90^\circ

en sentido horario alrededor de

(a, b)

envía

(p, q)

a

(a + q - b,\ b - p + a).

Aplicándola a

A = (0, 0)

e igualando la imagen a

A' = (24, 18)

se obtiene

a - b = 24

y

a + b = 18,

de donde

a = 21

y

b = -3.

Comprobando los otros vértices:

B = (0, 12)

se envía a

(21 + 12 + 3,\ -3 + 21)

= (36, 18) = B',

y

C = (16, 0)

se envía a

(21 + 3,\ -3 - 16 + 21)

= (24, 2) = C'.

Por lo tanto,

m + x + y = 90

+ 21

+ (-3) = 108.

The vector

\overrightarrow{AB} = (0, 12)

is vertical, while

\overrightarrow{A'B'} = (12, 0)

is horizontal and of the same length, so the rotation turns directions by

90^\circ

clockwise, and

m = 90.

A

90^\circ

clockwise rotation about

(a, b)

sends

(p, q)

to

(a + q - b,\ b - p + a).

Applying this to

A = (0, 0)

and setting the image equal to

A' = (24, 18)

gives

a - b = 24

and

a + b = 18,

so

a = 21

and

b = -3.

Checking the other vertices:

B = (0, 12)

maps to

(21 + 12 + 3,\ -3 + 21)

= (36, 18) = B',

and

C = (16, 0)

maps to

(21 + 3,\ -3 - 16 + 21)

= (24, 2) = C'.

Therefore

m + x + y = 90

+ 21

+ (-3) = 108.

5.

Para cada entero positivo

n,

sea

f(n)

la suma de los dígitos en la representación en base cuatro de

n

y sea

g(n)

la suma de los dígitos en la representación en base ocho de

f(n).

Por ejemplo,

f(2020) = f(133210_4) = 10

= 12_8,

y la suma de los dígitos de

12_8

es

3,

así que

g(2020) = 3.

Sea

N

el menor valor de

n

tal que la representación en base dieciséis de

g(n)

no se puede expresar usando solo los dígitos del

0

al

9.

Halle el residuo cuando

N

se divide entre

1000.

For each positive integer

n,

let

f(n)

be the sum of the digits in the base-four representation of

n

and let

g(n)

be the sum of the digits in the base-eight representation of

f(n).

For example,

f(2020) = f(133210_4) = 10

= 12_8,

and the digit sum of

12_8

is

3,

so

g(2020) = 3.

Let

N

be the least value of

n

such that the base-sixteen representation of

g(n)

cannot be expressed using only the digits

0

through

9.

Find the remainder when

N

is divided by

1000.

Respuesta

Respuesta: 151

Conceptos:base numérica dígitos trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

El menor valor de

g(n)

cuya representación hexadecimal usa un dígito mayor que

9

es

10;

primero halle el menor

f(n)

cuya suma de dígitos en base ocho sea

10

The smallest value of

g(n)

whose base-sixteen representation uses a digit beyond

9

is

10;

first find the smallest possible

f(n)

whose base-eight digit sum is

10

Pista grande:

El menor valor de

f(n)

con esa propiedad es

31 = 37_8.

El menor

n

cuyos dígitos en base cuatro suman

31

es un

1

seguido de diez

3

s.

The least such value of

f(n)

is

31 = 37_8.

The smallest

n

whose base-four digits sum to

31

is a

1

followed by ten

3

s.

Solución:

El menor valor cuya representación en base dieciséis usa un dígito mayor que

9

es

10.

Por lo tanto, buscamos el menor

n

para el cual la suma de dígitos en base ocho de

f(n)

sea

10.

Revisando en orden los posibles valores de

f(n),

todo valor menor que

31

tiene suma de dígitos en base ocho a lo sumo

9,

mientras que

31 = 37_8

tiene suma de dígitos

10.

Como el menor

n

que alcanza una suma de dígitos en base cuatro dada crece con esa suma, buscamos el menor

n

con

f(n) = 31.

Un dígito en base cuatro es a lo sumo

3,

así que una suma de dígitos de

31

requiere al menos

11

dígitos, y la menor elección de

11

dígitos es un

1

inicial seguido de diez

3

s:

\begin{aligned} N &= 13333333333_4 \\ &= 4^{10} + (4^{10} - 1) \\ &= 2 \cdot 4^{10} - 1 = 2097151. \end{aligned}

El residuo cuando

N = 2097151

se divide entre

1000

es

151.

The smallest value whose base-sixteen representation uses a digit beyond

9

is

10.

Thus we seek the least

n

for which the base-eight digit sum of

f(n)

is

10.

Checking possible values of

f(n)

in order, every value less than

31

has base-eight digit sum at most

9,

while

31 = 37_8

has digit sum

10.

Since the least

n

achieving a given base-four digit sum increases with that sum, we want the least

n

with

f(n) = 31.

A base-four digit is at most

3,

so a digit sum of

31

requires at least

11

digits, and the smallest

11

-digit choice is a leading

1

followed by ten

3

s:

\begin{aligned} N &= 13333333333_4 \\ &= 4^{10} + (4^{10} - 1) \\ &= 2 \cdot 4^{10} - 1 = 2097151. \end{aligned}

The remainder when

N = 2097151

is divided by

1000

is

151.

6.

Defina una sucesión recursivamente por

t_1 = 20,

t_2 = 21,

y

t_n = \frac{5t_{n-1} + 1}{25t_{n-2}}

para todo

n \ge 3.

Entonces

t_{2020}

se puede escribir como

\frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. Halle

p + q.

Define a sequence recursively by

t_1 = 20,

t_2 = 21,

and

t_n = \frac{5t_{n-1} + 1}{25t_{n-2}}

for all

n \ge 3.

Then

t_{2020}

can be written as

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Respuesta: 626

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Calcule

t_3,

t_4,

t_5,

t_6,

y

t_7

exactamente como fracciones: aparece un patrón

Compute

t_3,

t_4,

t_5,

t_6,

and

t_7

exactly as fractions — a pattern appears

Pista grande:

La sucesión es periódica con período

5,

así que

t_{2020} = t_5

The sequence is periodic with period

5,

so

t_{2020} = t_5

Solución:

Calculando los términos exactamente:

\begin{aligned} t_3 &= \frac{5 \cdot 21 + 1}{25 \cdot 20} = \frac{53}{250}, \\ t_4 &= \frac{5 \cdot \frac{53}{250} + 1}{25 \cdot 21} = \frac{103}{26250}, \\ t_5 &= \frac{5 \cdot \frac{103}{26250} + 1}{25 \cdot \frac{53}{250}} \\ &= \frac{5353}{5250} \cdot \frac{10}{53} = \frac{101}{525}, \end{aligned}

usando

5353 = 53 \cdot 101.

Luego

t_6 = \frac{5 \cdot \frac{101}{525} + 1}{25 \cdot \frac{103}{26250}}

= \frac{206}{105} \cdot \frac{1050}{103}

= 20 = t_1

y

t_7 = \frac{101}{\frac{101}{21}} = 21 = t_2.

Como cada término depende solo de los dos términos anteriores, la sucesión se repite con período

5.

Como

2020

es múltiplo de

5,

obtenemos

t_{2020} = t_5 = \frac{101}{525}.

Puesto que

101

es primo y no divide a

525,

la fracción está reducida, y

p + q = 101 + 525 = 626.

Computing terms exactly:

\begin{aligned} t_3 &= \frac{5 \cdot 21 + 1}{25 \cdot 20} = \frac{53}{250}, \\ t_4 &= \frac{5 \cdot \frac{53}{250} + 1}{25 \cdot 21} = \frac{103}{26250}, \\ t_5 &= \frac{5 \cdot \frac{103}{26250} + 1}{25 \cdot \frac{53}{250}} \\ &= \frac{5353}{5250} \cdot \frac{10}{53} = \frac{101}{525}, \end{aligned}

using

5353 = 53 \cdot 101.

Then

t_6 = \frac{5 \cdot \frac{101}{525} + 1}{25 \cdot \frac{103}{26250}}

= \frac{206}{105} \cdot \frac{1050}{103}

= 20 = t_1

and

t_7 = \frac{101}{\frac{101}{21}} = 21 = t_2.

Since each term depends only on the two preceding terms, the sequence repeats with period

5.

Because

2020

is a multiple of

5,

we get

t_{2020} = t_5 = \frac{101}{525}.

As

101

is prime and does not divide

525,

the fraction is reduced, and

p + q = 101 + 525 = 626.

7.

Dos conos circulares rectos congruentes, cada uno con radio de base

3

y altura

8,

tienen ejes de simetría que se cortan en ángulo recto en un punto del interior de los conos a una distancia

3

de la base de cada cono. Una esfera de radio

r

está contenida en ambos conos. El máximo valor posible de

r^2

es

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Two congruent right circular cones each with base radius

3

and height

8

have axes of symmetry that intersect at right angles at a point in the interior of the cones a distance

3

from the base of each cone. A sphere with radius

r

lies within both cones. The maximum possible value of

r^2

is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 298

Conceptos:cono esfera optimización

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

En el plano de los dos ejes, la sección transversal de cada cono es un triángulo con vértice a

5

más allá del punto de intersección y semiancho de base

3

a una distancia

3

del otro lado

In the plane of the two axes, each cone’s cross-section is a triangle with apex

5

beyond the intersection point and base half-width

3

at distance

3

on the other side

Pista grande:

Centre la esfera en el punto de intersección; su radio es la distancia de ese punto a la recta oblicua que pasa por

(5, 0)

y

(-3, 3)

Center the sphere at the intersection point; its radius is the distance from that point to the slant line through

(5, 0)

and

(-3, 3)

Solución:

Coloque el origen en el punto donde se cruzan los ejes, y mida coordenadas con signo

u_1, u_2

a lo largo de los dos ejes. A lo largo de su eje, cada cono tiene su vértice a una distancia

8 - 3 = 5

del origen y su plano de base a una distancia

3

del otro lado. Al cortar un cono por cualquier plano que pase por su eje se obtiene un triángulo cuyo lado oblicuo, en coordenadas

(u, w)

con

w \ge 0

la distancia al eje, es la recta que pasa por

(5, 0)

y

(-3, 3),

es decir

3u + 8w = 15.

Una esfera de radio

r

centrada en un punto con coordenada axial

u

y distancia

\rho

al eje cabe dentro de ese cono solo si su sección transversal cabe dentro del triángulo, así que

r \le \frac{15 - 3u - 8\rho}{\sqrt{73}}.

Como los dos ejes son perpendiculares, la distancia del centro al eje

1

es al menos

|u_2|,

y viceversa. Sumando las dos restricciones,

\begin{aligned} 2\sqrt{73}\,r &\le 30 - 3(u_1 + u_2) \\ &\quad {}- 8(|u_1| + |u_2|) \\ &\le 30, \end{aligned}

porque

3(u_1 + u_2) \ge -3(|u_1| + |u_2|)

\ge -8(|u_1| + |u_2|).

Por lo tanto,

r \le \frac{15}{\sqrt{73}}.

La esfera de radio

\frac{15}{\sqrt{73}}

centrada en el origen alcanza este valor: su distancia a cada superficie oblicua es

\frac{|3 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 15|}{\sqrt{3^2 + 8^2}} = \frac{15}{\sqrt{73}},

y su distancia

3

a cada plano de base es mayor. Así, el máximo de

r^2

es

\frac{225}{73},

y

m + n = 225 + 73 = 298.

Put the origin at the point where the axes cross, and measure signed coordinates

u_1, u_2

along the two axes. Along its axis, each cone has its apex at distance

8 - 3 = 5

from the origin and its base plane at distance

3

on the other side. Slicing a cone by any plane through its axis gives a triangle whose slant side, in coordinates

(u, w)

with

w \ge 0

the distance from the axis, is the line through

(5, 0)

and

(-3, 3),

namely

3u + 8w = 15.

A sphere of radius

r

centered at a point with axial coordinate

u

and distance

\rho

from the axis fits inside that cone only if its cross-section fits inside the triangle, so

r \le \frac{15 - 3u - 8\rho}{\sqrt{73}}.

Since the two axes are perpendicular, the distance from the center to axis

1

is at least

|u_2|,

and vice versa. Adding the two constraints,

\begin{aligned} 2\sqrt{73}\,r &\le 30 - 3(u_1 + u_2) \\ &\quad {}- 8(|u_1| + |u_2|) \\ &\le 30, \end{aligned}

because

3(u_1 + u_2) \ge -3(|u_1| + |u_2|)

\ge -8(|u_1| + |u_2|).

Hence

r \le \frac{15}{\sqrt{73}}.

The sphere of radius

\frac{15}{\sqrt{73}}

centered at the origin achieves this: its distance to each slant surface is

\frac{|3 \cdot 0 + 8 \cdot 0 - 15|}{\sqrt{3^2 + 8^2}} = \frac{15}{\sqrt{73}},

and its distance

3

to each base plane is larger. So the maximum of

r^2

is

\frac{225}{73},

and

m + n = 225 + 73 = 298.

8.

Defina una sucesión recursivamente por

f_1(x) = |x - 1|

y

f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|)

para enteros

n \gt 1.

Halle el menor valor de

n

tal que la suma de los ceros de

f_n

supere

500{,}000.

Define a sequence recursively by

f_1(x) = |x - 1|

and

f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|)

for integers

n \gt 1.

Find the least value of

n

such that the sum of the zeros of

f_n

exceeds

500{,}000.

Respuesta

Respuesta: 101

Conceptos:valor absoluto recursión número triangular inducción

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

f_n(x) = 0

exactamente cuando

|x - n|

es un cero no negativo de

f_{n-1}.

Calcule los conjuntos de ceros para los primeros

n.

f_n(x) = 0

exactly when

|x - n|

is a nonnegative zero of

f_{n-1}.

Compute the zero sets for the first few

n.

Pista grande:

Con

T_k = \frac{k(k+1)}{2},

los ceros de

f_n

son uno de cada dos enteros desde

n - T_{n-1}

hasta

T_n,

por lo que su suma es

n\left(1 + \frac{n(n-1)}{2}\right)

With

T_k = \frac{k(k+1)}{2},

the zeros of

f_n

are every other integer from

n - T_{n-1}

up to

T_n,

so their sum is

n\left(1 + \frac{n(n-1)}{2}\right)

Solución:

Como

f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|),

los ceros de

f_n

son exactamente

x = n \pm z

cuando

z

recorre los ceros no negativos de

f_{n-1}.

Los primeros conjuntos de ceros son

\{1\},

\{1, 3\},

\{0, 2, 4, 6\},

\{-2, 0, 2, \ldots, 10\}.

Escribiendo

T_k = \frac{k(k+1)}{2},

afirmamos que los ceros de

f_n

son uno de cada dos enteros desde

n - T_{n-1}

hasta

T_n.

En efecto, por inducción los ceros no negativos de

f_{n-1}

son uno de cada dos enteros desde

0

o

1

hasta

T_{n-1},

y aplicando

n \pm z

se obtiene todo entero de la paridad adecuada desde

n - T_{n-1}

hasta

n + T_{n-1} = T_n.

Esta progresión tiene

\frac{T_n + T_{n-1} - n}{2} + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1

términos, y sus términos primero y último suman

(n - T_{n-1}) + T_n = 2n,

por lo que la suma de los ceros es

S_n = n\left(\frac{n(n-1)}{2} + 1\right),

que es creciente en

n.

Ahora

S_{100} = 100 \cdot 4951

= 495{,}100 \le 500{,}000,

mientras que

S_{101} = 101 \cdot 5051

= 510{,}151 \gt 500{,}000.

El menor

n

con esa propiedad es

101.

Since

f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|),

the zeros of

f_n

are exactly

x = n \pm z

as

z

runs over the nonnegative zeros of

f_{n-1}.

The first few zero sets are

\{1\},

\{1, 3\},

\{0, 2, 4, 6\},

\{-2, 0, 2, \ldots, 10\}.

Writing

T_k = \frac{k(k+1)}{2},

we claim the zeros of

f_n

are every other integer from

n - T_{n-1}

through

T_n.

Indeed, by induction the nonnegative zeros of

f_{n-1}

are every other integer from

0

or

1

up to

T_{n-1},

and applying

n \pm z

yields every integer of the appropriate parity from

n - T_{n-1}

through

n + T_{n-1} = T_n.

This progression has

\frac{T_n + T_{n-1} - n}{2} + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1

terms, and its first and last terms sum to

(n - T_{n-1}) + T_n = 2n,

so the sum of the zeros is

S_n = n\left(\frac{n(n-1)}{2} + 1\right),

which is increasing in

n.

Now

S_{100} = 100 \cdot 4951

= 495{,}100 \le 500{,}000,

while

S_{101} = 101 \cdot 5051

= 510{,}151 \gt 500{,}000.

The least such

n

is

101.

9.

Mientras veían un espectáculo, Ayako, Billy, Carlos, Dahlia, Ehuang y Frank se sentaron en ese orden en una fila de seis sillas. Durante el descanso, fueron a la cocina por un refrigerio. Cuando regresaron, se sentaron en esas seis sillas de tal manera que si dos de ellos se sentaban uno al lado del otro antes del descanso, entonces no se sentaban uno al lado del otro después del descanso. Halle el número de posibles órdenes de asientos que pudieron haber elegido después del descanso.

While watching a show, Ayako, Billy, Carlos, Dahlia, Ehuang, and Frank sat in that order in a row of six chairs. During the break, they went to the kitchen for a snack. When they came back, they sat on those six chairs in such a way that if two of them sat next to each other before the break, then they did not sit next to each other after the break. Find the number of possible seating orders they could have chosen after the break.

Respuesta

Respuesta: 90

Conceptos:arreglos con restricciones inclusión-exclusión permutaciones

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Numere a los amigos del

1

al

6

según su asiento original; necesita ordenamientos en los que ningún par de números consecutivos queden uno al lado del otro

Number the friends

1

through

6

by original seat; you need orderings in which no two consecutive numbers stand next to each other

Pista grande:

Use inclusión-exclusión sobre cuáles de los cinco pares

\{i, i+1\}

se sientan juntos, pegando cada racha de números consecutivos en un bloque que puede orientarse de dos maneras

Use inclusion-exclusion on which of the five pairs

\{i, i+1\}

sit together, gluing each run of consecutive numbers into a block that can face two ways

Solución:

Numere a los amigos del

1

al

6

en el orden original de asientos; contamos los ordenamientos de

1, \ldots, 6

en los que no hay dos enteros consecutivos adyacentes. Apliquemos inclusión-exclusión sobre cuáles de los cinco pares

\{i, i+1\}

se ven forzados a sentarse juntos. Si un conjunto elegido de

k

pares forma

r

rachas maximales de enteros consecutivos, pegar cada racha en un bloque (que se puede ordenar de forma ascendente o descendente) da

2^r (6 - k)!

disposiciones que contienen todas las adyacencias elegidas.

Contando según

k:

para

k = 0,

720.

Para

k = 1,

cinco conjuntos, cada uno

2 \cdot 120,

en total

1200.

Para

k = 2,

cuatro conjuntos forman una racha

(2 \cdot 24)

y seis forman dos rachas

(4 \cdot 24),

en total

768.

Para

k = 3,

tres conjuntos forman una racha

(2 \cdot 6),

seis forman dos rachas

(4 \cdot 6),

uno forma tres rachas

(8 \cdot 6),

en total

228.

Para

k = 4,

dos conjuntos forman una racha

(2 \cdot 2)

y tres forman dos rachas

(4 \cdot 2),

en total

32.

Para

k = 5,

un conjunto, en total

2.

El conteo es

720 - 1200 + 768

- 228 + 32 - 2 = 90.

Number the friends

1

through

6

in original seating order; we count orderings of

1, \ldots, 6

in which no two consecutive integers are adjacent. Apply inclusion-exclusion over which of the five pairs

\{i, i+1\}

are forced to sit together. If a chosen set of

k

pairs forms

r

maximal runs of consecutive integers, gluing each run into a block (orderable ascending or descending) gives

2^r (6 - k)!

seatings containing all chosen adjacencies.

Tallying by

k:

for

k = 0,

720.

For

k = 1,

five sets, each

2 \cdot 120,

total

1200.

For

k = 2,

four sets form one run

(2 \cdot 24)

and six form two runs

(4 \cdot 24),

total

768.

For

k = 3,

three sets form one run

(2 \cdot 6),

six form two runs

(4 \cdot 6),

one forms three runs

(8 \cdot 6),

total

228.

For

k = 4,

two sets form one run

(2 \cdot 2)

and three form two runs

(4 \cdot 2),

total

32.

For

k = 5,

one set, total

2.

The count is

720 - 1200 + 768

- 228 + 32 - 2 = 90.

10.

Halle la suma de todos los enteros positivos

n

tales que cuando

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3

se divide entre

n + 5,

el residuo es

17.

Find the sum of all positive integers

n

such that when

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3

is divided by

n + 5,

the remainder is

17.

Respuesta

Respuesta: 239

Conceptos:suma de los primeros n cubos aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

La suma es

\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.

Redúzcala módulo

n + 5

usando

n \equiv -5.

The sum is

\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.

Reduce it modulo

n + 5

using

n \equiv -5.

Pista grande:

Si

K = \frac{n(n+1)}{2},

entonces

2K \equiv 20 \pmod{n+5},

así que

n + 5

debe dividir a

332.

Multiplicar por

4

puede crear soluciones falsas, así que verifique cada candidato.

If

K = \frac{n(n+1)}{2},

then

2K \equiv 20 \pmod{n+5},

so

n + 5

must divide

332.

Multiplying by

4

can create false solutions, so verify each candidate.

Solución:

Sea

K = \frac{n(n+1)}{2},

de modo que la suma de cubos es

K^2.

Módulo

n + 5

tenemos

n \equiv -5,

por lo que

2K = n(n+1)

\equiv (-5)(-4) = 20

y

4K^2 \equiv 400.

Si

K^2 \equiv 17 \pmod{n+5},

entonces

n + 5

divide a

400 - 4 \cdot 17 = 332 = 2^2 \cdot 83.

Como un residuo de

17

también obliga a

n + 5 \gt 17,

los candidatos son

n + 5 \in \{83, 166, 332\},

es decir

n \in \{78, 161, 327\}.

Como multiplicamos por

4,

cada candidato debe comprobarse. Para

n = 78:

K = 3081 \equiv 10 \pmod{83},

y

10^2 = 100 \equiv 17 \pmod{83}.

Para

n = 161:

K = 13041 \equiv 93 \pmod{166},

y

93^2 = 8649 = 52 \cdot 166 + 17.

Para

n = 327:

K = 53628 \equiv 176 \pmod{332},

y

176^2 = 30976 = 93 \cdot 332 + 100,

con residuo

100 \ne 17,

así que este falla.

Los valores válidos son

n = 78

y

n = 161,

con suma

78 + 161 = 239.

Let

K = \frac{n(n+1)}{2},

so the sum of cubes is

K^2.

Modulo

n + 5

we have

n \equiv -5,

hence

2K = n(n+1)

\equiv (-5)(-4) = 20

and

4K^2 \equiv 400.

If

K^2 \equiv 17 \pmod{n+5},

then

n + 5

divides

400 - 4 \cdot 17 = 332 = 2^2 \cdot 83.

Since a remainder of

17

also forces

n + 5 \gt 17,

the candidates are

n + 5 \in \{83, 166, 332\},

i.e.

n \in \{78, 161, 327\}.

Because we multiplied by

4,

each candidate must be checked. For

n = 78:

K = 3081 \equiv 10 \pmod{83},

and

10^2 = 100 \equiv 17 \pmod{83}.

For

n = 161:

K = 13041 \equiv 93 \pmod{166},

and

93^2 = 8649 = 52 \cdot 166 + 17.

For

n = 327:

K = 53628 \equiv 176 \pmod{332},

and

176^2 = 30976 = 93 \cdot 332 + 100,

remainder

100 \ne 17,

so this one fails.

The valid values are

n = 78

and

n = 161,

with sum

78 + 161 = 239.

11.

Sea

P(x) = x^2 - 3x - 7,

y sean

Q(x)

y

R(x)

dos polinomios cuadráticos también con coeficiente de

x^2

igual a

1.

David calcula cada una de las tres sumas

P + Q,

P + R,

y

Q + R

y se sorprende al descubrir que cada par de estas sumas tiene una raíz común, y estas tres raíces comunes son distintas. Si

Q(0) = 2,

entonces

R(0) = \frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Let

P(x) = x^2 - 3x - 7,

and let

Q(x)

and

R(x)

be two quadratic polynomials also with the coefficient of

x^2

equal to

1.

David computes each of the three sums

P + Q,

P + R,

and

Q + R

and is surprised to find that each pair of these sums has a common root, and these three common roots are distinct. If

Q(0) = 2,

then

R(0) = \frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 71

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Cada suma por pares tiene coeficiente principal

2,

así que es igual a

2

por el producto de los dos factores lineales dados por sus raíces conocidas

Each pairwise sum has leading coefficient

2,

so it equals

2

times the product of the two linear factors from its known roots

Pista grande:

Sumar las sumas de raíces de

P+Q

y

P+R

y restar la de

Q+R

aísla el doble de la raíz compartida por las dos primeras sumas

Adding the root sums of

P+Q

and

P+R

and subtracting that of

Q+R

isolates twice the root shared by the first two sums

Solución:

Sea

a

la raíz común de

P+Q

y

P+R,

sea

b

la de

P+Q

y

Q+R,

y sea

c

la de

P+R

y

Q+R.

Cada suma es cuadrática con coeficiente principal

2,

así que

P+Q = 2(x-a)(x-b),

P+R = 2(x-a)(x-c),

y

Q+R = 2(x-b)(x-c).

Escriba

Q = x^2 + qx + 2

y

R = x^2 + rx + s.

Por las fórmulas de Vieta, las sumas de raíces son

a + b = \frac{3-q}{2},

a + c = \frac{3-r}{2},

y

b + c = -\frac{q+r}{2},

así que

\begin{aligned} 2a &= (a+b) + (a+c) - (b+c) \\ &= \frac{3-q}{2} + \frac{3-r}{2} \\ &\quad {}+ \frac{q+r}{2} = 3, \end{aligned}

lo que da

a = \frac{3}{2}.

El término constante de

P + Q

es

-7 + 2 = -5,

así que

2ab = -5

y

b = -\frac{5}{3}.

Además

2ac = P(0) + R(0) = s - 7

y

2bc = Q(0) + R(0) = s + 2.

Restando,

2c(b - a) = 9,

de donde

c = \frac{9}{2\left(-\frac{5}{3} - \frac{3}{2}\right)} = -\frac{27}{19}.

Entonces

s = 2bc - 2

= 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{27}{19}\right) - 2

= \frac{90}{19} - \frac{38}{19} = \frac{52}{19},

así que

R(0) = \frac{52}{19}

y

m + n = 52 + 19 = 71.

Let

a

be the common root of

P+Q

and

P+R,

let

b

be that of

P+Q

and

Q+R,

and let

c

be that of

P+R

and

Q+R.

Each sum is quadratic with leading coefficient

2,

so

P+Q = 2(x-a)(x-b),

P+R = 2(x-a)(x-c),

and

Q+R = 2(x-b)(x-c).

Write

Q = x^2 + qx + 2

and

R = x^2 + rx + s.

By Vieta’s formulas, the root sums are

a + b = \frac{3-q}{2},

a + c = \frac{3-r}{2},

and

b + c = -\frac{q+r}{2},

so

\begin{aligned} 2a &= (a+b) + (a+c) - (b+c) \\ &= \frac{3-q}{2} + \frac{3-r}{2} \\ &\quad {}+ \frac{q+r}{2} = 3, \end{aligned}

giving

a = \frac{3}{2}.

The constant term of

P + Q

is

-7 + 2 = -5,

so

2ab = -5

and

b = -\frac{5}{3}.

Also

2ac = P(0) + R(0) = s - 7

and

2bc = Q(0) + R(0) = s + 2.

Subtracting,

2c(b - a) = 9,

so

c = \frac{9}{2\left(-\frac{5}{3} - \frac{3}{2}\right)} = -\frac{27}{19}.

Then

s = 2bc - 2

= 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{27}{19}\right) - 2

= \frac{90}{19} - \frac{38}{19} = \frac{52}{19},

so

R(0) = \frac{52}{19}

and

m + n = 52 + 19 = 71.

12.

Sean

m

y

n

enteros impares mayores que

1.

Un rectángulo

m \times n

está formado por cuadrados unitarios donde los cuadrados de la fila superior están numerados de izquierda a derecha con los enteros del

1

al

n,

los de la segunda fila están numerados de izquierda a derecha con los enteros del

n + 1

al

2n,

y así sucesivamente. El cuadrado

200

está en la fila superior, y el cuadrado

2000

está en la fila inferior. Halle el número de pares ordenados

(m, n)

de enteros impares mayores que

1

con la propiedad de que, en el rectángulo

m \times n,

la recta que pasa por los centros de los cuadrados

200

y

2000

corta el interior del cuadrado

1099.

Let

m

and

n

be odd integers greater than

1.

An

m \times n

rectangle is made up of unit squares where the squares in the top row are numbered left to right with the integers

1

through

n,

those in the second row are numbered left to right with the integers

n + 1

through

2n,

and so on. Square

200

is in the top row, and square

2000

is in the bottom row. Find the number of ordered pairs

(m, n)

of odd integers greater than

1

with the property that, in the

m \times n

rectangle, the line through the centers of squares

200

and

2000

intersects the interior of square

1099.

Respuesta

Respuesta: 248

Conceptos:geometría analítica pendiente punto medio análisis por casos

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Como

m

y

n

son impares, el punto medio de los centros de los cuadrados

200

y

2000

es exactamente el centro del cuadrado

1100,

un cuadrado a la derecha del cuadrado

1099

Since

m

and

n

are odd, the midpoint of the centers of squares

200

and

2000

is exactly the center of square

1100,

one square to the right of square

1099

Pista grande:

La recta entra en el cuadrado

1099

precisamente cuando su pendiente es menor que

1

en valor absoluto; luego cuente los

n

impares para cada

m \in \{3, 5, 7, 9\}

The line enters square

1099

precisely when its slope is less than

1

in absolute value; then count the odd

n

for each

m \in \{3, 5, 7, 9\}

Solución:

Use coordenadas columna-fila. El cuadrado

200

está en la fila superior, así que

n \ge 200

(por lo tanto

n \ge 201

por ser

n

impar) y su centro es

(200, 1).

El cuadrado

2000

está en la fila inferior, así que su columna es

b = 2000 - (m-1)n

con

1 \le b \le n,

es decir

(m-1)n \lt 2000 \le mn,

y su centro es

(b, m).

Como

m

y

n

son impares,

b

es par, así que el punto medio

\left(\frac{200 + b}{2}, \frac{m+1}{2}\right)

de los dos centros tiene coordenadas enteras; su número de cuadrado es

\frac{(m-1)n + 200 + b}{2} = \frac{2200}{2} = 1100.

Su columna

100 + \frac{b}{2}

está entre

101

y

n,

así que la recta pasa por el centro del cuadrado

1100,

y el cuadrado

1099

está inmediatamente a su izquierda en la misma fila.

El cuadrado

1099

está solo en esa fila, y la recta cruza la franja horizontal de esa fila en un segmento centrado (por simetría) en el centro del cuadrado

1100,

que se extiende

\frac{1}{2|s|}

hacia cada lado, donde

s = \frac{m-1}{b - 200}

es la pendiente. Así, la recta corta el interior del cuadrado

1099

exactamente cuando

\frac{1}{2|s|} \gt \frac{1}{2},

es decir

|s| \lt 1,

o sea

m - 1 \lt |b - 200|

= |1800 - (m-1)n|

(una recta vertical,

b = 200,

no cumple).

Como

n \ge 201

y

(m-1)n \lt 2000,

necesitamos

m - 1 \lt 10,

así que

m \in \{3, 5, 7, 9\}.

Para

m = 3:

enteros impares

n \in [667, 999],

167

valores, y excluyendo

|n - 900| \le 1

(los casos impares

899

y

901

) quedan

165.

Para

m = 5:

enteros impares

n \in [401, 499],

50

valores, excluyendo

449

y

451

quedan

48.

Para

m = 7:

enteros impares

n \in [287, 333],

24

valores, excluyendo

299

y

301

quedan

22.

Para

m = 9:

enteros impares

n \in [223, 249],

14

valores, excluyendo

225

quedan

13.

El total es

165 + 48 + 22 + 13 = 248.

Use column-row coordinates. Square

200

is in the top row, so

n \ge 200

(hence

n \ge 201

as

n

is odd) and its center is

(200, 1).

Square

2000

is in the bottom row, so its column is

b = 2000 - (m-1)n

with

1 \le b \le n,

i.e.

(m-1)n \lt 2000 \le mn,

and its center is

(b, m).

Since

m

and

n

are odd,

b

is even, so the midpoint

\left(\frac{200 + b}{2}, \frac{m+1}{2}\right)

of the two centers has integer coordinates; its square number is

\frac{(m-1)n + 200 + b}{2} = \frac{2200}{2} = 1100.

Its column

100 + \frac{b}{2}

lies between

101

and

n,

so the line passes through the center of square

1100,

and square

1099

sits immediately to its left in the same row.

Square

1099

lies only in that row, and the line crosses that row’s horizontal strip in a segment centered (by symmetry) at the center of square

1100,

extending

\frac{1}{2|s|}

to each side, where

s = \frac{m-1}{b - 200}

is the slope. So the line meets the interior of square

1099

exactly when

\frac{1}{2|s|} \gt \frac{1}{2},

that is

|s| \lt 1,

i.e.

m - 1 \lt |b - 200|

= |1800 - (m-1)n|

(a vertical line,

b = 200,

fails).

Since

n \ge 201

and

(m-1)n \lt 2000,

we need

m - 1 \lt 10,

so

m \in \{3, 5, 7, 9\}.

For

m = 3:

odd

n \in [667, 999],

167

values, excluding

|n - 900| \le 1

(the odd cases

899

and

901

) leaves

165.

For

m = 5:

odd

n \in [401, 499],

50

values, excluding

449

and

451

leaves

48.

For

m = 7:

odd

n \in [287, 333],

24

values, excluding

299

and

301

leaves

22.

For

m = 9:

odd

n \in [223, 249],

14

values, excluding

225

leaves

13.

The total is

165 + 48 + 22 + 13 = 248.

13.

El pentágono convexo

ABCDE

tiene longitudes de lado

AB = 5,

BC = CD = DE = 6,

y

EA = 7.

Además, el pentágono tiene una circunferencia inscrita (una circunferencia tangente a cada lado del pentágono). Halle el área de

ABCDE.

Convex pentagon

ABCDE

has side lengths

AB = 5,

BC = CD = DE = 6,

and

EA = 7.

Moreover, the pentagon has an inscribed circle (a circle tangent to each side of the pentagon). Find the area of

ABCDE.

Respuesta

Respuesta: 60

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio recta tangente identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Los dos segmentos tangentes desde cada vértice son iguales: si las cinco longitudes correspondientes son

a,

b,

c,

d,

y

e,

resuelva

a+b=5,

b+c=c+d=d+e=6,

e+a=7

The two tangent segments from each vertex are equal: if the five corresponding tangent lengths are

a,

b,

c,

d,

and

e,

solve

a+b=5,

b+c=c+d=d+e=6,

e+a=7

Pista grande:

En un vértice con longitud de tangente

t,

el semiángulo satisface

\tan\frac{\theta_V}{2} = \frac{r}{t};

los cinco semiángulos suman

270^\circ.

Convierta esto en una ecuación polinómica para

r

y luego use área

= rs

At a vertex with tangent length

t,

the half-angle satisfies

\tan\frac{\theta_V}{2} = \frac{r}{t};

the five half-angles sum to

270^\circ.

Turn that into a polynomial equation for

r,

then use area

= rs

Solución:

Sean

a,

b,

c,

d,

y

e

las longitudes de las tangentes desde

A,

B,

C,

D,

y

E

hasta la circunferencia inscrita. Entonces

a + b = 5,

b + c = 6,

c + d = 6,

d + e = 6,

y

e + a = 7.

Las ecuaciones intermedias dan

d = b

y

e = c,

así que

c + a = 7;

junto con

a + b = 5

y

b + c = 6

esto produce

a = 3,

b = d = 2,

c = e = 4.

Si

r

es el inradio, el ángulo interior en un vértice con longitud de tangente

t

satisface

\tan\frac{\theta}{2} = \frac{r}{t},

y los semiángulos suman la mitad de

540^\circ:

\begin{aligned} &\arctan\frac{r}{3} + 2\arctan\frac{r}{2} \\ &\quad {}+ 2\arctan\frac{r}{4} = 270^\circ. \end{aligned}

Sea

\beta = \arctan\frac{r}{2}

y

\gamma = \arctan\frac{r}{4}.

Entonces

\arctan\frac{r}{3} = 270^\circ - 2(\beta + \gamma),

y como

\tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta,

obtenemos

\frac{r}{3} = \cot 2(\beta + \gamma).

Con

T = \tan(\beta + \gamma) = \frac{\frac{r}{2} + \frac{r}{4}}{1 - \frac{r^2}{8}}

= \frac{6r}{8 - r^2},

la identidad

\frac{r}{3} = \frac{1 - T^2}{2T}

se convierte en

2rT = 3(1 - T^2),

y sustituyendo

T

y eliminando denominadores se obtiene

5r^4 - 84r^2 + 64 = 0,

de donde

r^2 = 16

o

r^2 = \frac{4}{5}.

Para

r^2 = \frac{4}{5}

cada semiángulo está muy por debajo de

54^\circ,

así que la suma de semiángulos queda muy lejos de

270^\circ;

esta raíz es extraña. Por lo tanto,

r = 4.

El semiperímetro es

s = \frac{5 + 6 + 6 + 6 + 7}{2} = 15,

así que el área es

rs = 4 \cdot 15 = 60.

Let the tangent lengths from

A,

B,

C,

D,

and

E

to the incircle be

a,

b,

c,

d,

and

e.

Then

a + b = 5,

b + c = 6,

c + d = 6,

d + e = 6,

and

e + a = 7.

The middle equations give

d = b

and

e = c,

so

c + a = 7;

with

a + b = 5

and

b + c = 6

this yields

a = 3,

b = d = 2,

c = e = 4.

If

r

is the inradius, the interior angle at a vertex with tangent length

t

satisfies

\tan\frac{\theta}{2} = \frac{r}{t},

and the half-angles sum to half of

540^\circ:

\begin{aligned} &\arctan\frac{r}{3} + 2\arctan\frac{r}{2} \\ &\quad {}+ 2\arctan\frac{r}{4} = 270^\circ. \end{aligned}

Let

\beta = \arctan\frac{r}{2}

and

\gamma = \arctan\frac{r}{4}.

Then

\arctan\frac{r}{3} = 270^\circ - 2(\beta + \gamma),

and since

\tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta,

we get

\frac{r}{3} = \cot 2(\beta + \gamma).

With

T = \tan(\beta + \gamma) = \frac{\frac{r}{2} + \frac{r}{4}}{1 - \frac{r^2}{8}}

= \frac{6r}{8 - r^2},

the identity

\frac{r}{3} = \frac{1 - T^2}{2T}

becomes

2rT = 3(1 - T^2),

and substituting

T

and clearing denominators gives

5r^4 - 84r^2 + 64 = 0,

so

r^2 = 16

or

r^2 = \frac{4}{5}.

For

r^2 = \frac{4}{5}

every half-angle is well under

54^\circ,

so the half-angle sum falls far short of

270^\circ;

this root is extraneous. Hence

r = 4.

The semiperimeter is

s = \frac{5 + 6 + 6 + 6 + 7}{2} = 15,

so the area is

rs = 4 \cdot 15 = 60.

14.

Para un número real

x

sea

\lfloor x \rfloor

el mayor entero menor o igual que

x,

y defina

\{x\} = x - \lfloor x \rfloor

como la parte fraccionaria de

x.

Por ejemplo,

\{3\} = 0

y

\{4.56\} = 0.56.

Defina

f(x) = x\{x\},

y sea

N

el número de soluciones reales de la ecuación

f(f(f(x))) = 17

para

0 \le x \le 2020.

Halle el residuo cuando

N

se divide entre

1000.

For real number

x

let

\lfloor x \rfloor

be the greatest integer less than or equal to

x,

and define

\{x\} = x - \lfloor x \rfloor

to be the fractional part of

x.

For example,

\{3\} = 0

and

\{4.56\} = 0.56.

Define

f(x) = x\{x\},

and let

N

be the number of real-valued solutions to the equation

f(f(f(x))) = 17

for

0 \le x \le 2020.

Find the remainder when

N

is divided by

1000.

Respuesta

Respuesta: 10

Conceptos:funciones piso y techo función Triángulo de Pascal

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

En cada intervalo

[k, k+1)

con

k \ge 0,

la función

f

crece desde

0

hacia

k + 1,

tomando cada valor de

[0, k+1)

exactamente una vez

On each interval

[k, k+1)

with

k \ge 0,

the function

f

increases from

0

toward

k + 1,

taking every value in

[0, k+1)

exactly once

Pista grande:

Así,

f(w) = c

con

n \lt c \lt n + 1

tiene una solución en

[k, k+1)

para cada

k \ge n.

Cuente las cadenas de intervalos

17 \le n \le k \le j

y sume con la identidad del palo de hockey.

So

f(w) = c

with

n \lt c \lt n + 1

has one solution in

[k, k+1)

for each

k \ge n.

Count chains of intervals

17 \le n \le k \le j

and sum with the hockey stick identity.

Solución:

En

[k, k+1)

con

k \ge 0

entero, escriba

x = k + t;

entonces

f(x) = (k + t)t

es estrictamente creciente desde

0

hacia

k + 1,

así que

f

aplica

[k, k+1)

biyectivamente sobre

[0, k+1).

Por lo tanto, para cualquier

c

con

n \lt c \lt n + 1,

la ecuación

f(w) = c

tiene exactamente una solución en

[k, k+1)

para cada entero

k \ge n,

y ninguna otra.

La ecuación

f(z) = 17

tiene una solución

z_n \in (n, n+1)

para cada

n \ge 17.

A su vez,

f(w) = z_n

tiene una solución en

(k, k+1)

para cada

k \ge n.

Por último, para

x \in [j, j+1)

con

0 \le j \le 2019,

f

aplica

[j, j+1)

biyectivamente sobre

[0, j+1),

así que el número de soluciones de

f(f(f(x))) = 17

ahí es igual al número de tales

w

con

w \lt j + 1,

es decir el número de pares

(n, k)

con

17 \le n \le k \le j,

que es

\binom{j - 15}{2}.

(El extremo

x = 2020

da

f(x) = 0

y no es solución.)

Por la identidad del palo de hockey,

\begin{aligned} N &= \sum_{j=17}^{2019} \binom{j - 15}{2} \\ &= \sum_{a=2}^{2004} \binom{a}{2} \\ &= \binom{2005}{3} \\ &= \frac{2005 \cdot 2004 \cdot 2003}{6} \\ &= 1{,}341{,}349{,}010, \end{aligned}

así que el residuo cuando

N

se divide entre

1000

es

10.

On

[k, k+1)

with

k \ge 0

an integer, write

x = k + t;

then

f(x) = (k + t)t

is strictly increasing from

0

toward

k + 1,

so

f

maps

[k, k+1)

bijectively onto

[0, k+1).

Hence for any

c

with

n \lt c \lt n + 1,

the equation

f(w) = c

has exactly one solution in

[k, k+1)

for each integer

k \ge n,

and no others.

The equation

f(z) = 17

has one solution

z_n \in (n, n+1)

for each

n \ge 17.

In turn,

f(w) = z_n

has one solution in

(k, k+1)

for each

k \ge n.

Finally, for

x \in [j, j+1)

with

0 \le j \le 2019,

f

maps

[j, j+1)

bijectively onto

[0, j+1),

so the number of solutions of

f(f(f(x))) = 17

there equals the number of such

w

with

w \lt j + 1,

namely the number of pairs

(n, k)

with

17 \le n \le k \le j,

which is

\binom{j - 15}{2}.

(The endpoint

x = 2020

gives

f(x) = 0

and is not a solution.)

By the hockey stick identity,

\begin{aligned} N &= \sum_{j=17}^{2019} \binom{j - 15}{2} \\ &= \sum_{a=2}^{2004} \binom{a}{2} \\ &= \binom{2005}{3} \\ &= \frac{2005 \cdot 2004 \cdot 2003}{6} \\ &= 1{,}341{,}349{,}010, \end{aligned}

so the remainder when

N

is divided by

1000

is

10.

15.

Sea

\triangle ABC

un triángulo acutángulo escaleno con circunferencia circunscrita

\omega.

Las tangentes a

\omega

en

B

y

C

se cortan en

T.

Sean

X

y

Y

las proyecciones de

T

sobre las rectas

AB

y

AC,

respectivamente. Suponga que

BT = CT = 16,

BC = 22,

y

TX^2 + TY^2 + XY^2 = 1143.

Halle

XY^2.

Let

\triangle ABC

be an acute scalene triangle with circumcircle

\omega.

The tangents to

\omega

at

B

and

C

intersect at

T.

Let

X

and

Y

be the projections of

T

onto lines

AB

and

AC,

respectively. Suppose

BT = CT = 16,

BC = 22,

and

TX^2 + TY^2 + XY^2 = 1143.

Find

XY^2.

Respuesta

Respuesta: 717

Conceptos:recta tangente cuadrilátero cíclico ley de los senos geometría analítica

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

El ángulo tangente-cuerda da

\angle ABT = 180^\circ - C,

así que

TX = 16 \sin C;

y

AXTY

es cíclico con diámetro

AT,

así que

XY = AT \sin A

The tangent-chord angle gives

\angle ABT = 180^\circ - C,

so

TX = 16 \sin C;

and

AXTY

is cyclic with diameter

AT,

so

XY = AT \sin A

Pista grande:

Coloque

B

y

C

en

(\mp 11, 0),

de modo que

T = (0, -\sqrt{135}).

Entonces

TX^2 + TY^2

y

XY^2

son ambos lineales en la coordenada

y

de

A.

Place

B

and

C

at

(\mp 11, 0),

so

T = (0, -\sqrt{135}).

Then

TX^2 + TY^2

and

XY^2

are both linear in the

y

-coordinate of

A.

Solución:

Por el ángulo tangente-cuerda,

\angle TBC = A,

así que

\angle ABT = B + A = 180^\circ - C

y

TX = TB \sin\angle ABT = 16 \sin C;

de manera similar

TY = 16 \sin B.

Además

\angle AXT = \angle AYT = 90^\circ,

así que

A,

X,

T,

y

Y

están sobre una circunferencia de diámetro

AT,

de donde

XY = AT \sin A.

Por la ley de senos,

\sin A = \frac{11}{R},

\sin B = \frac{AC}{2R},

y

\sin C = \frac{AB}{2R},

de modo que la condición dada se convierte en

\begin{aligned} &\frac{64\left(AB^2 + AC^2\right) + 121\,AT^2}{R^2} \\ &= 1143. \end{aligned}

Coloque

B = (-11, 0)

y

C = (11, 0).

Como

TB = 16

y

T

está en la mediatriz de

BC,

obtenemos

T = (0, -\sqrt{135}).

El circuncentro es

O = (0, k)

con

OB \perp BT,

lo que da

121 - k\sqrt{135} = 0,

así que

k = \frac{121}{\sqrt{135}}

y

R^2 = 121 + k^2 = \frac{30976}{135}.

Para

A = (x, y)

sobre

\omega,

desarrollando

x^2 + (y - k)^2 = R^2

se obtiene

x^2 + y^2 = \frac{242}{\sqrt{135}}\,y + 121.

Por lo tanto

\begin{aligned} AB^2 + AC^2 &= 2(x^2 + y^2) + 242 \\ &= \frac{484}{\sqrt{135}}\,y + 484, \end{aligned}

\begin{aligned} AT^2 &= x^2 + y^2 \\ &\quad {}+ 2\sqrt{135}\,y + 135 \\ &= \frac{512}{\sqrt{135}}\,y + 256. \end{aligned}

Sustituyendo,

64(AB^2 + AC^2) + 121\,AT^2

= \frac{92928}{\sqrt{135}}\,y + 61952

= 1143 \cdot \frac{30976}{135}

produce

y = \frac{291}{\sqrt{135}}.

Entonces

AT^2 = \frac{512 \cdot 291}{135} + 256 = \frac{183552}{135},

y

\begin{aligned} XY^2 &= AT^2 \sin^2 A \\ &= \frac{121\,AT^2}{R^2} \\ &= \frac{121 \cdot 183552}{30976} \\ &= \frac{183552}{256} = 717. \end{aligned}

By the tangent-chord angle,

\angle TBC = A,

so

\angle ABT = B + A = 180^\circ - C

and

TX = TB \sin\angle ABT = 16 \sin C;

similarly

TY = 16 \sin B.

Also

\angle AXT = \angle AYT = 90^\circ,

so

A,

X,

T,

and

Y

lie on a circle with diameter

AT,

whence

XY = AT \sin A.

Using the law of sines,

\sin A = \frac{11}{R},

\sin B = \frac{AC}{2R},

and

\sin C = \frac{AB}{2R},

so the given condition becomes

\begin{aligned} &\frac{64\left(AB^2 + AC^2\right) + 121\,AT^2}{R^2} \\ &= 1143. \end{aligned}

Place

B = (-11, 0)

and

C = (11, 0).

Since

TB = 16

and

T

lies on the perpendicular bisector of

BC,

we get

T = (0, -\sqrt{135}).

The circumcenter is

O = (0, k)

with

OB \perp BT,

which gives

121 - k\sqrt{135} = 0,

so

k = \frac{121}{\sqrt{135}}

and

R^2 = 121 + k^2 = \frac{30976}{135}.

For

A = (x, y)

on

\omega,

expanding

x^2 + (y - k)^2 = R^2

gives

x^2 + y^2 = \frac{242}{\sqrt{135}}\,y + 121.

Therefore

\begin{aligned} AB^2 + AC^2 &= 2(x^2 + y^2) + 242 \\ &= \frac{484}{\sqrt{135}}\,y + 484, \end{aligned}

\begin{aligned} AT^2 &= x^2 + y^2 \\ &\quad {}+ 2\sqrt{135}\,y + 135 \\ &= \frac{512}{\sqrt{135}}\,y + 256. \end{aligned}

Substituting,

64(AB^2 + AC^2) + 121\,AT^2

= \frac{92928}{\sqrt{135}}\,y + 61952

= 1143 \cdot \frac{30976}{135}

yields

y = \frac{291}{\sqrt{135}}.

Then

AT^2 = \frac{512 \cdot 291}{135} + 256 = \frac{183552}{135},

and

\begin{aligned} XY^2 &= AT^2 \sin^2 A \\ &= \frac{121\,AT^2}{R^2} \\ &= \frac{121 \cdot 183552}{30976} \\ &= \frac{183552}{256} = 717. \end{aligned}

Problemas del 2020 AIME II

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