Question

Los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A'B'C'$ están en el plano de coordenadas con vértices $A(0, 0),$ $B(0, 12),$ $C(16, 0),$ $A'(24, 18),$ $B'(36, 18),$ $C'(24, 2).$ Una rotación de $m$ grados en sentido horario alrededor del punto $(x, y),$ donde $0 \lt m \lt 180,$ transformará $\triangle ABC$ en $\triangle A'B'C'.$ Halle $m + x + y.$

Triangles $\triangle ABC$ and $\triangle A'B'C'$ lie in the coordinate plane with vertices $A(0, 0),$ $B(0, 12),$ $C(16, 0),$ $A'(24, 18),$ $B'(36, 18),$ $C'(24, 2).$ A rotation of $m$ degrees clockwise around the point $(x, y),$ where $0 \lt m \lt 180,$ will transform $\triangle ABC$ to $\triangle A'B'C'.$ Find $m + x + y.$

Respuesta

Solución:

El vector $\overrightarrow{AB} = (0, 12)$ es vertical, mientras que $\overrightarrow{A'B'} = (12, 0)$ es horizontal y de la misma longitud, así que la rotación gira las direcciones $90^\circ$ en sentido horario, y $m = 90.$

Una rotación de $90^\circ$ en sentido horario alrededor de $(a, b)$ envía $(p, q)$ a $(a + q - b,\ b - p + a).$ Aplicándola a $A = (0, 0)$ e igualando la imagen a $A' = (24, 18)$ se obtiene $a - b = 24$ y $a + b = 18,$ de donde $a = 21$ y $b = -3.$ Comprobando los otros vértices: $B = (0, 12)$ se envía a $(21 + 12 + 3,\ -3 + 21)$ $= (36, 18) = B',$ y $C = (16, 0)$ se envía a $(21 + 3,\ -3 - 16 + 21)$ $= (24, 2) = C'.$

Por lo tanto, $m + x + y = 90$ $+ 21$ $+ (-3) = 108.$

The vector $\overrightarrow{AB} = (0, 12)$ is vertical, while $\overrightarrow{A'B'} = (12, 0)$ is horizontal and of the same length, so the rotation turns directions by $90^\circ$ clockwise, and $m = 90.$

A $90^\circ$ clockwise rotation about $(a, b)$ sends $(p, q)$ to $(a + q - b,\ b - p + a).$ Applying this to $A = (0, 0)$ and setting the image equal to $A' = (24, 18)$ gives $a - b = 24$ and $a + b = 18,$ so $a = 21$ and $b = -3.$ Checking the other vertices: $B = (0, 12)$ maps to $(21 + 12 + 3,\ -3 + 21)$ $= (36, 18) = B',$ and $C = (16, 0)$ maps to $(21 + 3,\ -3 - 16 + 21)$ $= (24, 2) = C'.$

Therefore $m + x + y = 90$ $+ 21$ $+ (-3) = 108.$

2020 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años