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2020 AIME II Problema 4

Intenta el Problema 4 del 2020 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

4.

Los triángulos △ABC\triangle ABC y △A′B′C′\triangle A'B'C' están en el plano de coordenadas con vértices A(0,0),A(0, 0), B(0,12),B(0, 12), C(16,0),C(16, 0), A′(24,18),A'(24, 18), B′(36,18),B'(36, 18), C′(24,2).C'(24, 2). Una rotación de mm grados en sentido horario alrededor del punto (x,y),(x, y), donde 0<m<180,0 \lt m \lt 180, transformará △ABC\triangle ABC en △A′B′C′.\triangle A'B'C'. Halle m+x+y.m + x + y.
Triangles △ABC\triangle ABC and △A′B′C′\triangle A'B'C' lie in the coordinate plane with vertices A(0,0),A(0, 0), B(0,12),B(0, 12), C(16,0),C(16, 0), A′(24,18),A'(24, 18), B′(36,18),B'(36, 18), C′(24,2).C'(24, 2). A rotation of mm degrees clockwise around the point (x,y),(x, y), where 0<m<180,0 \lt m \lt 180, will transform △ABC\triangle ABC to △A′B′C′.\triangle A'B'C'. Find m+x+y.m + x + y.
Respuesta: 108
Conceptos:transformacióngeometría analítica
Nivel de dificultad: 2300
Pista pequeña:
El segmento ABAB es vertical mientras que su imagen A′B′A'B' es horizontal, así que la rotación debe ser de 9090 grados
Segment ABAB is vertical while its image A′B′A'B' is horizontal, so the rotation must be by 9090 degrees
Pista grande:
Una rotación de 90∘90^\circ en sentido horario alrededor de (a,b)(a, b) envía (p,q)(p, q) a (a+q−b, b−p+a);(a + q - b,\ b - p + a); haga coincidir A↦A′A \mapsto A'
A 90∘90^\circ clockwise rotation about (a,b)(a, b) sends (p,q)(p, q) to (a+q−b, b−p+a);(a + q - b,\ b - p + a); match A↦A′A \mapsto A'
Solución:
El vector AB→=(0,12)\overrightarrow{AB} = (0, 12) es vertical, mientras que A′B′→=(12,0)\overrightarrow{A'B'} = (12, 0) es horizontal y de la misma longitud, así que la rotación gira las direcciones 90∘90^\circ en sentido horario, y m=90.m = 90.
Una rotación de 90∘90^\circ en sentido horario alrededor de (a,b)(a, b) envía (p,q)(p, q) a (a+q−b, b−p+a).(a + q - b,\ b - p + a). Aplicándola a A=(0,0)A = (0, 0) e igualando la imagen a A′=(24,18)A' = (24, 18) se obtiene a−b=24a - b = 24 y a+b=18,a + b = 18, de donde a=21a = 21 y b=−3.b = -3. Comprobando los otros vértices: B=(0,12)B = (0, 12) se envía a (21+12+3, −3+21)(21 + 12 + 3,\ -3 + 21) =(36,18)=B′,= (36, 18) = B', y C=(16,0)C = (16, 0) se envía a (21+3, −3−16+21)(21 + 3,\ -3 - 16 + 21) =(24,2)=C′.= (24, 2) = C'.
Por lo tanto, m+x+y=90m + x + y = 90 +21+ 21 +(−3)=108.+ (-3) = 108.
The vector AB→=(0,12)\overrightarrow{AB} = (0, 12) is vertical, while A′B′→=(12,0)\overrightarrow{A'B'} = (12, 0) is horizontal and of the same length, so the rotation turns directions by 90∘90^\circ clockwise, and m=90.m = 90.
A 90∘90^\circ clockwise rotation about (a,b)(a, b) sends (p,q)(p, q) to (a+q−b, b−p+a).(a + q - b,\ b - p + a). Applying this to A=(0,0)A = (0, 0) and setting the image equal to A′=(24,18)A' = (24, 18) gives a−b=24a - b = 24 and a+b=18,a + b = 18, so a=21a = 21 and b=−3.b = -3. Checking the other vertices: B=(0,12)B = (0, 12) maps to (21+12+3, −3+21)(21 + 12 + 3,\ -3 + 21) =(36,18)=B′,= (36, 18) = B', and C=(16,0)C = (16, 0) maps to (21+3, −3−16+21)(21 + 3,\ -3 - 16 + 21) =(24,2)=C′.= (24, 2) = C'.
Therefore m+x+y=90m + x + y = 90 +21+ 21 +(−3)=108.+ (-3) = 108.
Problema 3#3
Examen completo
Problema 5#5

El Problema 4 en otros años

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