Question

¿Cuál es el menor entero positivo con seis divisores enteros positivos impares y doce divisores enteros positivos pares?

What is the smallest positive integer with six positive odd integer divisors and twelve positive even integer divisors?

Respuesta

Respuesta: 180

Conceptos:conteo de factores factorización en primos

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Escribe $N = 2^a m$ con $m$ impar; los divisores impares de $N$ son exactamente los divisores de $m$ .

Write $N = 2^a m$ with $m$ odd; the odd divisors of $N$ are exactly the divisors of $m$

Pista grande:

Cada divisor par es una potencia $2^k$ por un divisor impar, así que hay $a \cdot d(m)$ de ellos; halla el menor $m$ impar con $d(m) = 6$ .

Every even divisor is a power $2^k$ times an odd divisor, so there are $a \cdot d(m)$ of them; find the smallest odd $m$ with $d(m) = 6$

Solución:

Escribe $N = 2^a m$ con $m$ impar. Los divisores impares de $N$ son exactamente los divisores de $m,$ así que $d(m) = 6.$ Cada divisor par es $2^k$ (para $1 \le k \le a$ ) por un divisor impar, de modo que hay $a \cdot d(m) = 6a$ de ellos, y $6a = 12$ da $a = 2.$

Por tanto $N = 4m$ donde $m$ es el menor número impar con exactamente $6$ divisores. Las formas son $p^5$ (la menor $3^5 = 243$ ) y $p^2 q$ (la menor $3^2 \cdot 5 = 45$ ), así que $m = 45$ y $N = 4 \cdot 45 = 180.$

Write $N = 2^a m$ with $m$ odd. The odd divisors of $N$ are exactly the divisors of $m,$ so $d(m) = 6.$ Every even divisor is $2^k$ (for $1 \le k \le a$ ) times an odd divisor, so there are $a \cdot d(m) = 6a$ of them, and $6a = 12$ gives $a = 2.$

So $N = 4m$ where $m$ is the smallest odd number with exactly $6$ divisors. The shapes are $p^5$ (smallest $3^5 = 243$ ) and $p^2 q$ (smallest $3^2 \cdot 5 = 45$ ), so $m = 45$ and $N = 4 \cdot 45 = 180.$

2000 AIME II Problema 4

Respuesta: 180

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años