Question

Halle el número de enteros positivos menores o iguales que $2017$ cuya representación en base tres no contiene ningún dígito igual a $0.$

Find the number of positive integers less than or equal to $2017$ whose base-three representation contains no digit equal to $0.$

Respuesta

Solución:

Un entero positivo no tiene ningún $0$ en base tres exactamente cuando cada dígito es $1$ o $2.$ Para $k = 1, 2, \ldots, 6$ hay $2^k$ números de $k$ dígitos así, y todos ellos son a lo sumo $222222_3 = 728 \lt 2017.$

Como $2017 = 2202201_3,$ una cadena de siete dígitos formada por $1$ y $2$ es a lo sumo $2017$ exactamente cuando empieza por $11,$ $12,$ o $21:$ cualquier cadena que empiece por $22$ ya supera a $2202201_3$ en el tercer dígito, pues sus dígitos no son nulos. Eso da $3 \cdot 2^5 = 96$ números de siete dígitos.

El total es $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$ $+ 96 = 222.$

A positive integer has no $0$ in base three exactly when every digit is $1$ or $2.$ For $k = 1, 2, \ldots, 6$ there are $2^k$ such $k$ -digit numbers, and all of them are at most $222222_3 = 728 \lt 2017.$

Since $2017 = 2202201_3,$ a seven-digit string of $1$ s and $2$ s is at most $2017$ exactly when it begins with $11,$ $12,$ or $21:$ any string beginning $22$ already beats $2202201_3$ at the third digit, since its digits are nonzero. That gives $3 \cdot 2^5 = 96$ seven-digit numbers.

The total is $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$ $+ 96 = 222.$

2017 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años