Solución:

Sea $x$ el lado del cuadrado más pequeño (en el centro) y $y$ el lado del cuadrado pequeño justo debajo y a su derecha. Siguiendo las longitudes de los bordes por la figura, los cuadrados restantes tienen lados $x + y,$ luego $(x + y) + x = 2x + y,$ luego $(x + y) + (2x + y) = 3x + 2y,$ luego $(2x + y) + (3x + 2y) = 5x + 3y$ (el cuadrado superior izquierdo). El cuadrado alto de la derecha abarca los tres anteriores a lo largo de su borde izquierdo menos los solapes, lo que da lado $4x + 4y;$ el cuadrado inferior derecho tiene lado $(4x + 4y) + y = 4x + 5y;$ y el cuadrado inferior izquierdo tiene lado $x$ $+ (2x + y)$ $+ (5x + 3y)$ $= 8x + 4y.$

Midiendo el alto del rectángulo por sus lados izquierdo y derecho, $$\begin{aligned} &(8x + 4y) + (5x + 3y) \\ &= (4x + 5y) \\ &\quad {}+ (4x + 4y), \end{aligned}$$ lo que se simplifica a $5x = 2y.$ Tomando los menores enteros positivos, $x = 2$ y $y = 5,$ los nueve cuadrados tienen lados $2, 5, 7, 9, 16, 25, 28, 33, 36,$ y el rectángulo es $(36 + 33) \times (36 + 25) = 69 \times 61.$ Estas dimensiones son primas entre sí (cualquier escalado común lo rompería), y las áreas concuerdan: $69 \cdot 61 = 4209$ es igual a la suma de las áreas de los nueve cuadrados.

El perímetro es $2(69 + 61) = 260.$