Question

Halle el número de maneras en que $66$ monedas idénticas se pueden separar en tres montones no vacíos de modo que haya menos monedas en el primer montón que en el segundo y menos monedas en el segundo montón que en el tercero.

Find the number of ways $66$ identical coins can be separated into three nonempty piles so that there are fewer coins in the first pile than in the second pile and fewer coins in the second pile than in the third pile.

Respuesta

Solución:

Las ternas ordenadas $(a, b, c)$ de enteros positivos con $a + b + c = 66$ son en total $\binom{65}{2} = 2080.$ Exactamente una de ellas tiene los tres valores iguales, a saber $(22, 22, 22).$ Las ternas con exactamente dos valores iguales provienen de $2a + c = 66$ con $c \ne a:$ aquí $a$ puede ir de $1$ a $32$ excepto $22,$ lo que da $31$ multiconjuntos, cada uno ordenable de $3$ maneras, así que $93$ ternas ordenadas.

Por lo tanto $2080 - 1 - 93 = 1986$ ternas ordenadas tienen tres valores distintos, y cada elección no ordenada $a \lt b \lt c$ se cuenta $6$ veces. El número de separaciones válidas es $\frac{1986}{6} = 331.$

The ordered triples $(a, b, c)$ of positive integers with $a + b + c = 66$ number $\binom{65}{2} = 2080.$ Exactly one of them has all three values equal, namely $(22, 22, 22).$ Triples with exactly two values equal come from $2a + c = 66$ with $c \ne a:$ here $a$ can be $1$ through $32$ except $22,$ giving $31$ multisets, each arrangeable in $3$ ways, so $93$ ordered triples.

Hence $2080 - 1 - 93 = 1986$ ordered triples have three distinct values, and each unordered choice $a \lt b \lt c$ is counted $6$ times. The number of valid separations is $\frac{1986}{6} = 331.$

2021 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años