Question

Sean $x,$ $y,$ y $z$ números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones $\begin{aligned} xy + 4z &= 60, \\ yz + 4x &= 60, \\ zx + 4y &= 60. \end{aligned}$

Sea $S$ el conjunto de los posibles valores de $x.$ Halla la suma de los cuadrados de los elementos de $S.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ be real numbers satisfying the system of equations $\begin{aligned} xy + 4z &= 60, \\ yz + 4x &= 60, \\ zx + 4y &= 60. \end{aligned}$

Let $S$ be the set of possible values of $x.$ Find the sum of the squares of the elements of $S.$

Respuesta

Solución:

Restar la segunda ecuación de la primera da $xy - yz + 4z - 4x = 0,$ que se factoriza como $(y - 4)(x - z) = 0.$ Así que $y = 4$ o $x = z.$

Si $y = 4:$ la primera ecuación se convierte en $4x + 4z = 60,$ así que $x + z = 15,$ y la segunda vuelve a ser $4z + 4x = 60$ mientras que la tercera da $zx = 44.$ Entonces $x$ y $z$ son raíces de $t^2 - 15t + 44 = (t - 4)(t - 11),$ así que $x \in \{4, 11\}.$

Si $x = z:$ la primera ecuación queda $x(y + 4) = 60,$ así que $y = \frac{60}{x} - 4,$ y la tercera queda $x^2 + 4y = 60.$ Sustituyendo, $\begin{gathered} x^2 + \frac{240}{x} - 16 = 60 \\ \Longrightarrow x^3 - 76x + 240 = 0 \\ = (x - 4)(x - 6)(x + 10), \end{gathered}$ así que $x \in \{4, 6, -10\},$ cada uno con $y$ y $z$ reales. Por lo tanto $S = \{-10, 4, 6, 11\}$ y la suma de los cuadrados es $100 + 16 + 36 + 121 = 273.$

Subtracting the second equation from the first gives $xy - yz + 4z - 4x = 0,$ which factors as $(y - 4)(x - z) = 0.$ So $y = 4$ or $x = z.$

If $y = 4:$ the first equation becomes $4x + 4z = 60,$ so $x + z = 15,$ and the second becomes $4z + 4x = 60$ again while the third gives $zx = 44.$ Then $x$ and $z$ are roots of $t^2 - 15t + 44 = (t - 4)(t - 11),$ so $x \in \{4, 11\}.$

If $x = z:$ the first equation reads $x(y + 4) = 60,$ so $y = \frac{60}{x} - 4,$ and the third reads $x^2 + 4y = 60.$ Substituting, $\begin{gathered} x^2 + \frac{240}{x} - 16 = 60 \\ \Longrightarrow x^3 - 76x + 240 = 0 \\ = (x - 4)(x - 6)(x + 10), \end{gathered}$ so $x \in \{4, 6, -10\},$ each with real $y$ and $z.$ Hence $S = \{-10, 4, 6, 11\}$ and the sum of squares is $100 + 16 + 36 + 121 = 273.$

2023 AIME II Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años