Question

Un prisma recto de altura $h$ tiene bases que son hexágonos regulares con lados de longitud $12.$ Un vértice $A$ del prisma y sus tres vértices adyacentes son los vértices de una pirámide triangular. El ángulo diedro (el ángulo entre los dos planos) formado por la cara de la pirámide que está en una base del prisma y la cara de la pirámide que no contiene a $A$ mide $60^\circ.$ Halla $h^2.$

A right prism with height $h$ has bases that are regular hexagons with sides of length $12.$ A vertex $A$ of the prism and its three adjacent vertices are the vertices of a triangular pyramid. The dihedral angle (the angle between the two planes) formed by the face of the pyramid that lies in a base of the prism and the face of the pyramid that does not contain $A$ measures $60^\circ.$ Find $h^2.$

Respuesta

Solución:

Los tres vértices adyacentes a $A$ son sus dos vecinos $B$ y $C$ en la misma base hexagonal y el vértice $D$ directamente encima de $A,$ con $DA = h$ perpendicular a la base. La cara en la base es $ABC,$ y la cara que evita $A$ es $BCD;$ se encuentran a lo largo de $\overline{BC}.$

Sea $E$ el punto medio de $\overline{BC}.$ Como $AB = AC = 12$ y $\angle BAC = 120^\circ$ (el ángulo interior de un hexágono regular), $\overline{AE} \perp \overline{BC}$ y $AE = 12\cos 60^\circ = 6.$ Como $\overline{DA}$ es perpendicular a la base, $\overline{DE} \perp \overline{BC}$ también, así que el ángulo diedro es $\angle DEA = 60^\circ.$

En el triángulo rectángulo $DAE,$ $h = AE\tan 60^\circ = 6\sqrt{3},$ así que $h^2 = 108.$

The three vertices adjacent to $A$ are its two neighbors $B$ and $C$ in the same hexagonal base and the vertex $D$ directly above $A,$ with $DA = h$ perpendicular to the base. The face in the base is $ABC,$ and the face avoiding $A$ is $BCD;$ they meet along $\overline{BC}.$

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Since $AB = AC = 12$ and $\angle BAC = 120^\circ$ (the interior angle of a regular hexagon), $\overline{AE} \perp \overline{BC}$ and $AE = 12\cos 60^\circ = 6.$ Because $\overline{DA}$ is perpendicular to the base, $\overline{DE} \perp \overline{BC}$ as well, so the dihedral angle is $\angle DEA = 60^\circ.$

In right triangle $DAE,$ $h = AE\tan 60^\circ = 6\sqrt{3},$ so $h^2 = 108.$

2016 AIME I Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años