Question

Ana, Bob y Cao pedalean a velocidades constantes de $8.6$ metros por segundo, $6.2$ metros por segundo y $5$ metros por segundo, respectivamente. Todos comienzan a pedalear al mismo tiempo desde la esquina noreste de un campo rectangular cuyo lado más largo va hacia el oeste. Ana empieza a pedalear a lo largo del borde del campo, inicialmente hacia el oeste; Bob empieza a pedalear a lo largo del borde del campo, inicialmente hacia el sur; y Cao pedalea en línea recta a través del campo hasta un punto $D$ en el borde sur del campo. Cao llega al punto $D$ en el mismo instante en que Ana y Bob llegan a $D$ por primera vez. La razón entre la longitud del campo, su anchura y la distancia del punto $D$ a la esquina sureste del campo puede representarse como $p : q : r,$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son enteros positivos con $p$ y $q$ primos entre sí. Halle $p + q + r.$

Ana, Bob, and Cao bike at constant rates of $8.6$ meters per second, $6.2$ meters per second, and $5$ meters per second, respectively. They all begin biking at the same time from the northeast corner of a rectangular field whose longer side runs due west. Ana starts biking along the edge of the field, initially heading west, Bob starts biking along the edge of the field, initially heading south, and Cao bikes in a straight line across the field to a point $D$ on the south edge of the field. Cao arrives at point $D$ at the same time that Ana and Bob arrive at $D$ for the first time. The ratio of the field’s length to the field’s width to the distance from point $D$ to the southeast corner of the field can be represented as $p : q : r,$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers with $p$ and $q$ relatively prime. Find $p + q + r.$

Respuesta

Respuesta: 61

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones factorización

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Sean $L$ la longitud del campo y $W$ su anchura, y sea $x$ la distancia de $D$ a la esquina sureste; iguale los tiempos de recorrido de los tres ciclistas.

Let the field be $L$ by $W$ and let $x$ be the distance from $D$ to the southeast corner; set the three riders’ travel times equal

Pista grande:

Igualar los tiempos de Bob y Cao da $168W^2 - 625Wx + 168x^2 = 0,$ que se factoriza en dos factores lineales.

Equating Bob’s and Cao’s times gives $168W^2 - 625Wx + 168x^2 = 0,$ which factors into two linear factors

Solución:

Sean $L$ la longitud del campo en dirección este-oeste y $W$ su anchura en dirección norte-sur, con $L \gt W,$ y sea $x$ la distancia de $D$ a la esquina sureste. Ana recorre el perímetro una distancia $2L + W - x,$ Bob recorre $W + x,$ y Cao recorre $\sqrt{W^2 + x^2},$ todos en el mismo tiempo: $\begin{aligned} \frac{2L + W - x}{8.6} &= \frac{W + x}{6.2} \\ &= \frac{\sqrt{W^2 + x^2}}{5}. \end{aligned}$

La primera igualdad da $L = \frac{6W + 37x}{31}.$ Elevando al cuadrado la segunda, $25(W + x)^2 = 38.44\,(W^2 + x^2),$ que se simplifica a $168W^2 - 625Wx + 168x^2 = 0,$ y se factoriza como $(24W - 7x)(7W - 24x) = 0.$

La raíz $x = \frac{7W}{24}$ da $L = \frac{13W}{24} \lt W,$ lo cual es imposible, así que $x = \frac{24W}{7}$ y entonces $L = \frac{30W}{7}.$ La razón es $L : W : x = 30 : 7 : 24,$ y $p + q + r = 30 + 7 + 24 = 61.$

Let the field have length $L$ (west) and width $W$ (south) with $L \gt W,$ and let $x$ be the distance from $D$ to the southeast corner. Ana rides around the perimeter a distance $2L + W - x,$ Bob rides $W + x,$ and Cao rides $\sqrt{W^2 + x^2},$ all in the same time: $\begin{aligned} \frac{2L + W - x}{8.6} &= \frac{W + x}{6.2} \\ &= \frac{\sqrt{W^2 + x^2}}{5}. \end{aligned}$

The first equality gives $L = \frac{6W + 37x}{31}.$ Squaring the second, $25(W + x)^2 = 38.44\,(W^2 + x^2),$ which simplifies to $168W^2 - 625Wx + 168x^2 = 0,$ factoring as $(24W - 7x)(7W - 24x) = 0.$

The root $x = \frac{7W}{24}$ gives $L = \frac{13W}{24} \lt W,$ which is impossible, so $x = \frac{24W}{7}$ and then $L = \frac{30W}{7}.$ The ratio is $L : W : x = 30 : 7 : 24,$ and $p + q + r = 30 + 7 + 24 = 61.$

2012 AIME II Problema 4

Respuesta: 61

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años