Question

En la figura adjunta, el cuadrado exterior $S$ tiene lado $40.$ Dentro de $S$ se construye un segundo cuadrado $S'$ de lado $15$ , con el mismo centro que $S$ y con lados paralelos a los de $S.$ Desde cada punto medio de un lado de $S,$ se trazan segmentos hacia los dos vértices más cercanos de $S'.$ El resultado es una figura en forma de estrella de cuatro puntas inscrita en $S.$ La estrella se recorta y luego se pliega para formar una pirámide con base $S'.$ Halle el volumen de esta pirámide.

In the accompanying figure, the outer square $S$ has side length $40.$ A second square $S'$ of side length $15$ is constructed inside $S$ with the same center as $S$ and with sides parallel to those of $S.$ From each midpoint of a side of $S,$ segments are drawn to the two closest vertices of $S'.$ The result is a four-pointed starlike figure inscribed in $S.$ The star figure is cut out and then folded to form a pyramid with base $S'.$ Find the volume of this pyramid.

Respuesta

Solución:

Al plegar la estrella a lo largo de los lados de $S'$ se levantan las cuatro puntas triangulares de modo que sus vértices (los puntos medios de los lados de $S$ ) se encuentran en un único ápice $V.$ Sea $M$ el centro de $S'$ y $P$ el punto medio de uno de sus lados. En la figura plana, la distancia de $P$ a la punta de su triángulo es $20 - \frac{15}{2} = \frac{25}{2},$ y esta se convierte en la generatriz $PV$ tras el plegado.

El triángulo $PMV$ tiene un ángulo recto en $M,$ con $PM = \frac{15}{2},$ así que la altura es $\begin{aligned} VM &= \sqrt{\left(\tfrac{25}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{15}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{100} = 10. \end{aligned}$ El volumen es $\frac{1}{3} \cdot 15^2 \cdot 10 = 750.$

Folding the star along the sides of $S'$ lifts the four triangular points so that their tips (the midpoints of the sides of $S$ ) meet at a single apex $V.$ Let $M$ be the center of $S'$ and $P$ the midpoint of one of its sides. In the flat figure, the distance from $P$ to the tip of its triangle is $20 - \frac{15}{2} = \frac{25}{2},$ and this becomes the slant $PV$ after folding.

Triangle $PMV$ has a right angle at $M,$ with $PM = \frac{15}{2},$ so the height is $\begin{aligned} VM &= \sqrt{\left(\tfrac{25}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{15}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{100} = 10. \end{aligned}$ The volume is $\frac{1}{3} \cdot 15^2 \cdot 10 = 750.$

2012 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años