Question

En el triángulo equilátero $\triangle ABC$ sean $D$ y $E$ los puntos que trisecan $\overline{BC}.$ Entonces $\sin(\angle DAE)$ puede expresarse en la forma $\frac{a\sqrt{b}}{c},$ donde $a$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí, y $b$ es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

In equilateral $\triangle ABC$ let points $D$ and $E$ trisect $\overline{BC}.$ Then $\sin(\angle DAE)$ can be expressed in the form $\frac{a\sqrt{b}}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers, and $b$ is an integer that is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Escala de modo que la longitud del lado sea $6,$ con $BD = DE = EC = 2.$ En el triángulo $AEC,$ la ley de cosenos da $\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}$ así que $AE = 2\sqrt{7},$ y $AD = 2\sqrt{7}$ por simetría.

Como $DE$ es un tercio de $BC$ y los triángulos $ADE$ y $ABC$ comparten el vértice $A,$ obtenemos $[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}$ $= 3\sqrt{3}.$ Por otro lado $[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE$ $\cdot \sin(\angle DAE)$ $= 14\sin(\angle DAE).$

Por lo tanto $\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},$ y $a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.$

Scale so the side length is $6,$ with $BD = DE = EC = 2.$ In triangle $AEC,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}$ so $AE = 2\sqrt{7},$ and $AD = 2\sqrt{7}$ by symmetry.

Since $DE$ is one third of $BC$ and triangles $ADE$ and $ABC$ share the apex $A,$ we get $[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}$ $= 3\sqrt{3}.$ On the other hand $[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE$ $\cdot \sin(\angle DAE)$ $= 14\sin(\angle DAE).$

Therefore $\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},$ and $a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.$

2013 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años