Question

En el triángulo equilátero

\triangle ABC

sean

D

y

E

los puntos que trisecan

\overline{BC}.

Entonces

\sin(\angle DAE)

puede expresarse en la forma

\frac{a\sqrt{b}}{c},

donde

a

y

c

son enteros positivos primos entre sí, y

b

es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

a + b + c.

In equilateral

\triangle ABC

let points

D

and

E

trisect

\overline{BC}.

Then

\sin(\angle DAE)

can be expressed in the form

\frac{a\sqrt{b}}{c},

where

a

and

c

are relatively prime positive integers, and

b

is an integer that is not divisible by the square of any prime. Find

a + b + c.

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Toma longitud de lado

6,

de modo que

BD = DE = EC = 2,

y halla

AD = AE

con la ley de cosenos.

Take side length

6,

so

BD = DE = EC = 2,

and find

AD = AE

with the law of cosines

Pista grande:

El triángulo

ADE

tiene un tercio del área de

ABC;

compara eso con

\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle DAE)

.

Triangle

ADE

has one third the area of

ABC;

compare that with

\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle DAE)

Solución:

Escala de modo que la longitud del lado sea

6,

con

BD = DE = EC = 2.

En el triángulo

AEC,

la ley de cosenos da

\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}

así que

AE = 2\sqrt{7},

y

AD = 2\sqrt{7}

por simetría.

Como

DE

es un tercio de

BC

y los triángulos

ADE

y

ABC

comparten el vértice

A,

obtenemos

[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]

= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}

= 3\sqrt{3}.

Por otro lado

[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE

\cdot \sin(\angle DAE)

= 14\sin(\angle DAE).

Por lo tanto

\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},

y

a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.

Scale so the side length is

6,

with

BD = DE = EC = 2.

In triangle

AEC,

the law of cosines gives

\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}

so

AE = 2\sqrt{7},

and

AD = 2\sqrt{7}

by symmetry.

Since

DE

is one third of

BC

and triangles

ADE

and

ABC

share the apex

A,

we get

[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]

= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}

= 3\sqrt{3}.

On the other hand

[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE

\cdot \sin(\angle DAE)

= 14\sin(\angle DAE).

Therefore

\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},

and

a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.

2013 AIME II Problema 5

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años