2013 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Supongamos que la medición del tiempo durante el día se convierte al sistema métrico, de modo que cada día tiene

10

horas métricas y cada hora métrica tiene

100

minutos métricos. Se producirían entonces relojes digitales que marcarían

9{:}99

justo antes de la medianoche,

0{:}00

a la medianoche,

1{:}25

a las antiguas

3{:}00

AM y

7{:}50

a las antiguas

6{:}00

PM. Tras la conversión, una persona que quisiera despertarse en el equivalente de las antiguas

6{:}36

AM ajustaría su nuevo despertador digital en

A{:}BC,

donde

A,

B,

y

C

son dígitos. Halla

100A + 10B + C.

Suppose that the measurement of time during the day is converted to the metric system so that each day has

10

metric hours, and each metric hour has

100

metric minutes. Digital clocks would then be produced that would read

9{:}99

just before midnight,

0{:}00

at midnight,

1{:}25

at the former

3{:}00

AM, and

7{:}50

at the former

6{:}00

PM. After the conversion, a person who wanted to wake up at the equivalent of the former

6{:}36

AM would set his new digital alarm clock for

A{:}BC,

where

A,

B,

and

C

are digits. Find

100A + 10B + C.

Respuesta

Respuesta: 275

Conceptos:reloj conversión de unidades razón y proporción

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Ambos relojes miden la misma fracción de un día completo, y un día métrico tiene

1000

minutos métricos.

Both clocks measure the same fraction of a full day, and a metric day has

1000

metric minutes

Pista grande:

Las antiguas

6{:}36

AM ocurren

396

de los

1440

minutos ordinarios del día; el ajuste del despertador es esa misma fracción de

1000

minutos métricos.

The former

6{:}36

AM comes

396

of the

1440

ordinary minutes into the day; the alarm setting is that same fraction of

1000

metric minutes

Solución:

Un día ordinario tiene

60 \cdot 24 = 1440

minutos, y las

6{:}36

AM ocurren

6 \cdot 60 + 36 = 396

minutos después de la medianoche. Un día métrico tiene

10 \cdot 100 = 1000

minutos métricos, así que el tiempo métrico equivalente es

\frac{396}{1440} \cdot 1000 = 275

minutos métricos después de la medianoche, que el nuevo reloj muestra como

2{:}75.

Por lo tanto

100A + 10B + C = 275.

An ordinary day has

60 \cdot 24 = 1440

minutes, and

6{:}36

AM comes

6 \cdot 60 + 36 = 396

minutes after midnight. A metric day has

10 \cdot 100 = 1000

metric minutes, so the equivalent metric time is

\frac{396}{1440} \cdot 1000 = 275

metric minutes after midnight, which the new clock displays as

2{:}75.

Therefore

100A + 10B + C = 275.

2.

Los enteros positivos

a

y

b

satisfacen la condición

\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.

Halla la suma de todos los valores posibles de

a + b.

Positive integers

a

and

b

satisfy the condition

\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.

Find the sum of all possible values of

a + b.

Respuesta

Respuesta: 881

Conceptos:logaritmo exponente análisis por casos

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Ve eliminando los logaritmos de afuera hacia adentro: la ecuación exterior dice que la siguiente expresión es igual a

1,

y luego la siguiente es igual a

2^a

.

Peel the logarithms from the outside in: the outer equation says the next expression equals

1,

then the next equals

2^a

Pista grande:

Todo se reduce a

b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125,

así que

2^a

solo puede ser

2,

4,

u

8

.

Everything reduces to

b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125,

so

2^a

can only be

2,

4,

or

8

Solución:

Trabajando de afuera hacia adentro,

\log_2(\cdot) = 0

obliga a que

\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,

de modo que

\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,

y por tanto

2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.

De aquí

b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.

Como

a \ge 1

y

b

es un entero positivo,

2^a

debe ser uno de

2,

4,

u

8,

lo que da

(a, b) = (1, 500),

(2, 250),

y

(3, 125).

La suma de todos los valores posibles de

a + b

es

501 + 252 + 128 = 881.

Working from the outside in,

\log_2(\cdot) = 0

forces

\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,

so

\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,

so

2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.

Hence

b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.

Since

a \ge 1

and

b

is a positive integer,

2^a

must be one of

2,

4,

8,

giving

(a, b) = (1, 500),

(2, 250),

and

(3, 125).

The sum of all possible values of

a + b

is

501 + 252 + 128 = 881.

3.

Una vela grande mide

119

centímetros de alto. Está diseñada para consumirse más rápido cuando recién se enciende y más lento a medida que se acerca a su base. En concreto, la vela tarda

10

segundos en consumir el primer centímetro desde arriba,

20

segundos en consumir el segundo centímetro, y

10k

segundos en consumir el

k

-ésimo centímetro. Supón que la vela tarda

T

segundos en consumirse por completo. Entonces

\frac{T}{2}

segundos después de encenderla, la altura de la vela en centímetros será

h.

Halla

10h.

A large candle is

119

centimeters tall. It is designed to burn down more quickly when it is first lit and more slowly as it approaches its bottom. Specifically, the candle takes

10

seconds to burn down the first centimeter from the top,

20

seconds to burn down the second centimeter, and

10k

seconds to burn down the

k

-th centimeter. Suppose it takes

T

seconds for the candle to burn down completely. Then

\frac{T}{2}

seconds after it is lit, the candle’s height in centimeters will be

h.

Find

10h.

Respuesta

Respuesta: 350

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria factorización

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Consumir los primeros

x

centímetros toma

10(1 + 2 + \cdots + x) = 5x(x+1)

segundos.

Burning the first

x

centimeters takes

10(1 + 2 + \cdots + x) = 5x(x+1)

seconds

Pista grande:

Iguala

5x(x+1)

a

\frac{T}{2} = 5 \cdot 60 \cdot 119

y escribe

7140

como producto de dos enteros consecutivos.

Set

5x(x+1)

equal to

\frac{T}{2} = 5 \cdot 60 \cdot 119

and write

7140

as a product of two consecutive integers

Solución:

Consumir los primeros

x

centímetros toma

10(1 + 2 + \cdots + x) = 5x(x+1)

segundos, así que

T = 5 \cdot 119 \cdot 120 = 71400

y

\frac{T}{2} = 35700.

Al plantear

5x(x+1) = 35700

se obtiene

x(x+1) = 7140 = 84 \cdot 85,

así que en el instante

\frac{T}{2}

la vela ha consumido exactamente

84

centímetros. Su altura es

h = 119 - 84 = 35,

y

10h = 350.

Burning the first

x

centimeters takes

10(1 + 2 + \cdots + x) = 5x(x+1)

seconds, so

T = 5 \cdot 119 \cdot 120 = 71400

and

\frac{T}{2} = 35700.

Setting

5x(x+1) = 35700

gives

x(x+1) = 7140 = 84 \cdot 85,

so at time

\frac{T}{2}

the candle has burned down exactly

84

centimeters. Its height is

h = 119 - 84 = 35,

and

10h = 350.

4.

En el plano cartesiano sean

A = (1, 0)

y

B = (2, 2\sqrt{3}).

Se construye el triángulo equilátero

ABC

de modo que

C

quede en el primer cuadrante. Sea

P = (x, y)

el centro de

\triangle ABC.

Entonces

x \cdot y

puede escribirse como

\frac{p\sqrt{q}}{r},

donde

p

y

r

son enteros positivos primos entre sí y

q

es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

p + q + r.

In the Cartesian plane let

A = (1, 0)

and

B = (2, 2\sqrt{3}).

Equilateral triangle

ABC

is constructed so that

C

lies in the first quadrant. Let

P = (x, y)

be the center of

\triangle ABC.

Then

x \cdot y

can be written as

\frac{p\sqrt{q}}{r},

where

p

and

r

are relatively prime positive integers and

q

is an integer that is not divisible by the square of any prime. Find

p + q + r.

Respuesta

Respuesta: 40

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero baricentro vector

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

C

es el punto medio de

\overline{AB}

desplazado perpendicularmente en

\frac{\sqrt{3}}{2}

veces la longitud de

\overline{AB},

y

P

es el baricentro.

C

is the midpoint of

\overline{AB}

shifted perpendicularly by

\frac{\sqrt{3}}{2}

times the length of

\overline{AB},

and

P

is the centroid

Pista grande:

Un vector unitario perpendicular a

\overrightarrow{AB} = (1, 2\sqrt{3})

es

\frac{1}{\sqrt{13}}(2\sqrt{3}, -1);

promedia los tres vértices para obtener

P

.

A unit vector perpendicular to

\overrightarrow{AB} = (1, 2\sqrt{3})

is

\frac{1}{\sqrt{13}}(2\sqrt{3}, -1);

average the three vertices to get

P

Solución:

El punto medio de

\overline{AB}

es

M = \left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right),

y

AB = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}.

El tercer vértice está a distancia

\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{13}

de

M

en una dirección perpendicular a

\overrightarrow{AB} = (1, 2\sqrt{3});

una perpendicular unitaria es

\frac{1}{\sqrt{13}}(2\sqrt{3}, -1).

Tomando el signo que lo sitúa en el primer cuadrante, obtenemos

\begin{aligned} C &= M + \frac{\sqrt{3}}{2}\,(2\sqrt{3}, -1) \\ &= \left(\frac{9}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned}

(la otra opción tiene coordenada

x

negativa).

El centro de un triángulo equilátero es su baricentro, el promedio de los vértices:

\begin{aligned} P &= \small \left(\frac{1 + 2 + \frac{9}{2}}{3},\ \frac{0 + 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} \right) \\ &= \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{6}\right). \end{aligned}

Entonces

x \cdot y = \frac{5}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{12},

así que

p + q + r = 25 + 3 + 12 = 40.

The midpoint of

\overline{AB}

is

M = \left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right),

and

AB = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}.

The third vertex lies at distance

\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{13}

from

M

along a direction perpendicular to

\overrightarrow{AB} = (1, 2\sqrt{3});

a unit perpendicular is

\frac{1}{\sqrt{13}}(2\sqrt{3}, -1).

Taking the sign that lands in the first quadrant,

\begin{aligned} C &= M + \frac{\sqrt{3}}{2}\,(2\sqrt{3}, -1) \\ &= \left(\frac{9}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned}

(the other choice has negative

x

-coordinate).

The center of an equilateral triangle is its centroid, the average of the vertices:

\begin{aligned} P &= \small \left(\frac{1 + 2 + \frac{9}{2}}{3},\ \frac{0 + 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} \right) \\ &= \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{6}\right). \end{aligned}

Then

x \cdot y = \frac{5}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{12},

so

p + q + r = 25 + 3 + 12 = 40.

5.

En el triángulo equilátero

\triangle ABC

sean

D

y

E

los puntos que trisecan

\overline{BC}.

Entonces

\sin(\angle DAE)

puede expresarse en la forma

\frac{a\sqrt{b}}{c},

donde

a

y

c

son enteros positivos primos entre sí, y

b

es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

a + b + c.

In equilateral

\triangle ABC

let points

D

and

E

trisect

\overline{BC}.

Then

\sin(\angle DAE)

can be expressed in the form

\frac{a\sqrt{b}}{c},

where

a

and

c

are relatively prime positive integers, and

b

is an integer that is not divisible by the square of any prime. Find

a + b + c.

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Toma longitud de lado

6,

de modo que

BD = DE = EC = 2,

y halla

AD = AE

con la ley de cosenos.

Take side length

6,

so

BD = DE = EC = 2,

and find

AD = AE

with the law of cosines

Pista grande:

El triángulo

ADE

tiene un tercio del área de

ABC;

compara eso con

\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle DAE)

.

Triangle

ADE

has one third the area of

ABC;

compare that with

\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle DAE)

Solución:

Escala de modo que la longitud del lado sea

6,

con

BD = DE = EC = 2.

En el triángulo

AEC,

la ley de cosenos da

\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}

así que

AE = 2\sqrt{7},

y

AD = 2\sqrt{7}

por simetría.

Como

DE

es un tercio de

BC

y los triángulos

ADE

y

ABC

comparten el vértice

A,

obtenemos

[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]

= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}

= 3\sqrt{3}.

Por otro lado

[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE

\cdot \sin(\angle DAE)

= 14\sin(\angle DAE).

Por lo tanto

\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},

y

a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.

Scale so the side length is

6,

with

BD = DE = EC = 2.

In triangle

AEC,

the law of cosines gives

\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}

so

AE = 2\sqrt{7},

and

AD = 2\sqrt{7}

by symmetry.

Since

DE

is one third of

BC

and triangles

ADE

and

ABC

share the apex

A,

we get

[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]

= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}

= 3\sqrt{3}.

On the other hand

[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE

\cdot \sin(\angle DAE)

= 14\sin(\angle DAE).

Therefore

\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},

and

a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.

6.

Halla el menor entero positivo

N

tal que el conjunto de

1000

enteros consecutivos que comienza en

1000 \cdot N

no contenga ningún cuadrado de un entero.

Find the least positive integer

N

such that the set of

1000

consecutive integers beginning with

1000 \cdot N

contains no square of an integer.

Respuesta

Respuesta: 282

Conceptos:cuadrado perfecto desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Los cuadrados consecutivos difieren en

2x + 1,

así que un bloque de

1000

enteros solo puede saltarse una vez que

x \ge 500

.

Consecutive squares differ by

2x + 1,

so a block of

1000

integers can be skipped only once

x \ge 500

Pista grande:

Escribe

x = 500 + a,

de modo que

x^2 = 250000 + 1000a + a^2.

Halla el menor

a

con

a^2 + 2a + 1001 \ge 2000.

Write

x = 500 + a,

so

x^2 = 250000 + 1000a + a^2.

Find the least

a

with

a^2 + 2a + 1001 \ge 2000.

Solución:

El bloque

\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}

no contiene ningún cuadrado exactamente cuando queda entre dos cuadrados consecutivos

x^2

y

(x+1)^2,

lo que requiere

(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000,

así que

x \ge 500.

En particular, todo bloque por debajo de

500^2 = 250000

contiene un cuadrado, de modo que buscamos a partir de ahí.

Escribe

x = 500 + a

con

a \ge 0.

Entonces

x^2 = 1000(250 + a) + a^2,

así que mientras

a^2 \lt 1000

(es decir,

a \le 31

), el cuadrado

x^2

cae en el bloque

250 + a;

estos cubren los bloques

250

hasta

281.

El bloque

251 + a

queda libre de cuadrados exactamente cuando

\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}

es decir, cuando

a^2 + 2a \ge 999.

Para

a \le 30

esto no se cumple (así que

(x+1)^2

cae en el bloque

251 + a

), y se cumple por primera vez en

a = 31,

ya que

961 + 62 = 1023.

En efecto,

531^2 = 281961

y

532^2 = 283024

quedan a ambos lados del bloque que empieza en

282000.

El menor

N

de este tipo es

251 + 31 = 282.

The block

\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}

misses all squares exactly when some consecutive squares

x^2

and

(x+1)^2

jump over it, which requires

(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000,

so

x \ge 500.

In particular every block below

500^2 = 250000

contains a square, so we search from there.

Write

x = 500 + a

with

a \ge 0.

Then

x^2 = 1000(250 + a) + a^2,

so as long as

a^2 \lt 1000

(that is,

a \le 31

), the square

x^2

lies in block

250 + a;

these cover blocks

250

through

281.

Block

251 + a

is skipped exactly when

\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}

that is,

a^2 + 2a \ge 999.

For

a \le 30

this fails (so

(x+1)^2

lands in block

251 + a

), and it first holds at

a = 31,

since

961 + 62 = 1023.

Indeed

531^2 = 281961

and

532^2 = 283024

straddle the block starting at

282000.

The least such

N

is

251 + 31 = 282.

7.

A un grupo de empleados se le asigna la tarea de ordenar

1775

archivos. Cada empleado ordena a un ritmo constante de

30

archivos por hora. Al final de la primera hora, algunos de los empleados son reasignados a otra tarea; al final de la segunda hora, el mismo número de los empleados restantes también son reasignados a otra tarea, y una reasignación similar ocurre al final de la tercera hora. El grupo termina de ordenar en

3

horas y

10

minutos. Halla la cantidad de archivos ordenados durante la primera hora y media de ordenamiento.

A group of clerks is assigned the task of sorting

1775

files. Each clerk sorts at a constant rate of

30

files per hour. At the end of the first hour, some of the clerks are reassigned to another task; at the end of the second hour, the same number of the remaining clerks are also reassigned to another task, and a similar reassignment occurs at the end of the third hour. The group finishes the sorting in

3

hours and

10

minutes. Find the number of files sorted during the first one and a half hours of sorting.

Respuesta

Respuesta: 945

Conceptos:tasa Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Con

n

empleados al inicio y

k

retirados al final de cada hora, suma los archivos ordenados en cada hora más los

10

minutos finales.

With

n

clerks at the start and

k

removed at the end of each hour, add up the files sorted in each hour plus the final

10

minutes

Pista grande:

El total se reduce a

19n - 21k = 355;

resuelve en enteros positivos trabajando módulo

19,

manteniendo

n - 3k \gt 0

.

The total reduces to

19n - 21k = 355;

solve in positive integers by working modulo

19,

keeping

n - 3k \gt 0

Solución:

Sean

n

los empleados que comienzan y

k

los reasignados al final de cada hora. En los

10

minutos finales cada empleado restante ordena

5

archivos, así que

\begin{aligned} &30n + 30(n - k) + 30(n - 2k) \\ &\quad {}+ 5(n - 3k) = 1775, \end{aligned}

lo que se simplifica a

95n - 105k = 1775,

o

19n - 21k = 355.

Módulo

19

esto se lee

-2k \equiv 13,

así que

2k \equiv 6

y

k \equiv 3 \pmod{19}.

Tomando

k = 3

se obtiene

n = \frac{355 + 63}{19} = 22;

el siguiente candidato,

k = 22,

da

n = 43,

para el cual

n - 3k \lt 0.

Así que

n = 22

y

k = 3.

En la primera hora

22

empleados ordenan

30 \cdot 22 = 660

archivos, y en la siguiente media hora

19

empleados ordenan

15 \cdot 19 = 285,

para un total de

660 + 285 = 945.

Let

n

clerks start and

k

be reassigned at the end of each hour. In the final

10

minutes each remaining clerk sorts

5

files, so

\begin{aligned} &30n + 30(n - k) + 30(n - 2k) \\ &\quad {}+ 5(n - 3k) = 1775, \end{aligned}

which simplifies to

95n - 105k = 1775,

or

19n - 21k = 355.

Modulo

19

this reads

-2k \equiv 13,

so

2k \equiv 6

and

k \equiv 3 \pmod{19}.

Taking

k = 3

gives

n = \frac{355 + 63}{19} = 22;

the next candidate,

k = 22,

gives

n = 43,

for which

n - 3k \lt 0.

So

n = 22

and

k = 3.

In the first hour

22

clerks sort

30 \cdot 22 = 660

files, and in the next half hour

19

clerks sort

15 \cdot 19 = 285,

for a total of

660 + 285 = 945.

8.

Un hexágono inscrito en un círculo tiene longitudes de lado

22,

22,

20,

22,

22,

y

20

en ese orden. El radio del círculo puede escribirse como

p + \sqrt{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos. Halla

p + q.

A hexagon that is inscribed in a circle has side lengths

22,

22,

20,

22,

22,

and

20

in that order. The radius of the circle can be written as

p + \sqrt{q},

where

p

and

q

are positive integers. Find

p + q.

Respuesta

Respuesta: 272

Conceptos:cuerda trigonometría ley de los cosenos cuadrática

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Si cada cuerda de

22

subtiende un ángulo central

\alpha

y cada cuerda de

20

subtiende

\beta,

entonces

4\alpha + 2\beta = 360^\circ,

así que

\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha

.

If each

22

-chord subtends central angle

\alpha

and each

20

-chord subtends

\beta,

then

4\alpha + 2\beta = 360^\circ,

so

\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha

Pista grande:

La ley de cosenos da

\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2},

mientras que

\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r};

igualarlas produce una ecuación cuadrática en

r

.

The law of cosines gives

\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2},

while

\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r};

equating them yields a quadratic in

r

Solución:

La mitad de una cuerda de

20

da

\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},

y la ley de los cosenos en el triángulo isósceles de lados iguales

r

y base

22

da

22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),

así que

\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.

Al igualar,

\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}

de donde

r = 5 + \sqrt{267}

, tomando la raíz positiva.

Por tanto,

p + q = 5 + 267 = 272.

Half a

20

-chord gives

\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},

and the law of cosines on the isosceles triangle with legs

r

and base

22

gives

22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),

so

\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.

Equating,

\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}

so

r = 5 + \sqrt{267}

(taking the positive root).

Therefore

p + q = 5 + 267 = 272.

9.

Un tablero de

7 \times 1

se cubre por completo con fichas de

m \times 1

sin superposición; cada ficha puede cubrir cualquier cantidad de casillas consecutivas, y cada ficha queda completamente sobre el tablero. Cada ficha es roja, azul o verde. Sea

N

el número de recubrimientos del tablero de

7 \times 1

en los que los tres colores se usan al menos una vez. Por ejemplo, una ficha roja de

1 \times 1

seguida de una ficha verde de

2 \times 1

, una ficha verde de

1 \times 1

, una ficha azul de

2 \times 1

, y una ficha verde de

1 \times 1

es un recubrimiento válido. Nota que si la ficha azul de

2 \times 1

se reemplaza por dos fichas azules de

1 \times 1

, esto resulta en un recubrimiento diferente. Halla el residuo cuando

N

se divide entre

1000.

A

7 \times 1

board is completely covered by

m \times 1

tiles without overlap; each tile may cover any number of consecutive squares, and each tile lies completely on the board. Each tile is either red, blue, or green. Let

N

be the number of tilings of the

7 \times 1

board in which all three colors are used at least once. For example, a

1 \times 1

red tile followed by a

2 \times 1

green tile, a

1 \times 1

green tile, a

2 \times 1

blue tile, and a

1 \times 1

green tile is a valid tiling. Note that if the

2 \times 1

blue tile is replaced by two

1 \times 1

blue tiles, this results in a different tiling. Find the remainder when

N

is divided by

1000.

Respuesta

Respuesta: 106

Conceptos:teselado inclusión-exclusión principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2610

Pista pequeña:

Primero cuenta todos los recubrimientos cuando se permiten

k

colores: recorre de izquierda a derecha, y observa que cada nueva casilla o bien extiende la ficha actual o bien inicia una ficha nueva.

First count all tilings when

k

colors are allowed: scan left to right, and note each new square either extends the current tile or starts a fresh tile

Pista grande:

Ese conteo es

k(k+1)^6.

Luego usa inclusión-exclusión sobre cuáles de los tres colores quedan sin usar.

That count is

k(k+1)^6.

Then use inclusion-exclusion over which of the three colors go unused.

Solución:

Primero cuenta los recubrimientos coloreados cuando hay

k

colores disponibles. La ficha de la primera casilla puede colorearse de

k

maneras, y cada una de las

6

casillas restantes o bien extiende la ficha actual o bien inicia una ficha nueva en uno de los

k

colores, lo que da

k + 1

opciones por casilla. Así que hay

k(k+1)^6

recubrimientos.

Con tres colores eso son

3 \cdot 4^6 = 12288

recubrimientos. Por inclusión-exclusión sobre los colores no usados, el número que usa los tres colores es

\begin{aligned} N &= 3 \cdot 4^6 - 3 \cdot (2 \cdot 3^6) \\ &\quad {}+ 3 \cdot (1 \cdot 2^6) \\ &= 12288 - 4374 + 192 \\ &= 8106. \end{aligned}

El residuo cuando

N

se divide entre

1000

es

106.

First count colored tilings when

k

colors are available. The first square’s tile can be colored in

k

ways, and each of the remaining

6

squares either extends the current tile or starts a new tile in one of the

k

colors, giving

k + 1

choices per square. So there are

k(k+1)^6

tilings.

With three colors that is

3 \cdot 4^6 = 12288

tilings. By inclusion-exclusion over the unused colors, the number using all three colors is

\begin{aligned} N &= 3 \cdot 4^6 - 3 \cdot (2 \cdot 3^6) \\ &\quad {}+ 3 \cdot (1 \cdot 2^6) \\ &= 12288 - 4374 + 192 \\ &= 8106. \end{aligned}

The remainder when

N

is divided by

1000

is

106.

10.

Dado un círculo de radio

\sqrt{13},

sea

A

un punto a distancia

4 + \sqrt{13}

del centro

O

del círculo. Sea

B

el punto del círculo más cercano al punto

A.

Una recta que pasa por el punto

A

corta al círculo en los puntos

K

y

L.

El área máxima posible de

\triangle BKL

puede escribirse en la forma

\frac{a - b\sqrt{c}}{d},

donde

a,

b,

c,

y

d

son enteros positivos,

a

y

d

son primos entre sí, y

c

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

a + b + c + d.

Given a circle of radius

\sqrt{13},

let

A

be a point at a distance

4 + \sqrt{13}

from the center

O

of the circle. Let

B

be the point on the circle nearest to point

A.

A line passing through the point

A

intersects the circle at points

K

and

L.

The maximum possible area for

\triangle BKL

can be written in the form

\frac{a - b\sqrt{c}}{d},

where

a,

b,

c,

and

d

are positive integers,

a

and

d

are relatively prime, and

c

is not divisible by the square of any prime. Find

a + b + c + d.

Respuesta

Respuesta: 146

Conceptos:círculo área del triángulo optimización

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

B

está sobre el segmento

OA

con

AB = 4.

Para cualquier recta que pase por

A,

las distancias desde

O

y desde

B

a esa recta están en la razón

OA : AB

.

B

lies on segment

OA

with

AB = 4.

For any line through

A,

the distances from

O

and from

B

to that line are in the ratio

OA : AB

Pista grande:

Así que

[BKL] = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}[OKL],

y

[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL)

es máximo cuando

\angle KOL = 90^\circ

.

So

[BKL] = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}[OKL],

and

[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL)

is largest when

\angle KOL = 90^\circ

Solución:

El punto más cercano

B

está sobre el segmento

OA

con

OB = \sqrt{13}

y

AB = 4.

Los triángulos

OKL

y

BKL

comparten la base

KL,

y sus alturas son las distancias desde

O

y

B

a la recta que pasa por

A.

Para cualquier punto

P

sobre la recta

OA,

esa distancia es

PA\sin\varphi,

donde

\varphi

es el ángulo entre las dos rectas, así que

\frac{[BKL]}{[OKL]} = \frac{AB}{AO} = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}.

Como

OK = OL = \sqrt{13},

tenemos

[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL) \le \frac{13}{2},

con igualdad cuando

\angle KOL = 90^\circ.

Tal cuerda está a distancia

\sqrt{\frac{13}{2}}

de

O,

que es menor que

OA,

así que una recta que pasa por

A

puede alcanzarla.

El área máxima es

\begin{aligned} [BKL] &= \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{13}} \\ &= \frac{26}{4 + \sqrt{13}} = \frac{26(4 - \sqrt{13})}{3} \\ &= \frac{104 - 26\sqrt{13}}{3}, \end{aligned}

así que

a + b + c + d

= 104 + 26 + 13 + 3

= 146.

The nearest point

B

lies on segment

OA

with

OB = \sqrt{13}

and

AB = 4.

Triangles

OKL

and

BKL

share the base

KL,

and their heights are the distances from

O

and

B

to the line through

A.

For any point

P

on line

OA,

that distance is

PA\sin\varphi,

where

\varphi

is the angle between the two lines, so

\frac{[BKL]}{[OKL]} = \frac{AB}{AO} = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}.

Since

OK = OL = \sqrt{13},

we have

[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL) \le \frac{13}{2},

with equality when

\angle KOL = 90^\circ.

Such a chord lies at distance

\sqrt{\frac{13}{2}}

from

O,

which is less than

OA,

so a line through

A

can achieve it.

The maximum area is

\begin{aligned} [BKL] &= \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{13}} \\ &= \frac{26}{4 + \sqrt{13}} = \frac{26(4 - \sqrt{13})}{3} \\ &= \frac{104 - 26\sqrt{13}}{3}, \end{aligned}

so

a + b + c + d

= 104 + 26 + 13 + 3

= 146.

11.

Sea

A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\},

y sea

N

el número de funciones

f

del conjunto

A

al conjunto

A

tales que

f(f(x))

es una función constante. Halla el residuo cuando

N

se divide entre

1000.

Let

A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\},

and let

N

be the number of functions

f

from set

A

to set

A

such that

f(f(x))

is a constant function. Find the remainder when

N

is divided by

1000.

Respuesta

Respuesta: 399

Conceptos:función combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2890

Pista pequeña:

Si

f(f(x)) = a

siempre, sea

S

el conjunto de elementos que

f

envía a

a.

Muestra que

f(a) = a

y que todo elemento fuera de

S

se mapea en

S \setminus \{a\}

.

If

f(f(x)) = a

always, let

S

be the set of elements that

f

sends to

a.

Show

f(a) = a

and every element outside

S

maps into

S \setminus \{a\}

Pista grande:

Con

|S| = k:

elige

a,

elige el resto de

S,

luego envía cada uno de los

7 - k

elementos exteriores a cualquier lugar en

S \setminus \{a\},

y suma sobre

k

.

With

|S| = k:

choose

a,

choose the rest of

S,

then send each of the

7 - k

outside elements anywhere in

S \setminus \{a\},

and sum over

k

Solución:

Digamos que

f(f(x)) = a

para todo

x,

y sea

S = \{x : f(x) = a\}.

Tomando cualquier

t \in S,

obtenemos

a = f(f(t)) = f(a),

así que

a \in S.

Todo

x

satisface

f(x) \in S

(porque

f(f(x)) = a

), y si

x \notin S

entonces

f(x) \ne a,

así que

f

mapea el complemento de

S

en

S \setminus \{a\}.

Recíprocamente, cualquier

f

construida de esta manera funciona.

Si

|S| = k,

elegimos la constante

a

de

7

maneras, los

k - 1

elementos restantes de

S

de

\binom{6}{k-1}

maneras, y una imagen en

S \setminus \{a\}

para cada uno de los otros

7 - k

elementos de

(k-1)^{7-k}

maneras. Por lo tanto

\begin{aligned} N &= \scriptsize 7\sum_{k=1}^{7} \binom{6}{k-1}(k-1)^{7-k} \\ &\scriptsize = 7\,(0 + 6 + 240 + 540 + 240 + 30 + 1) \\ &= 7 \cdot 1057 = 7399. \end{aligned}

El residuo cuando

N

se divide entre

1000

es

399.

Say

f(f(x)) = a

for all

x,

and let

S = \{x : f(x) = a\}.

Picking any

t \in S,

we get

a = f(f(t)) = f(a),

so

a \in S.

Every

x

satisfies

f(x) \in S

(because

f(f(x)) = a

), and if

x \notin S

then

f(x) \ne a,

so

f

maps the complement of

S

into

S \setminus \{a\}.

Conversely, any

f

built this way works.

If

|S| = k,

we choose the constant

a

in

7

ways, the remaining

k - 1

elements of

S

in

\binom{6}{k-1}

ways, and an image in

S \setminus \{a\}

for each of the

7 - k

other elements in

(k-1)^{7-k}

ways. Hence

\begin{aligned} N &= \scriptsize 7\sum_{k=1}^{7} \binom{6}{k-1}(k-1)^{7-k} \\ &\scriptsize = 7\,(0 + 6 + 240 + 540 + 240 + 30 + 1) \\ &= 7 \cdot 1057 = 7399. \end{aligned}

The remainder when

N

is divided by

1000

is

399.

12.

Sea

S

el conjunto de todos los polinomios de la forma

z^3 + az^2 + bz + c,

donde

a,

b,

y

c

son enteros. Halla el número de polinomios en

S

tales que cada una de sus raíces

z

satisface

|z| = 20

o

|z| = 13.

Let

S

be the set of all polynomials of the form

z^3 + az^2 + bz + c,

where

a,

b,

and

c

are integers. Find the number of polynomials in

S

such that each of its roots

z

satisfies either

|z| = 20

or

|z| = 13.

Respuesta

Respuesta: 540

Conceptos:polinomio número complejo análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Las raíces no reales vienen en pares conjugados, así que o bien las tres raíces están entre

\pm 20

y

\pm 13,

o bien una raíz real se acompaña de un par conjugado sobre uno de los dos círculos.

Nonreal roots come in conjugate pairs, so either all three roots are among

\pm 20

and

\pm 13,

or one real root is joined by a conjugate pair on one of the two circles

Pista grande:

Para raíces

r \pm s\mathrm{i}

y

k

real, al desarrollar se ve que los coeficientes son enteros exactamente cuando

2r

es un entero; cuenta los semienteros

r

con

|r|

menor que el módulo.

For roots

r \pm s\mathrm{i}

and real

k,

expanding shows integer coefficients hold exactly when

2r

is an integer; count the half-integers

r

with

|r|

less than the modulus

Solución:

Una cúbica con coeficientes reales tiene o bien tres raíces reales o bien una raíz real y un par conjugado. Los únicos números reales con módulo

20

o

13

son

\pm 20

y

\pm 13,

así que en el caso totalmente real las raíces forman un multiconjunto de tamaño

3

de esos

4

valores:

\binom{6}{3} = 20

polinomios.

En caso contrario las raíces son

k \in \{\pm 20, \pm 13\}

y un par conjugado

r \pm s\mathrm{i}

con

s \ne 0

y

r^2 + s^2 = 400

o

169.

Al desarrollar

(z - k)\bigl(z^2 - 2rz + (r^2 + s^2)\bigr)

se ve que los coeficientes son

-(2r + k),

r^2 + s^2 + 2rk,

y

-(r^2 + s^2)k,

que son todos enteros exactamente cuando

2r

es un entero. En el círculo de radio

20

necesitamos

|r| \lt 20,

lo que permite

2r \in \{-39, \ldots, 39\}:

79

opciones; en el círculo de radio

13,

2r \in \{-25, \ldots, 25\}:

51

opciones. Con

4

opciones de

k,

eso da

4(79 + 51) = 520

polinomios, cada uno distinto ya que las raíces determinan el polinomio.

En total hay

20 + 520 = 540

polinomios de este tipo.

A cubic with real coefficients has either three real roots or one real root and a conjugate pair. The only real numbers with modulus

20

or

13

are

\pm 20

and

\pm 13,

so in the all-real case the roots form a multiset of size

3

from those

4

values:

\binom{6}{3} = 20

polynomials.

Otherwise the roots are

k \in \{\pm 20, \pm 13\}

and a conjugate pair

r \pm s\mathrm{i}

with

s \ne 0

and

r^2 + s^2 = 400

or

169.

Expanding

(z - k)\bigl(z^2 - 2rz + (r^2 + s^2)\bigr)

shows the coefficients are

-(2r + k),

r^2 + s^2 + 2rk,

and

-(r^2 + s^2)k,

which are all integers exactly when

2r

is an integer. On the circle of radius

20

we need

|r| \lt 20,

allowing

2r \in \{-39, \ldots, 39\}:

79

choices; on the circle of radius

13,

2r \in \{-25, \ldots, 25\}:

51

choices. With

4

choices of

k,

that gives

4(79 + 51) = 520

polynomials, each distinct since the roots determine the polynomial.

In total there are

20 + 520 = 540

such polynomials.

13.

En

\triangle ABC,

AC = BC,

y el punto

D

está sobre

\overline{BC}

de modo que

CD = 3 \cdot BD.

Sea

E

el punto medio de

\overline{AD}.

Dado que

CE = \sqrt{7}

y

BE = 3,

el área de

\triangle ABC

puede expresarse en la forma

m\sqrt{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

m + n.

In

\triangle ABC,

AC = BC,

and point

D

is on

\overline{BC}

so that

CD = 3 \cdot BD.

Let

E

be the midpoint of

\overline{AD}.

Given that

CE = \sqrt{7}

and

BE = 3,

the area of

\triangle ABC

can be expressed in the form

m\sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers and

n

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 10

Conceptos:ley de los cosenos mediana (geometría)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pon

AB = 2x

y

AC = BC = y;

entonces

\cos B = \frac{x}{y},

y la ley de cosenos en el triángulo

ABD

da

AD^2

en términos de

x

y

y

.

Set

AB = 2x

and

AC = BC = y;

then

\cos B = \frac{x}{y},

and the law of cosines in triangle

ABD

gives

AD^2

in terms of

x

and

y

Pista grande:

CE

y

BE

son las medianas de los triángulos

ACD

y

ABD

relativas al lado

AD;

la fórmula de la mediana

4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2

da dos ecuaciones en

x^2

y

y^2

.

CE

and

BE

are medians of triangles

ACD

and

ABD

to side

AD;

the median formula

4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2

gives two equations in

x^2

and

y^2

Solución:

Sean

AB = 2x

y

AC = BC = y,

de modo que

BD = \frac{y}{4},

CD = \frac{3y}{4},

y

\cos B = \frac{x}{y}

(baja la altura desde

C

al punto medio de

\overline{AB}

). La ley de cosenos en el triángulo

ABD

da

\begin{aligned} AD^2 &= 4x^2 + \frac{y^2}{16} \\ &\quad {}- 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{4} \cdot \frac{x}{y} \\ &= 3x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}

Tanto

CE

como

BE

son medianas relativas a

\overline{AD},

en los triángulos

ACD

y

ABD

respectivamente. La fórmula de la mediana

4m^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2

da

\begin{aligned} 28 &= 2y^2 + \frac{18y^2}{16} - AD^2 \\ &= \frac{49y^2}{16} - 3x^2, \end{aligned}

\begin{aligned} 36 &= 8x^2 + \frac{2y^2}{16} - AD^2 \\ &= 5x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}

De la segunda ecuación,

\frac{y^2}{16} = 36 - 5x^2;

sustituyendo en la primera se obtiene

49(36 - 5x^2) - 3x^2 = 28,

así que

248x^2 = 1736,

x^2 = 7,

y luego

y^2 = 16.

La altura desde

C

tiene longitud

\sqrt{y^2 - x^2} = 3,

así que el área es

\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3 = 3\sqrt{7},

y

m + n = 3 + 7 = 10.

Let

AB = 2x

and

AC = BC = y,

so

BD = \frac{y}{4},

CD = \frac{3y}{4},

and

\cos B = \frac{x}{y}

(drop the altitude from

C

to the midpoint of

\overline{AB}

). The law of cosines in triangle

ABD

gives

\begin{aligned} AD^2 &= 4x^2 + \frac{y^2}{16} \\ &\quad {}- 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{4} \cdot \frac{x}{y} \\ &= 3x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}

Both

CE

and

BE

are medians to

\overline{AD},

in triangles

ACD

and

ABD

respectively. The median formula

4m^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2

gives

\begin{aligned} 28 &= 2y^2 + \frac{18y^2}{16} - AD^2 \\ &= \frac{49y^2}{16} - 3x^2, \end{aligned}

\begin{aligned} 36 &= 8x^2 + \frac{2y^2}{16} - AD^2 \\ &= 5x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}

From the second equation

\frac{y^2}{16} = 36 - 5x^2;

substituting into the first gives

49(36 - 5x^2) - 3x^2 = 28,

so

248x^2 = 1736,

x^2 = 7,

and then

y^2 = 16.

The altitude from

C

has length

\sqrt{y^2 - x^2} = 3,

so the area is

\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3 = 3\sqrt{7},

and

m + n = 3 + 7 = 10.

14.

Para enteros positivos

n

y

k,

sea

f(n, k)

el residuo cuando

n

se divide entre

k,

y para

n \gt 1

sea

F(n) = \max_{1 \le k \le \frac{n}{2}} f(n, k).

Halla el residuo de

\sum_{n = 20}^{100} F(n)

al dividirlo entre

1000.

For positive integers

n

and

k,

let

f(n, k)

be the remainder when

n

is divided by

k,

and for

n \gt 1

let

F(n) = \max_{1 \le k \le \frac{n}{2}} f(n, k).

Find the remainder when

\sum_{n = 20}^{100} F(n)

is divided by

1000.

Respuesta

Respuesta: 512

Conceptos:aritmética modular acotación a casos límite sumatoria

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Para

k \le \frac{n}{2}

el cociente es al menos

2,

así que el residuo es a lo sumo

\min(k - 1,\ n - 2k);

prueba

k

cerca de

\frac{n}{3}

.

For

k \le \frac{n}{2}

the quotient is at least

2,

so the remainder is at most

\min(k - 1,\ n - 2k);

try

k

near

\frac{n}{3}

Pista grande:

Muestra que

F(3m) = m - 2,

F(3m+1) = m - 1,

y

F(3m+2) = m,

cada uno alcanzado en

k = m + 1,

luego suma sobre el rango.

Show

F(3m) = m - 2,

F(3m+1) = m - 1,

and

F(3m+2) = m,

each achieved at

k = m + 1,

then sum over the range

Solución:

Para

k \le \frac{n}{2}

el cociente

\lfloor \frac{n}{k} \rfloor

es al menos

2,

así que el residuo satisface

f(n, k) \le n - 2k

al igual que

f(n, k) \le k - 1.

Escribe

n = 3m + r

con

r \in \{0, 1, 2\}.

Al dividir entre

k = m + 1

se obtiene cociente

2

y residuo

m + r - 2,

así que

F(n) \ge m + r - 2.

Recíprocamente, para

k \ge m + 1,

f(n, k) \le n - 2k \le m + r - 2,

y para

k

más pequeño la cota

f(n, k) \le k - 1

completa el trabajo: cuando

r = 2

da a lo sumo

m

para

k \le m + 1;

cuando

r = 1

da a lo sumo

m - 1

para

k \le m;

y cuando

r = 0

da a lo sumo

m - 2

para

k \le m - 1,

mientras que

k = m

divide

3m

exactamente, dejando residuo

0.

Por lo tanto

\begin{aligned} F(3m) &= m - 2, \\ F(3m + 1) &= m - 1, \\ F(3m + 2) &= m. \end{aligned}

Agrupando

n = 20, \ldots, 100

en tríos

3m - 1,

3m,

3m + 1

para

m = 7, \ldots, 33

(nota que

F(3m - 1) = F(3(m-1) + 2)

= m - 1

), cada trío aporta

(m - 1) + (m - 2) + (m - 1)

= 3m - 4,

así que

\begin{aligned} \tiny \sum_{n=20}^{100} F(n) &= \sum_{m=7}^{33} (3m - 4) \\ &= 3 \cdot \frac{(7 + 33) \cdot 27}{2} - 4 \cdot 27 \\ &= 1620 - 108 = 1512. \end{aligned}

El residuo pedido es

512.

For

k \le \frac{n}{2}

the quotient

\lfloor \frac{n}{k} \rfloor

is at least

2,

so the remainder satisfies

f(n, k) \le n - 2k

as well as

f(n, k) \le k - 1.

Write

n = 3m + r

with

r \in \{0, 1, 2\}.

Dividing by

k = m + 1

gives quotient

2

and remainder

m + r - 2,

so

F(n) \ge m + r - 2.

Conversely, for

k \ge m + 1,

f(n, k) \le n - 2k \le m + r - 2,

and for smaller

k

the bound

f(n, k) \le k - 1

finishes the job: when

r = 2

it gives at most

m

for

k \le m + 1;

when

r = 1

it gives at most

m - 1

for

k \le m;

and when

r = 0

it gives at most

m - 2

for

k \le m - 1,

while

k = m

divides

3m

exactly, leaving remainder

0.

Hence

\begin{aligned} F(3m) &= m - 2, \\ F(3m + 1) &= m - 1, \\ F(3m + 2) &= m. \end{aligned}

Grouping

n = 20, \ldots, 100

as triples

3m - 1,

3m,

3m + 1

for

m = 7, \ldots, 33

(note

F(3m - 1) = F(3(m-1) + 2)

= m - 1

), each triple contributes

(m - 1) + (m - 2) + (m - 1)

= 3m - 4,

so

\begin{aligned} \tiny \sum_{n=20}^{100} F(n) &= \sum_{m=7}^{33} (3m - 4) \\ &= 3 \cdot \frac{(7 + 33) \cdot 27}{2} - 4 \cdot 27 \\ &= 1620 - 108 = 1512. \end{aligned}

The requested remainder is

512.

15.

Sean

A,

B,

C

los ángulos de un triángulo, con

A

y

C

agudos y

B

obtuso, que satisfacen

\begin{aligned} &\cos^2 A + \cos^2 B \\ &\quad {}+ 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{15}{8} \end{aligned}

y

\begin{aligned} &\cos^2 B + \cos^2 C \\ &\quad {}+ 2 \sin B \sin C \cos A = \frac{14}{9}. \end{aligned}

Existen enteros positivos

p,

q,

r,

y

s

para los cuales

\begin{aligned} &\cos^2 C + \cos^2 A \\ &\quad {}+ 2 \sin C \sin A \cos B \\ &= \frac{p - q\sqrt{r}}{s}, \end{aligned}

donde

p + q

y

s

son primos entre sí y

r

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

p + q + r + s.

Let

A,

B,

C

be angles of a triangle with

A

and

C

acute and

B

greater than a right angle satisfying

\begin{aligned} &\cos^2 A + \cos^2 B \\ &\quad {}+ 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{15}{8} \end{aligned}

and

\begin{aligned} &\cos^2 B + \cos^2 C \\ &\quad {}+ 2 \sin B \sin C \cos A = \frac{14}{9}. \end{aligned}

There are positive integers

p,

q,

r,

and

s

for which

\begin{aligned} &\cos^2 C + \cos^2 A \\ &\quad {}+ 2 \sin C \sin A \cos B \\ &= \frac{p - q\sqrt{r}}{s}, \end{aligned}

where

p + q

and

s

are relatively prime and

r

is not divisible by the square of any prime. Find

p + q + r + s.

Respuesta

Respuesta: 222

Conceptos:ley de los senos ley de los cosenos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Reescribe la primera ecuación como

\sin^2 A + \sin^2 B

- 2\sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8};

las leyes de senos y cosenos convierten el lado izquierdo en

\sin^2 C

.

Rewrite the first equation as

\sin^2 A + \sin^2 B

- 2\sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8};

the laws of sines and cosines turn the left side into

\sin^2 C

Pista grande:

Así que

\sin^2 C = \frac{1}{8}

y

\sin^2 A = \frac{4}{9},

y la cantidad pedida es

2 - \sin^2 B

con

\sin B = \sin(A + C)

.

So

\sin^2 C = \frac{1}{8}

and

\sin^2 A = \frac{4}{9},

and the requested quantity is

2 - \sin^2 B

with

\sin B = \sin(A + C)

Solución:

Reemplazando cada

\cos^2

por

1 - \sin^2,

la primera ecuación se convierte en

\sin^2 A + \sin^2 B

- 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8}.

Por la ley de senos,

\sin A = \frac{a}{2R}

y así sucesivamente, de modo que el lado izquierdo es

\begin{aligned} \frac{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}{4R^2} &= \frac{c^2}{4R^2} \\ &= \sin^2 C \end{aligned}

por la ley de los cosenos. De aquí

\sin^2 C = 2 - \frac{15}{8} = \frac{1}{8}.

El mismo argumento convierte la segunda ecuación en

\sin^2 A = 2 - \frac{14}{9} = \frac{4}{9},

y muestra que la expresión pedida es igual a

2 - \sin^2 B.

Como

A

y

C

son agudos,

\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}

y

\cos C = \frac{\sqrt{14}}{4},

con

\sin A = \frac{2}{3}

y

\sin C = \frac{\sqrt{2}}{4}.

Entonces

\begin{aligned} \sin B &= \sin(A + C) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{14} + \sqrt{10}}{12}, \end{aligned}

así que

\sin^2 B = \frac{66 + 8\sqrt{35}}{144} = \frac{33 + 4\sqrt{35}}{72}.

Por lo tanto

2 - \sin^2 B = \frac{111 - 4\sqrt{35}}{72},

y

p + q + r + s

= 111 + 4 + 35 + 72

= 222.

Replacing each

\cos^2

by

1 - \sin^2,

the first equation becomes

\sin^2 A + \sin^2 B

- 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8}.

By the law of sines,

\sin A = \frac{a}{2R}

and so on, so the left side equals

\begin{aligned} \frac{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}{4R^2} &= \frac{c^2}{4R^2} \\ &= \sin^2 C \end{aligned}

by the law of cosines. Hence

\sin^2 C = 2 - \frac{15}{8} = \frac{1}{8}.

The same argument turns the second equation into

\sin^2 A = 2 - \frac{14}{9} = \frac{4}{9},

and shows the requested expression equals

2 - \sin^2 B.

Since

A

and

C

are acute,

\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}

and

\cos C = \frac{\sqrt{14}}{4},

with

\sin A = \frac{2}{3}

and

\sin C = \frac{\sqrt{2}}{4}.

Then

\begin{aligned} \sin B &= \sin(A + C) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{14} + \sqrt{10}}{12}, \end{aligned}

so

\sin^2 B = \frac{66 + 8\sqrt{35}}{144} = \frac{33 + 4\sqrt{35}}{72}.

Therefore

2 - \sin^2 B = \frac{111 - 4\sqrt{35}}{72},

and

p + q + r + s

= 111 + 4 + 35 + 72

= 222.

Problemas del 2013 AIME II

Respuesta: 275

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 881

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 350

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 40

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 282

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 945

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 272

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 106

Nivel de dificultad: 2610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 146

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 399

Nivel de dificultad: 2890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 540

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 10

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 512

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 222

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: