Question

Sea $S$ el conjunto de todos los polinomios de la forma $z^3 + az^2 + bz + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros. Halla el número de polinomios en $S$ tales que cada una de sus raíces $z$ satisface $|z| = 20$ o $|z| = 13.$

Let $S$ be the set of all polynomials of the form $z^3 + az^2 + bz + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers. Find the number of polynomials in $S$ such that each of its roots $z$ satisfies either $|z| = 20$ or $|z| = 13.$

Respuesta

Solución:

Una cúbica con coeficientes reales tiene o bien tres raíces reales o bien una raíz real y un par conjugado. Los únicos números reales con módulo $20$ o $13$ son $\pm 20$ y $\pm 13,$ así que en el caso totalmente real las raíces forman un multiconjunto de tamaño $3$ de esos $4$ valores: $\binom{6}{3} = 20$ polinomios.

En caso contrario las raíces son $k \in \{\pm 20, \pm 13\}$ y un par conjugado $r \pm si$ con $s \ne 0$ y $r^2 + s^2 = 400$ o $169.$ Al desarrollar $(z - k)\bigl(z^2 - 2rz + (r^2 + s^2)\bigr)$ se ve que los coeficientes son $-(2r + k),$ $r^2 + s^2 + 2rk,$ y $-(r^2 + s^2)k,$ que son todos enteros exactamente cuando $2r$ es un entero. En el círculo de radio $20$ necesitamos $|r| \lt 20,$ lo que permite $2r \in \{-39, \ldots, 39\}:$ $79$ opciones; en el círculo de radio $13,$ $2r \in \{-25, \ldots, 25\}:$ $51$ opciones. Con $4$ opciones de $k,$ eso da $4(79 + 51) = 520$ polinomios, cada uno distinto ya que las raíces determinan el polinomio.

En total hay $20 + 520 = 540$ polinomios de este tipo.

A cubic with real coefficients has either three real roots or one real root and a conjugate pair. The only real numbers with modulus $20$ or $13$ are $\pm 20$ and $\pm 13,$ so in the all-real case the roots form a multiset of size $3$ from those $4$ values: $\binom{6}{3} = 20$ polynomials.

Otherwise the roots are $k \in \{\pm 20, \pm 13\}$ and a conjugate pair $r \pm si$ with $s \ne 0$ and $r^2 + s^2 = 400$ or $169.$ Expanding $(z - k)\bigl(z^2 - 2rz + (r^2 + s^2)\bigr)$ shows the coefficients are $-(2r + k),$ $r^2 + s^2 + 2rk,$ and $-(r^2 + s^2)k,$ which are all integers exactly when $2r$ is an integer. On the circle of radius $20$ we need $|r| \lt 20,$ allowing $2r \in \{-39, \ldots, 39\}:$ $79$ choices; on the circle of radius $13,$ $2r \in \{-25, \ldots, 25\}:$ $51$ choices. With $4$ choices of $k,$ that gives $4(79 + 51) = 520$ polynomials, each distinct since the roots determine the polynomial.

In total there are $20 + 520 = 540$ such polynomials.

2013 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años